Практическое руководство по решению измерительных задач на основе оптимальных планов измерений

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Н.Г. Назаров

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
ПО РЕШЕНИЮ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ
ПЛАНОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
для аспирантов и дипломников

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

УДК 53.08(075.8)
ББК 30.10
H19

H19

Рецензенты: д-р техн. наук В.В. Голиков,
канд. техн. наук, доцент В.М. Ховов

Назаров Н.Г.
Практическое руководство по решению измерительных
задач на основе оптимальных планов измерений: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 162 с.: ил.
ISBN 978-5-7038-2958-5
Излагаются методики определения оптимальных планов измерений, используемых при решении прикладных измерительных задач двух типов: задач, связанных с экспериментальной
оценкой постоянных и переменных величин, и задач по экспериментальной оценке соответствия объекта измерения требованиям нормативного документа.
Учебное пособие предназначено для дипломников и аспирантов при выполнении экспериментальной части дипломных
проектов и диссертационных работ, а также для преподавателей при разработке методических указаний по выполнению лабораторных работ, связанных с измерениями и обработкой результатов измерений.
Ил. 21. Табл. 5. Библиогр. 6 назв.
УДК 53.08(075.8)
ББК 30.10

ISBN 978-5-7038-2958-5
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

ОТ АВТОРА

Основой написания настоящего руководства по решению измерительных задач послужили лекции, прочитанные автором аспирантам факультета «Машиностроительные технологии» МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
Совокупность измерительных задач, с которыми имеет дело
прикладная метрология, можно разделить на два типа. Измерительные задачи первого типа заключаются в том, чтобы экспериментально определить неизвестные значения постоянных и переменных величин в форме точечных и интервальных оценок с заданными ограничениями на их точность. Измерительные задачи второго
типа состоят в том, чтобы экспериментально оценить соответствие
качества объекта измерения требованиям, содержащимся в нормативном документе, при заданных ограничениях на вероятности
ошибок 1-го и 2-го рода. Особенностью измерительных задач второго типа является то, что их решения основаны на использовании
в схеме альтернативных гипотез решающей функции, характеризующейся скалярным параметром.
Измерительным задачам первого типа соответствует план многократных измерений, включающий два элемента: измеряемую
величину или совокупность измеряемых величин и объем многократных измерений, а измерительным задачам второго типа —
план измерения, включающий план многократных измерений и
параметр решающей функции.
Оптимальным называется такой план, который обеспечивает
выполнение заданных ограничений: на точность точечных и интервальных оценок — для измерительных задач первого типа и

3

вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода — для измерительных задач
второго типа при минимальном объеме многократных измерений.
Процедуры формирования оптимальных планов измерений изложены при следующих основных допущениях.
1. Результат однократного измерения (а следовательно, и случайная погрешность) является гауссовской случайной величиной.
2. Совокупности однократных результатов измерений являются
взаимно некоррелированными случайными величинами.
3. Случайная погрешность однократного результата измерения
удовлетворяет требованию единства измерений, определенному законом РФ «Об обеспечении единства измерений».
4. В конкретной измерительной задаче, реализуемой в конкретных рабочих условиях с использованием конкретного экземпляра
средства измерения (СИ) и метода измерения, систематическая
погрешность результата измерения является детерминированной
величиной.
Руководство состоит из предисловия, четырех разделов и приложения.
В первом разделе даны определения ключевых понятий, используемых в метрологии, и приведена аргументированная критика
некорректных трактовок ряда понятий, получивших распространение в учебной литературе и нормативных документах. К числу
таких понятий относятся понятие «качество» и числовые значения
экспертных оценок, используемых в квалиметрии.
Приведены также алгоритмы обработки многократных измерений, формируемые одним СИ.
Второй раздел посвящен изложению экспериментальных процедур оценки соответствия погрешности результата однократного
измерения требованию единства измерений, определенного в Законе РФ «Об обеспечении единства измерений» следующим образом: «...а их погрешности не выходят за установленные пределы с
заданной вероятностью». Этот закон был принят более десяти лет
тому назад, но до сих пор предложенная форма требования к случайной погрешности не нашла полного отражения в нормативных
документах Государственной системы измерений (ГСИ), в которых
фиксируются только установленные пределы без указания вероятности.

