Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций

Ìîñêâà 2011

Â.Ï. Øìàêîâ

Èçáðàííûå òðóäû
ïî ãèäðîóïðóãîñòè
è äèíàìèêå óïðóãèõ
êîíñòðóêöèé

УДК 539.3 + 532.5  
ББК 22.25 
        Ш71 

Рецензент  
зав. кафедрой cтроительной механики Московского 
авиационного института (Государственного технического 
университета), заслуженный деятель науки,  
д-р техн. наук, проф. Ф.Н. Шклярчук  

Публикацию подготовил Ю.Г. Балакирев 

Шмаков В. П.  
Ш71 
Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих 
конструкций / В.П. Шмаков. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 287, [1] с. : ил.  
 
ISBN 8-978-5-7038-3420-6 
 
Изложены методы расчета свободных и вынужденных колебаний упругих оболочек, частично заполненных жидкостью и без нее, 
при произвольных условиях крепления конструкции. Подробно 
рассмотрены методы расчета взаимодействия жидкости с упругой 
конструкцией. Описано применение модифицированного метода, 
разработанного автором на основе метода Бубнова – Галеркина, позволяющего получить решение краевой задачи при любых граничных условиях. Приведены результаты расчета конструкций летательных аппаратов. 
Книга предназначена для научных работников и инженеров, 
проводящих исследования в области динамики упругих и гидроупругих систем, а также может представлять интерес для аспирантов и 
студентов-старшекурсников университетов соответствующих специальностей. 

УДК 539.3 + 532.5  
                                                                                   ББК 22.25 

 
 Балакирев Ю. Г., составление, 
 
    послесловие, 2011 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 8-978-5-7038-3420-6  
 
 
        МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011 

Избранные труды  
3 

В.П. Шмаков – выдающийся ученый  
в области ракетостроения 

Вячеслав Павлович Шмаков родился в 1935 г., в 1957 г. окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. С 1957  
по 1988 г. работал в ЦНИИмаше, в 1964 г. он защитил кандидатскую, а 
в 1969 г. – докторскую диссертацию по 
техническим наукам. Ученое звание профессора ему было присвоено в 1979 г. 
В.П. Шмаков принимал непосредственное участие в большинстве работ по 
созданию объектов ракетно-космической техники, с 1970 до 1988 г. возглавлял одно из важнейших научных направлений по динамике и устойчивости 
движения в ЦНИИмаше, с 1988 г. работал в МГТУ им. Н.Э. Баумана директором НИИ специального машиностроения, а в последние годы жизни – главным научным сотрудником. 
Профессор В.П. Шмаков как ученый 
получил признание в России и за рубежом. Он внес значительный научный 
вклад в механику и математику. Его научные работы в основном связаны 
с проблемами машиностроения, в первую очередь ракетно-космической 
техники. В 1966 г. за успешное выполнение научных государственных 
программ он награжден орденом «Знак почета», а в 1974 г. за разработку 
конструктивно подобных моделей и их применение при создании и отработке сложных машин В.П. Шмакову присуждена Государственная премия СССР. 
На основании фундаментальных исследований В.П. Шмакова выполнен ряд разработок по следующим направлениям: 
 эффективные методы и решения задач гидроупругости оболочек, в 
часности алгоритмы и программы определения динамических характеристик баков летательных аппаратов, широко применяемые в научных и 
проектных организациях; 
 решения задач динамики оболочек, а также сферических баков, 
частично заполненных жидкостью; 
 обобщение классического метода Бубнова  Галеркина с целью снятия ограничений на выбор системы координатных функций, разработка 

