Спектральное разложение самосопряженных операторов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

А. М. Ильин, А. Р. Данилин

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,
обучающихся по направлениям подготовки 01.04.01 «Математика»,
01.04.03 «Механика и математическое моделирование»,
02.04.01 «Математика и компьютерные науки»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета

2018

УДК 517.98(075.8)
И 46

Рецензенты:
кафедра вычислительной математики
Челябинского государственного университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор В. Н. Павленко);
Л. А. Калякин, доктор физико-математических наук, профессор
(Институт математики с вычислительным центром
Уфимского научного центра РАН)

Ильин, А. М.
И 46 Спектральное
разложение
самосопряженных
операторов :
учеб. пособие / А. М. Ильин, А. Р. Данилин; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. – 128 с.

ISBN 978-5-7996-2306-7

В учебном пособии рассматриваются вопросы функционального анализа, не
вошедшие в общий курс функционального анализа по программе бакалавриата, в
частности спектральное представление самосопряженных операторов (как ограниченных, так и неограниченных) в гильбертовом пространстве, неограниченные
симметрические операторы и их самосопряженные расширения, унитарные операторы и их представления.

Для магистрантов математических специальностей классических универси
тетов.
УДК 517.98(075.8)

ISBN 978-5-7996-2306-7
c
⃝ Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Список используемых обозначений и соглашений. . . . . . . . .
5

1. Гильбертово пространство: сводка результатов . . . . . . . .
8

2. Ограниченные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

3. Свойства неотрицательных операторов
. . . . . . . . . . . . . .
23

4. Свойства ортопроекторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

5. Разложение единицы, порожденное самосопряженным
ограниченным оператором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

6. Операторный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

7. Спектральное разложение ограниченного
самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

8. Неограниченные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . .
63

9. Симметрические и самосопряженные
неограниченные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . .
73

10. Соболевские пространства и теоремы вложения. . . . . . .
79

11. Примеры неограниченных симметрических и
самосопряженных линейных операторов . . . . . . . . . . . . .
91

12. Расширение симметрических операторов . . . . . . . . . . . . .
94

13. Спектры симметрических операторов . . . . . . . . . . . . . . . . 101
14. Коммутирующие операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15. Несобственные операторные интегралы . . . . . . . . . . . . . . 107
16. Спектральное разложение неограниченного
самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

17. Унитарные операторы и их спектральное разложение. . . 120
Список библиографических ссылок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Предисловие

Данное учебное пособие предназначено для магистрантов математических факультетов, изучавших курс "Функциональный анализ
и интегральные уравнения". Здесь рассмотрены вопросы спектрального разложения самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, как ограниченных, так и неограниченных, которые в основном курсе для студентов, обучавшихся по программе бакалавриата, не затрагивались совсем. Этот материал излагается в известных
учебниках [1–4], однако многие из них давно не переиздавались. Кроме того, изложение в указанных пособиях часто опирается на материал, не содержащийся в стандартном курсе, и в основном касается
ограниченных самосопряженных операторов.
Материал учебного пособия соответствует односеместровому
курсу, читаемому в УрФУ для магистров второго года обучения.
Первым автором этого лекционного курса был академик РАН Арлен Михайлович Ильин [5]. В настоящее время курс читается вторым
соавтором данного пособия. Структура и содержание курса неоднократно обсуждались с Арленом Михайловичем. Предлагаемое учебное пособие является переработанным и расширенным вариантом
ранее изданного пособия А. М. Ильина [5]. К сожалению, уход из
жизни академика А. М. Ильина прервал нашу совместную работу.
Завершать начатое пришлось второму соавтору.
Предполагается, что читатели знакомы с понятием гильбертова
пространства
и
его
основными
свойствами.
Как
правило, доказательства утверждений, получающиеся непосредственным применением соответствующих определений, не приводятся.
Изложение
в
достаточной
мере
замкнуто
и
не
использует
ни
общих
конструкций
C∗-алгебр,
ни
теории
Гельфанда – Наймарка, ни тонких методов интегрального исчисления.
Для более углубленного изучения материала можно порекомендовать уже указанные учебники [1–4], а также современное изложение спектральной теории ограниченных самосопряженных операторов в терминах категорий и функторов [6].