4

Невыход гауссовской погрешности за установленные пределы
с заданной вероятностью можно заменить эквивалентными ограничениями на дисперсию и систематическую погрешность. Эти
ограничения для конкретных условий, в которых решается измерительная задача, сравнительно просто оценить экспериментально
на основе оптимальных планов измерения. В случае невыполнения
этих ограничений предлагаются способы их обеспечения: по дисперсии — за счет многократных измерений, по систематической
погрешности — за счет ее корректировки.
Акцентировано внимание на необходимости учета ограничения
систематической погрешности при формировании реализации интервальной оценки измеряемой величины.
В третьем разделе изложены алгоритмы определения оптимальных планов измерения для измерительных задач первого и второго типов применительно к объектам измерения, характеризующимся постоянной величиной или совокупностью постоянных величин.
Выражения для оптимальных параметров планов измерения даны в
предположении, что условия единства измерений для систематической погрешности и дисперсии случайной погрешности однократных результатов измерений, получаемых СИ и используемых в конкретной измерительной задаче, выполняются.
Приведены алгоритмы формирования оптимальных планов для
такой важной в прикладном отношении измерительной задачи, как
оценка соответствия по качеству экземпляра продукции образцовому экземпляру.
В четвертом разделе рассмотрены алгоритмы формирования
оптимальных планов для измерительных задач первого и второго
типа применительно к такому объекту измерения, как функция отклика. При определении выражений для оптимальных элементов
плана измерения использовались следующие условия.
1. Условие ортогональности плана измерения.
2. Условие равноточности по дисперсии результатов обработки
многократных измерений на компонентах вектора плана измерения.
3. Требования, предъявляемые к отклонению математической
модели от истинной функции отклика на векторе плана измерения,
задаются в форме гиперсферы. Это позволило решить задачу фор
5

мирования оптимального плана в схеме скалярных альтернативных
гипотез.
Выражения для оптимальных значений объемов многократных измерений получены на основе приближенного метода, суть
которого состоит в замене случайной квадратичной формы с нецентральным χ2-распределением эквивалентным центральным χ2распределением. Условием эквивалентности является равенство
их математических ожиданий и дисперсий. Указанные выражения
получены с учетом ограничений на систематические погрешности
результатов однократных измерений, налагаемых условием единства измерений.
В приложении помещены таблицы значений функций распределений и их квантилей, используемых при формировании оптимальных планов измерений.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам д-ру
техн. наук В.В. Голикову и канд. техн. наук, доценту В.М. Ховову за
пожелания и замечания, высказанные в процессе обсуждения рукописи практического руководства, и Е.Ю. Ованесян за тяжкий труд
по переводу на дискету рукописи, оформленной почерком, далеким
от каллиграфического.
Замечания и предложения по дальнейшему совершенствованию
практического руководства как по содержанию, так и по форме его
изложения автор просит направлять на кафедру МТ-4.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, КЛАССИФИКАЦИИ
И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ МНОГОКРАТНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ

1.1. Понятия «свойство», «величина»
и «отношение эквивалентности»

Метрология как наука об измерениях базируется на фундаментальных понятиях. Приведем основные из них [1].
Свойство — философская категория, выражающая такую сторону материального объекта (далее — объекта), которая обусловливает его общность или различие с другими объектами и обнаруживается в его отношении к ним.
В этом определении отражены две важные особенности.
1. Свойство некоторого объекта а обнаруживается через его
отношение к аналогичному свойству объекта а0, т. е. экспериментально.
2. Исходом такого экспериментального отношения является появление одного из двух противоположных событий: либо события,
состоящего в том, что однородные свойства объекта а и а0 обладают общностью (эквивалентны), либо события, состоящего в том,
что эти свойства различны (неэквивалентны).
Далее вместо термина «общность» будем использовать термин
«эквивалентность» и следующие обозначения:
≈ — знак отношения эквивалентности;
̸≈ — знак отношения неэквивалентности.
В математике, наиболее строгой науке, бинарное отношение
объектов называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим аксиомам.

7

Пусть А = {a} — множество объектов. Тогда:
1) а ≈ а для всех а ∈ А, т. е. каждый объект эквивалентен самому себе (аксиома рефлексивности);
2) если а1 ≈ а2, то а2 ≈ а1, а1, а2 ∈ А, т. е. эквивалентность
двух объектов является взаимной (аксиома симметричности);
3) если а1 ≈ а2, а2 ≈ а3, то а1 ≈ а3, а1, а2, а3 ∈ А, т. е. из эквивалентности объекта двум другим объектам следует, что эти (другие) объекты также эквивалентны (аксиома транзитивности).
Разумеется, объект характеризуется не одним свойством, а совокупностью свойств, выражающих различные особенности объекта.
Идентификация разнородных свойств осуществляется посредством
присвоения им разных наименований. Например, протяженность
объекта — длина, свойство накапливать электрические заряды —
электрическая емкость и т. д.
Именованное свойство называется величиной.
Величина — особенность, свойство, общее в качественном отношении для многих объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта.
Это определение по сравнению с определением понятия «свойство» имеет следующие особенности:
1) величины подразделяются на качественные и количественные;
2) значения однородных количественных величин разных объектов а и а0 индивидуальны, т. е. не равны.
Примером качественной величины может служить цвет объекта: белый, черный, красный, зеленый и т. д. Ключевой особенностью качественной величины является то, что она не имеет значения, лежащего на числовой оси, и характеризуется совокупностью
(множеством) попарно разных градаций. Для того чтобы идентифицировать градации, можно либо дать им разные наименования,
либо присвоить разные индексы (номера).
Обозначим качественную величину γ и соответствующую ей совокупность градаций Γ = {γ (1), . . . , γ (m)}.
Рассмотрим теперь содержательный смысл отношения эквивалентности между двумя объектами, характеризующимися однородными качественными величинами γ и γ ∗. Обозначим эти объекты
а(γ) и ˙а(γ ∗).