В.П. Шмаков  
4 

теории корректирующих функций, определение взаимосвязи методов 
Бубнова  Галеркина и улучшения сходимости функциональных рядов 
А.Н. Крылова, развитие метода суммирования функциональных рядов, 
представляющих разложения по собственным функциям краевых задач. 
Следует отметить существенный вклад В.П. Шмакова в разработку 
методов анализа динамики упругих модульных конструкций типа российской орбитальной космической станции «Мир» и международной 
космической станции «Альфа», эффективных методов решения ряда задач динамики сложных модульных конструкций в условиях неопределенности в сечениях сопряжения модулей и больших размерностей их 
математических моделей, в решение проблемы продольной устойчивости 
летательных аппаратов с ЖРД и определения динамических нагрузок для 
защищенных амортизированных объектов, ряда объектов ракетнокосмической техники, и в частности системы «Энергия»  «Буран». Впервые разработаны эффективные модели корпусов летательных аппаратов с 
учетом оболочечных деформаций топливных баков. 
Под научным руководством профессора В.П. Шмакова созданы крупномасштабные конструктивно подобные модели и проведены их динамические 
испытания, что позволило определить комплекс необходимых характеристик 
для решения проблем управления и стабилизации на участке выведения. 
В.П. Шмаков уделял большое внимание подготовке научных кадров, под 
его руководством защищено свыше 20 кандидатских диссертаций. Среди его 
учеников три доктора наук. Он являлся членом диссертационных советов, 
участвовал в организации и проведении конференций и семинаров. 
Следует отметить участие В.П. Шмакова в ликвидации последствий 
аварии на Чернобыльской АЭС. 
В.П. Шмаков – автор более 250 научных работ. Под его руководством 
разработаны и изданы «Справочные материалы для конструкторов по 
динамике» в 14 книгах. 
В книге приведены теоретические труды В.П. Шмакова, имеющие 
фундаментальное значение при решении вопросов динамики упругих 
конструкций и задач гидроупругости. Разработанные им методы могут 
найти широкое применение при решении краевых задач в различных областях науки и техники. 
В.П. Шмаков рано ушел из жизни. Выдающийся ученый-ракетчик и 
талантливый педагог, человек твердых гражданских позиций, он останется в памяти своих учеников, соратников, коллег по работе, товарищей. 
 
Президент МГТУ им. Н.Э. Баумана,  
академик РАН И.Б. Федоров 

Избранные труды  
5 

ГЛАВА 1 

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 
ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК  

1.1. Введение 

Конструкции оболочечного типа широко применяют в строи
тельстве, судостроении, авиации, ракетостроении и других отраслях промышленности. 

Теория оболочек является одним из актуальных разделов 

теории упругости, которой в последнее время уделяется исключительно большое внимание. Результаты исследований по теории оболочек, приведенные в фундаментальных монографиях 
В.З. Власова «Общая теория оболочек и ее приложения в технике», В.В. Новожилова «Теория тонких оболочек», А.И. Лурье 
«Статика тонкостенных упругих оболочек», А.Л. Гольденвейзера «Теория упругих тонких оболочек», получены на основании 
следующих гипотез Кирхгоффа – Лява: 

– прямолинейные волокна, перпендикулярные к срединной по
верхности оболочки до деформации, остаются после деформации 
прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной 
поверхности, сохраняя при этом свою длину; 

– нормальными напряжениями на площадках, параллельных 

срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями. 

Моментная теория оболочек, построенная на этих гипотезах, 

успешно применяется для решения статических и динамических 
задач. Однако при решении динамических задач с помощью этой 
теории следует учитывать, что соответствующие краевые задачи 
могут оказаться несамосопряженными. Поэтому при решении за

В.П. Шмаков  
6 

дач о собственных колебаниях нельзя гарантировать вещественность собственных частот. Кроме того, возникают трудности при 
формулировке условий ортогональности для собственных форм 
колебаний, что играет существенную роль при динамическом расчете оболочечных конструкций и исследовании реакции этих конструкций на произвольные возмущения. 

Следует отметить, что если выбрать определенный вариант со
отношений упругости, не противоречащий шестому уравнению 
равновесия, и во всех последующих выкладках воздержаться от 
исключения каких-либо членов, даже в пределах точности теории 
оболочек, можно составить уравнения, которые приводят к самосопряженным краевым задачам. Однако при таком подходе значительно усложненяются уравнения теории оболочек и затрудняется 
их решение. 

