Очерки об устойчивости элементов конструкций

В.И. Ванько 
 
 
 
 
 
 
Очерки  
об устойчивости  
элементов конструкций 
 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Предисловие 

УДК  533.693.4:533.6.011.34 
ББК  22.3 
         В17 
Рецензен ты : 

заместитель Директора института механики МГУ им. М.В. Ломоносова,  
лауреат Государственной премии РСФСР, профессор,  
д-р физ.-мат. наук А.М. Локощенко; 
заместитель Директора по научной работе института проблем  
машиностроения РАН, профессор кафедры теории упругости и пластичности 
Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского,  
д-р физ.-мат. наук В.И. Ерофеев; 
зав. кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана, профессор, д-р физ.-мат. наук Ю.И. Димитриенко 

 
Ванько В.И. 
       В17 
 
Очерки об устойчивости элементов конструкций / 
В. И. Ванько. — 2-е изд., испр. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. — 223, [1]. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4127-3 

Книга написана на основе исследований, проведенных автором лично и в соавторстве; 
сюда вошли также некоторые материалы спецкурса, читаемого студентам старших курсов 
факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Рассматриваются классические задачи о продольном изгибе упругопластического 
стержня; вводится понятие о корректности квазистатической постановки и выводится достаточное условие: постановка корректна, пока жесткость на изгиб наиболее нагружаемого 
изгибающим моментом поперечного сечения не станет меньше приложенной продольной 
силы (в безразмерных параметрах).  
На основе кинематической схемы, разработанной совместно с С.А. Шестериковым, 
изучаются большие перемещения (вплоть до полного сплющивания) точек срединной поверхности цилиндрических оболочек (бесконечно длинных и конечной длины) под действием внешнего гидростатического давления. Для всех рассматриваемых постановок выводятся приближенные (асимптотические) формулы. 
При изучении плоскопараллельных движений с тремя степенями свободы показано, 
что аэродинамическая неустойчивость есть неустойчивость по Ляпунову положений равновесия профиля. Полученное достаточное условие, так же как и классическое, инвариантно 
относительно механических свойств конструкции. Приводятся многочисленные приложения упомянутых исследований. 
Книга будет полезной студентам и специалистам, занимающимся математическим моделированием поведения конструкций. 
 
УДК  533.693.4:533.6.011.34 
ББК   22.3 
 
                                                                               Ванько В.И., 2014 
                                                                               Ванько В.И., 2015, с изменениями 
                                                                               Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4127-3                                         МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

Предисловие 
3 

Памяти Учителей — 
Юрия Николаевича Работнова 
и Сергея Александровича Шестерикова — 
посвящается 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Предлагаемая книга не претендует на полное изложение задач 
об устойчивости элементов конструкций. Многообразие постановок 
и методов решения обсуждаемых проблем читатель найдет в известных трудах С.П. Тимошенко, А.С. Вольмира и других ученых. 
Сразу оговоримся: в главах первой-пятой, рассматривая поведение совершенных элементов (стержень либо кольцо), ставим 
задачу о нахождении бифуркационной нагрузки; изучая поведение 
несовершенных элементов, говорим о несущей способности и находим нагрузки или время, когда несущая способность считается 
исчерпанной. В обоих упомянутых случаях в литературе принято 
говорить об устойчивости. В классическом же смысле (по Ляпунову) речь о ней идет в заключительной, шестой главе. 
В конце книги приводится полный список использованной литературы, где авторы цитированных работ следуют в алфавитном 
порядке. 
Первая глава вводит читателя в круг обсуждаемых вопросов. 
По мнению автора, квазистатические задачи об устойчивости есть 
развитие идеи Эйлера о бифуркации форм равновесия упругого 
стержня под действием продольной силы: найденная Эйлером 
«сила колонны» 
2
2
эP
EI L
 
 является критической не только  
в смысле бифуркации, но и при действии нагрузки на несовершенную конструкцию, так как прогиб стремительно растет при 

э
P
P

. 
Развивается вариационный подход к решению задач о бифуркации при продольном изгибе для различных условий закрепления 
концевых сечений: на основе принципа минимума потенциальной 
энергии консервативной системы выводятся уравнение равновесия 
и, как следствие равенства нулю первой вариации функционала, — 
естественные краевые условия; критические нагрузки находятся 
как собственные значения задачи Штурма — Лиувилля. 