Список используемых обозначений
и соглашений

Если в утверждении, сформулированном с помощью предикатов, не указаны кванторы, то ко всем переменным подразумевается квантор всеобщности.
Все вводимые термины при первом упоминании выделяются курсивом.
Комментарии внутри цепочки формул даются либо внутри
квадратных скобок, либо над символами отношений.
Если в теореме сформулировано несколько утверждений, то
номер доказываемого утверждения заключается в рамку. Различные этапы доказательства конкретного утверждения нумеруются без заключения номера в рамку.
Символом
обозначается окончание доказательства или
замечаний (когда это необходимо).
Запись A := B или B =: A означает, что A определяется
посредством B.
Для обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел используются
символы N, Z, Q, R и C соответственно.
Z+ := N ∪ {0}.
Символ P используется в качестве общего обозначения для
R и C.
P[x] — множество полиномов над полем P.
Если λ ∈ C, то Re λ и Im λ — вещественная и мнимая части
числа λ соответственно.
Если λ ∈ C, то λ — число, комплексно сопряженное к λ.
Запись A ⊂ B или B ⊃ A означает нестрогое включение,
т. е. равенство A = B не исключено.
f(x) — значение отображения (функции) f в точке x, а
f(·) — само отображение (функция) f, которое используется

5

для подчеркивания характера объекта, обозначенного символом f.
Если f : D(f) ⊂ X → Y , то Im f := f(D(f)).
f
A — сужение отображения f на A ⊂ D(f).
Часто у семейства множеств или элементов множества не
указывается множество индексов, например, вместо { eα }α∈A
и α∈A
Fα пишется { eα } и α
Fα соответственно.

δk,n – символ Кронекера.
||x|| — норма элемента x нормированного пространства.
(x, y) — скалярное произведение элементов евклидова пространства.
l2 — гильбертово пространство последовательностей.
l2,fin — евклидово пространство финитных последовательностей со скалярным произведением из l2.
M[a; b], C[a; b], Ck[a; b], L2(a; b) и W k
2 (a; b) — нормированные
пространства функций (классов функций).
⟨{ eα }⟩ — линейная оболочка системы векторов { eα } в линейном пространстве. Вместо ⟨{ e1, . . . , en }⟩ часто пишется просто ⟨e1, . . . , en⟩.
Под подпространством нормированного пространства понимается замкнутое линейное многообразие.

M — замыкание множества M в нормированном пространстве.
I или IX — тождественное отображение множества X на
себя, т. е. Ix := x.
L(X, Y ) — нормированное пространство линейных непрерывных операторов, определенных на нормированном пространстве X со значениями в нормированном пространстве Y .
L(X) := L(X, X).
⟨x, x∗⟩ — значение линейного функционала x∗ на элементе x, т. е. x∗(x).
xn → x0 — последовательность элементов { xn } нормированного пространства сходится к элементу x0.

6

xn
сл
−→ x0 — последовательность элементов { xn } нормированного пространства слабо сходится к элементу x0.
Ker A — ядро линейного оператора A.
ρ(A) — множество регулярных точек оператора A.
σ(A) — спектр линейного оператора A.
σd(A) — дискретный спектр линейного оператора A, т. е.
множество всех собственных чисел линейного оператора A.
An −→
M A0
—
последовательность
линейных
операторов

{ An } поточечно сходится к A0
на множестве M, т. е.
Anx → A0x для любого x из M.
An
⇒
A0 — последовательность линейных операторов
{ An } равномерно сходится к A0, т. е. ∥An − A0∥ → 0.
Математическая структура ⟨X, R⟩, где X — множество, а
R — набор различных отображений и отношений, часто обозначается одним символом X.
Множество, на котором определена математическая структура, часто обозначается так же, как и структура. Например, обозначение нормированного пространства C[a; b] часто
используется для обозначения множества непрерывных на отрезке [a; b] функций, на котором это нормированное пространство определено.

1. Гильбертово пространство: сводка
результатов

В этой главе приводятся основные определения и факты
теории евклидовых и гильбертовых пространств (см., например, [7,8]).