Более предпочтительным является вариант технической теории 

оболочек, разработанный В.З. Власовым, как наиболее простой, 
обеспечивающий удовлетворительную точность и приводящий к 
самосопряженным краевым задачам. Уравнения этой теории могут 
быть получены из вариационного принципа, что позволяет, используя общие теоремы функционального анализа, доказать ряд 
общих свойств для собственных частот и форм колебаний. 

1.2. Деформация срединной поверхности оболочки 
и соотношения упругости в теории оболочек 

Ниже приведены основные соотношения, связывающие ком
поненты деформаций срединной поверхности оболочки с перемещениями и усилиями. Известно [5], что деформации произвольного слоя оболочки можно выразить через деформации 
срединной поверхности, а напряжения в оболочке заменить их 
равнодействующими, приведенными также к срединной поверхности. 

Введем обозначения: 1, 2,  – относительные удлинения в на
правлении координатных линий и сдвиг срединной поверхности 
оболочки соответственно; æ , æ

  изменение кривизны срединной 

поверхности оболочки при ее деформациях;   кручение срединной поверхности оболочки. Пусть u1, u2  перемещения точек срединной поверхности оболочки в направлении координатных линий 
1, 2, за которые примем линии главных кривизн, w – нормальное 

Избранные труды  
7 

перемещение точек срединной поверхности, которое считается 
положительным, если совпадает с положительным направлением 
внешней нормали к срединной поверхности. 

В соответствии с результатами работ [5, 8, 19, 27] компонен
ты деформаций связаны с перемещениями следующими соотношениями: 

1
1
1
2
1
1
1
2
2
1

2
2
2
1
2
2
1
2
1
2

1
2
2

2
1
1
1
2

1
1
2

1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2

1
1
ε =
;

1
1
ε =
;

;

1
1
1
1
1
æ
;

u
A
w
u
A
A A
R

u
A
w
u
A
A A
R

A
u
A
u
A
A
A
A

u
A
u
w
w
A
A
R
A A
A
R



























 



















 
















 

 
2
2
1

2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1

1
1
1
1
æ
;
u
A
u
w
w
A
A
R
A A
A
R









 















  (1.1) 

2
1
2

2
1
2
1
2
1
2
1
2

1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1

1
1

1
1
1
1
1
1
.

A
A
w
w
w
A A
A
A

u
A
u
A
u
u
R
A
A A
R
A
A A











  







 
 
 




























 

В соотношениях (1.1) А1, А2  коэффициенты первой квадра
тичной формы поверхности или параметры Ляме; R1, R2  радиусы 
кривизн координатных линий 1, 2. 

Выделим из оболочки нормальными плоскостями 1 = const, 

1 + d1 = const, 2 = const, 2 + d2 = const бесконечно малый 
элемент и заменим напряжения, действующие на гранях этого 
элемента, статически эквивалентными им усилиями и момента

В.П. Шмаков  
8 

ми, которые будем считать приложенными к сторонам выделенного элемента срединной поверхности. Положительные направления усилий T1, T2, T12, T21, N1, N2 и моментов М1, М2, М12, М21 
показаны на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. Усилия и моменты, приложенные к сторонам бесконечно малого 
элемента оболочки 

Соотношения (1.1) определяют деформированное состояние 

срединной поверхности. Для определения напряженного состояния необходимы соотношения упругости, связывающие компоненты усилий с компонентами деформаций. Заметим, что в теории 
оболочек имеются различные варианты соотношений упругости, 
различающиеся дополнительными членами, которые вносят в 
уравнения поправки порядка /R0 по отношению к единице, т. е. 
поправки в пределах точности исходных гипотез. Поэтому в пределах гипотез Кирхгоффа – Лява можно остановиться на одном из 
наиболее простых вариантов [27]: 