Предисловие 

Во второй главе в более широком аспекте (по сравнению с традиционным изложением в курсах уравнений математической физики) приводятся классические результаты постановок и решений 
задач на собственные значения. Основные понятия здесь — самосопряженные операторы, самосопряженные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и их связь с вариационными постановками. С самосопряженностью оператора задачи связана  
и корректность постановки Эйлера. Подробно разбирается пример 
приложения метода Ритца к поиску критической силы в задаче  
о продольном изгибе. 
Третья глава занимает центральное положение в книге. Здесь 
вводится понятие о корректности квазистатической постановки  
и подробно изучаются поведение упруго-пластической модели 
Шэнли при различных видах нагружения, а также особенности 
процесса при постоянной силе в условиях ползучести. Показано, 
что процесс выпучивания под действием касательно-модульной 
нагрузки (материал стержня — линейно упрочняющийся) неустойчив в том смысле, что малые возмущения приложенной силы 
существенно изменяют характер кривой «прогиб—время». 
Подробно излагается процедура решения задачи о продольном 
изгибе стержня сплошного сечения. Выведено условие корректности квазистатической постановки: постановка корректна (т. е. положительным приращениям нагрузки или времени соответствуют 
положительные приращения прогиба), пока приложенная сила не 
превышает жесткость на изгиб наиболее нагруженного изгибающим моментом поперечного сечения (все основные величины безразмерны): I
P

. В качестве примера подробно описан процесс 
продольного изгиба стержня возрастающей силой и построены 
картины развития упруго-пластических зон в стержне, а также 
приведена диаграмма «жесткость на изгиб — действующая сила». 
Отмечается, что все классические качественные результаты по 
упруго-пластическому продольному изгибу (линейное упрочнение) получены при условии 
т
σ
σ
t 
 (σt  — касательно-модульное 
критическое напряжение, 
т
σ  — предел пропорциональности). 
Далее условие I
P

 как условие корректности подтверждается на примерах решения задачи о продольном изгибе стержней из 
материалов с любой диаграммой σ
ε

 и при любых законах ползучести. Подчеркивается, что обсуждаемое условие есть, по сути, 

Предисловие 
5 

развитие концепции Хоффа — Веубеке: вследствие роста деформаций в точках стержня жесткость срединного сечения падает  
и в некоторый момент приложенная нагрузка становится критической эйлеровой силой. 
Четвертая и пятая главы посвящены исследованию процесса 
деформирования круглоцилиндрических оболочек внешним гидростатическим давлением. Используется гипотеза о форме поперечного сечения оболочки: оно имеет слегка овальную форму, являясь сопряжением двух окружностей радиусов 
b
R  и 
a
R  


b
a
R
R

. Рассматривается часть сечения, расположенная в пер
вой четверти системы декартовых координат; радиус 
b
R  возрастает в процессе деформирования, а 
a
R  — убывает. Записываем уравнения равновесия отдельно для каждой дуги, причем за точку сопряжения дуг окружностей выбираем точку, в которой внутренний 
изгибающий момент в плоскости сечения равен нулю. Такая точка 
в силу принятой схемы поведения радиусов 
b
R  и 
a
R  заведомо существует. 
Выбранная кинематическая схема позволяет сделать задачу 
статически определимой и свести дело к решению двух нелинейных ОДУ первого порядка относительно двух упомянутых радиусов. 
В четвертой главе рассматривается бесконечно длинная оболочка (кольцо) при различных предположениях относительно 
свойств материала оболочки (упругий и нелинейно вязкий). Анализ результатов численного решения системы уравнений равновесия позволил сделать вывод о том, что бόльшая часть процесса 
сплющивания оболочки (по нагрузке или по времени) протекает  
в пределах малых (по сравнению с радиусами) перемещений точек 
срединной поверхности. Поэтому обоснованно выводятся асимптотические формулы, вполне адекватные, особенно в случае нелинейной упругости материала. 
В пятой главе при некоторых дополнительных предположениях удается разработанную выше кинематическую схему приложить к процессу сплющивания цилиндрических оболочек конечной длины. Приводятся постановки и решения задач для оболочек 
из физически линейных материалов. 
Даны оценки влияния параметров толщины и длины оболочки 
(отношение толщины оболочки к среднему радиусу и отношение 