8

Очевидно, что эквивалентность этих объектов будет иметь место только тогда, когда будут эквивалентны величины γ и γ∗, т. е.

а(γ) ≈ а∗(γ∗), если γ ≈ γ∗;

а(γ) ̸≈ а∗(γ∗), если γ ̸≈ γ∗.

В свою очередь эквивалентность качественных величин γ и γ∗ определяются единственным условием — совпадением их градаций, т. е.

γ ≈ γ∗, если γ ≡ γ∗;

γ ̸≈ γ∗, если γ ̸≡ γ∗,

где ≡, ̸≡ — знаки совпадения и несовпадения градаций величин γ
и γ∗.
Представим совокупность качественных величин в форме вектора ˉγ = (γ1, . . . , γn). Два вектора ˉγ и ˉγ∗ называются однородными,
если они имеют одинаковое количество компонентов с совпадающими наименованиями. Очевидно, что однородные векторы ˉγ и ˉγ∗

будут эквивалентными, если будут эквивалентны все однородные
компоненты этих векторов, т. е.

ˉγ ≈ ˉγ∗, если
n∩
k=1(γk ≈ γ∗
k),

где ∩ — знак произведения событий (γk ≈ γ∗
k); k = 1, n.
Также очевидно, что эти векторы будут неэквивалентны, если
хотя бы для одного из однородных компонентов векторов будет
иметь место неэквивалентность, т. е.

ˉγ ̸≈ ˉγ∗, если
n∪
k=1(γk ̸≈ γ∗
k),

где ∪ — знак объединения (суммы) событий (γk ̸≈ γ∗
k), k = 1, n.
Теперь условия эквивалентности и неэквивалентности двух
объектов, характеризующихся однородными векторами ˉγ и ˉγ∗; выражаются в следующем виде:

а(ˉγ) ≈ а∗(ˉγ∗), если ˉγ ≈ ˉγ∗,

а(ˉγ) ̸≈ а∗(γ∗), если ˉγ ̸≈ ˉγ∗.

9

Рассмотрим условие эквивалентности двух однородных количественных величин х и х ∗, характеризующих разные объекты,
которые обозначим а(х) и а∗(х ∗). Поскольку эти величины принадлежат разным объектам, их значения индивидуальны, т. е. условие х = х ∗ является невозможным событием и, следовательно, его
нельзя принять в качестве условия эквивалентности величин х и х ∗.
Однако, если модуль разности значений этих величин будет мал,
то эти величины можно считать эквивалентными, т. е.

х ≈ х ∗, если |Δх| ≤ 1
2Tx;

х ̸≈ х ∗, если |Δх| > 1
2Tx,
(1..1)

где Δх = х − х ∗; Tx — допуск поля допуска 0 ± 1
2Tx.
Теперь отношения эквивалентности и неэквивалентности двух
объектов запишутся следующим образом:

а(х) ≈ а∗(х ∗), если х ≈ х ∗;

а(х) ̸≈ а∗(х ∗), если х ̸≈ х ∗,

где условия эквивалентности и неэквивалентности количественных
величин представлены отношениями (1.1).
Рассмотрим условие эквивалентности однородных векторов на
количественных компонентах, характеризующих объекты а(ˉх) и
а∗(ˉх ∗), где ˉх = (х1, . . . , хm)т, ˉх ∗ = (х ∗
1 ..., х∗
m)т. Очевидно, что
однородные векторы будут эквивалентными, если будут эквивалентными все однородные компоненты этих векторов, т. е.

ˉх ≈ ˉх ∗, если
m∩
k=1(хk ≈ х ∗
k ),
(1..2)

и будут неэквивалентными, если будет неэквивалентен хотя бы
один из компонентов векторов, т. е.

ˉх ̸≈ ˉх ∗, если
m∪
k=1 (хk ̸≈ х ∗
k ).
(1..3)

10