 

1
1
2
2
2
1

1
1
2
2
2
1

(
);
(
);

(æ
æ );
(æ
æ );

1
;
(1
)
;
2

T
B
T
B

M
D
M
D

S
B
H
D


  

  


 

 

 



 


 
(1.2) 

 
12
2
21
21
1
12
12
21
1
;
(
).
2
S
T
k M
T
k M
H
M
M






 
(1.3) 

Избранные труды  
9 

В формулах (1.2) 
,
B D  жесткости оболочки на растяжение 

и изгиб соответственно; 
;
)

E
E
B
D










 
 
; Е,   модуль 

упругости и коэффициент Пуассона;   толщина оболочки. 

Недостатком соотношений упругости (1.2) является неопреде
ленность усилий T12, T21 и моментов М12, М21. Однако эта неопределенность в теории оболочек несущественна, поскольку в уравнения равновесия и граничные условия, если они формулируются 
в напряжениях, эти усилия и моменты входят лишь в комбинациях, обозначенных выше через S и H [27]. Аналогично в выражение 
для потенциальной энергии деформации усилия T12, T21, М12, М21 
также входят лишь в комбинациях с S и H. Действительно, согласно работе [27], потенциальная энергия деформаций тонкой упругой оболочки  

 









2
1
2
1
2

2
2
1
2
1
2
1
2
1
2

1
=
2 1
2
4

1
æ
æ
2 (1
)(æ æ
)
,
2

S

S

W
B
A A d
d

D
A A d
d









 
  

 




















 
 











2

1
2
1 2
+

 (1.4) 

или с учетом соотношений (1.2)  

 


1 1
2 2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
æ
æ
2
.
2 S
W
T
T
S
M
M
H
A A d
d

 
  






(1.5) 

Выражение для потенциальной энергии (1.5), соотношения 

упругости (1.2) и выражения для компонент деформаций (1.1) 
можно использовать для составления общих уравнений равновесия и уравнений, описывающих собственные колебания упругих 
оболочек. 

Соотношения (1.1), связывающие компоненты деформации с 

перемещениями срединной поверхности, получены геометрическим путем [27]. Аналогичные соотношения можно вывести и из 
общих уравнений теории упругости, как это сделано, например, в 
работе [5]. Отметим, что в этом случае соотношения для тангенци

В.П. Шмаков  
10

альных компонент деформации полностью совпадают с приведенными выше, а соотношения для изгибных компонент деформаций 
принимают вид 

  

2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2

2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2

1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2

2

1
2

1
1
1
æ
;

1
1
1
æ
;

(
)

2

k u
k u
A
w
w
k w
A
A
A
A
A A

k u
k
u
A
w
w
k
w
A
A
A
A
A A

A
u
A
u
k
k
A
A
A
A

w
A A




















 






















 






























1
2

1
2
1
2
1
2
1
2

1
1
.
A
A
w
w
A
A













 
 
 



 (1.6) 

В соотношениях (1.3), (1.6) 
1k , 
2
k   кривизны срединной по
верхности оболочки в направлении координатных линий. 

Можно показать, что соотношения (1.6) с точностью до по
грешностей, вносимых гипотезами Кирхгоффа – Лява, совпадают с 
соответствующими соотношениями (1.1). 

Численные оценки применительно к конкретным формам 

оболочек (цилиндрической, сферической) показали, что изменения кривизны и кручения, обусловленные компонентами перемещений, касательными к срединной поверхности, как правило, 
пренебрежимо малы, поэтому для большого класса практически 
важных задач членами, пропорциональными касательным перемещениям, можно пренебречь. В этом случае соотношения (1.6) 
принимают вид 

2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2

1
1
1
æ
;
A
w
w
k w
A
A
A A







 






 


 

 
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2

1
1
1
æ
;
A
w
w
k w
A
A
A A







 






 


 
(1.7)