Предисловие 

длины оболочки к среднему радиусу) на процесс сплющивания 
оболочки конечной длины. Так, например, показано, что при параметре длины, большем 10, можно пренебречь влиянием концевых закреплений и считать оболочку бесконечно длинной. 
Оказалось, что для линейно упругих оболочек конечной длины 
критическое по Эйлеру давление 
э
Q , вычисленное для бесконечно 
длинной оболочки, является критическим и для оболочки конечной 
длины: при 
э
Q
Q

 происходит нарушение корректности квазистатической постановки, так как при малом (по сравнению со средним 
радиусом) прогибе скорости роста радиуса 
b
R  (убывания радиуса 

a
R ) стремятся к бесконечно большим по модулю значениям. 
В конце пятой главы описан алгоритм получения уравнений 
равновесия для оболочек конечной длины, выполненных из физически нелинейных материалов. 
Шестая глава посвящена исследованию неустойчивости (устойчивости) по Ляпунову положений равновесия аэродинамических профилей и систем круговых профилей в воздушном потоке. 
В экспериментах по продувке упругих конструкций в аэродинамической (а/д) трубе было замечено, что для любых профилей 
существует интервал углов атаки, где амплитуда колебаний центра 
масс профиля резко возрастает, а затем так же резко падает. Аналогичные большие колебания наблюдались и на высоковольтных 
линиях электропередачи (ЛЭП) — так называемая пляска или галопирование проводов. Это явление связывают со срывом потока  
с профиля и считают проявлением аэродинамической неустойчивости (потерей а/д демпфирования). В литературе было известно 
необходимое условие а/д неустойчивости Глауэрта — Ден-Гартога 
для движений профиля с одной степенью свободы — авторотация 
и пляска. 
Выведено достаточное условие неустойчивости по Ляпунову 
положений равновесия профиля с тремя степенями свободы, так 
же как и классическое условие, инвариантное относительно механических свойств конструкции. Доказано, что а/д неустойчивость 
есть неустойчивость по Ляпунову. В результате обработки обширного экспериментального материала показано, что оба условия 
одинаково адекватны. 
При обсуждении вопросов проектирования так называемых 
расщепленных токопроводящих фаз ЛЭП была сформулирована 

Предисловие 
7 

гипотеза аддитивности а/д характеристик конструкции, состоящей 
из нескольких круговых профилей. Адекватность гипотезы проверена на поставленном эксперименте в а/д трубе ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского. 
Обработка экспериментальных данных для систем круговых 
профилей (расщепленные фазы) позволила выработать некоторые 
рекомендации по проектированию конструкции расщепленной фазы, что подтверждается практикой строительства ЛЭП. 
В параграфах 6.5 и 6.6, которые написаны доцентом И.К. Марчевским, выводятся достаточные по Ляпунову условия устойчивости для профилей с одной, двумя и тремя степенями свободы  
(в плоскопараллельном движении).  Сформулированы основные 
принципы построения численно-аналитического метода исследования устойчивости равновесия профилей в воздушном потоке  
и приведены примеры решения задач аэроупругости как приложения этого метода. 
 
Выражаю признательность профессору Ю.М. Темису, высказавшему ряд ценных замечаний, и доценту А.В. Котовичу за помощь при подготовке рукописи к печати. 