Определение. Пусть X — линейное пространство над полем P. Отображение (·, ·) : X2 → P называется скалярным произведением на X, если:
1. (x, x) ⩾ 0;
2. (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0;
3. (λx + μy, z) = λ(x, z) + μ(y, z) — линейность по первому
аргументу.
4. (x, y) = (y, x) — комплексное сопряжение.

Замечание. Если P = R, то скалярное произведение симметрично и, следовательно, линейно и по второму аргументу.
Таким образом, в этом случае (·, ·) есть билинейное отображение. Если P = C, то (z, λx + μy) = λ(z, x) + μ(z, y). В этом
случае (·, ·) — полуторалинейное отображение.

Определение. Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пример 1.1. (x, y) :=
ki=1
xiyi — скалярное произведение в

X := Pk; lk
2 :=⟨X, (·, ·)⟩.

Пример 1.2. (x(·), y(·)) :=
ba
x(t)y(t) dt — скалярное про
изведение в линейном пространстве X непрерывных на [a; b]
функций со значениями в P; L2[a; b] :=⟨X, (·, ·)⟩.

8

Теорема 1.1 (неравенство Коши — Буняковского). Если
X — евклидово пространство, то

|(x, y)| ⩽
(x, x)
(y, y).
(1.1)

Следствие.
Если X
— евклидово пространство, то
||x|| :=
(x, x) — норма на X.

Утверждение 1.1. Пусть X — евклидово пространство,
X ∋ x ̸= 0 и X ∋ y ̸= 0. Тогда

|(x, y)| =
(x, x)
(y, y) ⇐⇒ ∃ P ∋ λ ̸= 0 : y = λx.

Следствие.
Пусть
X
—
евклидово
пространство,
X
∋
x
̸=
0 и X
∋
y
̸=
0. Следующие утверждения
эквивалентны:
1. (x, y) =
(x, x)
(y, y).
2. ||x + y|| = ||x|| + ||y||.
3. ∃ λ > 0 : y = λx.

Замечание. Евклидово пространство является нормированным пространством относительно нормы, порожденной скалярным произведением, и, следовательно, метрическим пространством относительно метрики, порожденной этой нормой.

Определение. Полное евклидово пространство называется гильбертовым пространством.

Определения. Пусть X — евклидово пространство.
1. x ⊥ y := (x, y) = 0.
2. X1 ⊥ X2 := ∀ x1 ∈ X1 ∀ x2 ∈ X2
x1 ⊥ x2.
3. Система векторов { eα } называется ортогональной, если

∀ α, β (α ̸= β =⇒ eα ⊥ eβ).

4. Система векторов { eα } называется ортонормированной,
если она ортогональна и нормирована (т. е. ∀ α ∥eα∥ = 1).

9

5. Система векторов { eα } называется тотальной, если

(∀ α x ⊥ eα) =⇒ x = 0.

6. Множество { x ∈ X : ∀ y ∈ M x ⊥ y } ортогональных
элементов к множеству M обозначается M⊥.
7. x ⊥ M := x ∈ M⊥.

Теорема 1.2 (теорема Пифагора). Пусть X — евклидово
пространство; x, y ∈ X. Если x ⊥ y, то ||x+y||2 = ||x||2+||y||2.

Замечания. 1. В вещественном евклидовом пространстве
справедлива теорема, обратная теореме Пифагора.
2. В комплексном евклидовом пространстве теорема, обратная теореме Пифагора, несправедлива. Например, в X = C
|1 + i|2 = 2 = |1|2 + |i|2, но (i, 1) = i ̸= 0.

Утверждение 1.2. Пусть X — евклидово пространство.
Тогда:
1. Если X ⊃ { xk }
m
1 ортогональна, то

m
k=1
xk
2
=
m
k=1
||xk||2.
(1.2)

2. Если X ⊃ { xk } ортогональна, то
∞
k=1
xk сходится
⇐⇒
∞
k=1
||xk||2 сходится
.
(1.3)

Утверждение 1.3. В
сепарабельном
евклидовом
пространстве всякая ортонормированная система векторов не
более чем счетна.

Утверждение 1.4. Если система ненулевых векторов в
евклидовом пространстве ортогональна, то она линейно независима.

10