Глава 1 
КОНЦЕПЦИЯ ЭЙЛЕРА 

1.1. Постановка задачи о продольном изгибе  
упругого стержня 

В 1742 г. в письме от 22 октября Даниил Бернулли сообщает  
Л. Эйлеру, что задача об изгибе упругого стержня может быть решена методом максимумов и минимумов: «…среди кривых постоянной длины, которые проходят через две фиксированные точки 
…, определить ту, для которой 

 
2

0
κ
min

l
ds 

». 
(1.1) 

Это была первая в истории теории упругости постановка вариационной задачи [35, 126]. Действительно, κ  — приращение 
кривизны упругой оси изгибаемого стержня, длина которого l; 

функционал (1.1) с точностью до множителя 1

2 EI  — потенциаль
ная энергия изогнутого стержня, 
κ
EI  — по формуле Бернулли 
[41] есть внутренний момент сопротивления поперечного сечения 
стержня изгибу (Е — модуль Юнга, Н/м2; I — момент инерции сечения относительно его нейтральной линии, м4); 

2
1/ 2
κ
EI
ds  — 
потенциальная энергия элемента ds. Поэтому требование минимальности функционала (1.1) — выражение минимума потенциальной энергии упругого стержня. 
Рассмотрим постановку задачи о продольном изгибе упругого 
стержня, длиной l, постоянного поперечного сечения: I  const, 
рис. 1.1. 

1.1. Постановка задачи о продольном изгибе упругого стержня 
9 

 

 

Рис. 1.1 

Вычислим потенциальную энергию системы «стержень — 
внешняя сила», пренебрегая деформациями сжатия оси. Считаем, 
что прогибы у(х) малы, κ  у. 
Потенциальная энергия элемента ds (в силу гипотезы Бернулли 

и теоремы Клапейрона [68]) равна 
2
1

2 EI
ds

, поэтому энергия все
го стержня 

 
2
1

0

1

2
κ
.

l

EI
ds
  
 

Внешняя сила перемещает подвижный конец стержня на величину  (рис. 1.1): 

 




2

0
0

2
2

0
0

2
2

0
0

1
1

2
2

1
sin

1
tg
1

1
.

l
l

l
l

l
l

l
L
l
ds
l
ds

l
ds
l
y ds

l
y
ds
y dx
dx
ds

  
 

 





 


 







 

















cos

 

Поэтому действующая сила совершит работу 

 
 
2

0

1

2
.

l
A P
P
Py dx


  



 

Потенциальная энергия внешней силы 

 
2
2
0

1

2
.

l
Py dx

  
 

Глава 1. Концепция Эйлера 

 

В силу принципа минимума потенциальной энергии консервативной системы ставим вариационную задачу: 

 
2
2
1
2

0

1
1

2
2
[ ]
min.

l
J y
EIy
Py
dx




   







 
(1.2) 

В силу теоремы о необходимом условии экстремума функционала [29] имеем 

 




1
2
0
[ ,
]
0.

l
J y
y
EIy
y
Py y
dx






   






 

Техника получения из условия J = 0 уравнения равновесия  
и естественных краевых условий состоит в следующем. Интегрированием по частям добиваемся, чтобы под интегралом осталось 
некоторое выражение, умноженное на вариацию у. Приравняв 
множитель при у к нулю, имеем уравнение равновесия. Внеинтегральные слагаемые с учетом кинематических краевых условий 
(предварительных), определяемых постановкой задачи, образуют 
естественные краевые условия. 
Итак (после процедуры интегрирования): 

 




IV
1
0

0
0
0

[ ,
]

              
0.

l

l
l
l

J y
y
EIy
Py
ydx

EIy
y
EIy
y
Py
y





   


















 
(1.3) 

Для обращения вариации функционала в нуль достаточно 
интеграл и внеинтегральные слагаемые приравнять к нулю. Из 
равенства интеграла нулю при произвольных непрерывных вариациях 
 
y x

 в силу леммы Лагранжа получим уравнение равновесия 

 
IV
0.
EIy
Py


 
(1.4) 

Тогда необходимое условие экстремума примет вид 

 




0
0
0

0
0

[ ,
]
0,

0.

l
l
l

l
l

J y
y
EIy
y
EIy
y
Py
y

J
EIy
y
EIy
Py
y


























 
(1.5) 

Постановку задач для различных случаев закрепления концов 
стержня проиллюстрируем примерами.