Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций

Оглавление 
————————————————————————————— 
УДК 620 (075.8) 
ББК 38.112 
 К89 
 
Р е ц е н з е н т ы: 

кафедра «Двигатели летательных аппаратов» Московского 
государственного технического университета гражданской авиации 
(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.В. Никонов); 
чл.-кор. РАН Н.А. Махутов 
 
Кузьмин М. А. 
К89  
Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций : учеб. пособие / М. А. Кузьмин, Д. Л. Лебедев, Б. Г. Попов ; под ред.  
В. Л. Данилова. # М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. # 
2012. # 341, [3] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3570-8 
Книга входит в серию учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» 
и содержит описание методов расчета на прочность стержневых 
конструкций, пластин и оболочек с использованием метода конечных элементов. Рассмотрены формулировки задач статики, динамики, устойчивости и теплопроводности. Для решения этих задач 
предложены алгоритмы: численного интегрирования, решения задач на собственные значения, решения нестационарных задач. 
Представлено множество примеров решения практических задач. 
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, а также аспирантов, преподавателей и проектировщиков. 
 
УДК 620 (075.8) 
ББК 38.112 
 

 
©  Лебедев Д.Л., 2012 
 
©  Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3570-8 
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
3 
————————————————————————————— 
Оглавление 

Предисловие ................................................................................................... 5 
От авторов ...................................................................................................... 6 
1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ  КОНСТРУКЦИЙ ..................................... 7 
1.1. Трехузловой конечный элемент  криволинейного стержня .......... 7 
1.2. Расчет свободных колец ................................................................. 19 
1.3. Кручение стержня ........................................................................... 28 
2. РАСЧЕТ ПЛАСТИН .............................................................................. 44 
2.1. Задача о плоском напряженном состоянии композитных 
       пластин ............................................................................................. 44 
2.2. Изгиб шарнирно опертой прямоугольной пластины ................... 62 
2.3. Треугольный шестиузловой конечный элемент прямоуголь- 
       ной пластины ................................................................................... 73 
2.4. Четырехугольный девятиузловой конечный элемент  
       пластины .......................................................................................... 85 
3. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК .......................................................................... 102 
3.1. Изгиб шарнирно опертой цилиндрической оболочки ............... 102 
3.2. Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки  
       под действием осевого сжатия и внешнего давления ................ 115 
3.3. Расчет оболочек вращения ........................................................... 121 
3.3.1. Геометрия КЭ конической оболочки ................................ 121 
3.3.2. Кинематика деформирования ............................................ 122 
3.3.3. Деформационные соотношения ......................................... 123 
3.3.4. Соотношения упругости ..................................................... 125 
3.3.5. Вариационная формулировка задачи статики для КЭ ..... 127 
3.3.6. Формирование матрицы жесткости КЭ и вектора 
          приведенных узловых сил .................................................. 128 
3.3.7. Обработка результатов расчета ......................................... 132 
3.3.8. Учет температурных деформаций ..................................... 134 
3.3.9. Учет упругого основания ................................................... 135 
3.3.10. Исходные геометрические данные .................................. 136 
3.3.11. Постановка шпангоутов ................................................... 138 
3.3.12. Граничные условия для решения задачи МКЭ .............. 140 
3.3.13. Описание исходных данных ............................................ 141 
3.4. Расчет баллона высокого давления ............................................. 145 
3.5. Расчет корпуса ракетного двигателя ........................................... 158 
3.6. Конечный элемент пологой оболочки ......................................... 182 
3.6.1. Геометрические характеристики гладкой пологой  
          поверхности ......................................................................... 182 
3.6.2. Деформационные соотношения ......................................... 184 
3.6.3. Смешанный треугольный шестиузловой конечный 
          элемент пологой оболочки ................................................. 190 
3.7. Расчет толстостенных оболочек .................................................. 194 

Оглавление 
————————————————————————————— 
4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  ФОРМУЛИРОВКИ ................................... 198 
4.1. Формулировки задач статики ...................................................... 198 
4.2. Формулировки задач динамики ................................................... 217 
4.3. Формулировки задач устойчивости ............................................ 221 
4.4. Формулировки нелинейной задачи статики ............................... 225 
4.4.1. Деформационные соотношения ......................................... 225 
4.4.2. Напряжения ......................................................................... 226 
4.4.3. Принцип возможных перемещений .................................. 226 
4.4.4. Алгоритм МКЭ .................................................................... 228 
4.4.5. КЭ для расчета конической оболочки ............................... 230 
4.5. Формулировки задач теплопроводности .................................... 235 
4.5.1. Стационарная задача теплопроводности .......................... 235 
4.5.2. Нестационарная задача теплопроводности ...................... 241 
4.5.3. Решение задач теплопроводности МКЭ ........................... 242 
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ............................................. 250 
5.1. Аппроксимации решений на конечные элементы ..................... 250 
5.1.1. Одномерный случай ........................................................... 250 
5.1.2. Интерполяция на четырехугольных плоских элементах  257 
5.1.3. Интерполяция на треугольных плоских элементах ......... 264 
5.1.4. Интерполяция для трехмерных КЭ ................................... 273 
5.2. Алгоритмы численного интегрирования .................................... 279 
5.2.1. Квадратурные формулы для одномерного случая ........... 279 
5.2.2. Численное интегрирование на двумерной области ......... 288 
5.2.3. Численное интегрирование на трехмерной области ........ 292 
5.3. Алгоритмы решения задач на собственные значения ............... 293 
5.3.1. Обзор типовых задач .......................................................... 293 
5.3.2. Приведение обобщенной задачи на собственные значе- 
          ния к стандартной форме ................................................... 294 
5.3.3. Степенные итерации. Отношение Рэлея ........................... 298 
5.3.4. Ортогональные преобразования матрицы ........................ 303 
5.3.5. Алгоритм Якоби .................................................................. 304 
5.3.6. Метод итераций в подпространстве .................................. 306 
5.4. Алгоритмы решения нестационарных задач .............................. 307 
5.4.1. Постановка задачи нестационарной диффузии ................ 307 
5.4.2. Согласованность и устойчивость разностных схем ......... 310 
5.4.3. Варианты дискретных операторов дифференцирования  
          по времени ........................................................................... 312 
5.4.4. Метод модальной суперпозиции ....................................... 319 
5.4.5. Анализ дискретных операторов, определяющих вторую  
          производную по времени ................................................... 322 
5.4.6. Свободные колебания систем ............................................ 333 
5.4.7. Вынужденные колебания при силовом гармоническом  
          возбуждении ........................................................................ 334 
5.4.8. Вынужденные колебания при кинематическом гармони- 
          ческом возбуждении ........................................................... 335 
5.4.9. Уравнения динамики незакрепленных дискретных  
          систем ................................................................................... 336 
Список литературы .................................................................................... 342

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
5 
————————————————————————————— 
ПРЕДИСЛОВИЕ 

Создание высокоэффективных конструкций современной техники требует разработки и использования новых материалов со 
сложной структурой и более точного анализа поведения конструкции в условиях эксплуатации. В связи с этим существенно повышаются требования к теоретической и практической подготовке 
инженеров-конструкторов, расчетчиков и технологов. 
Комплект учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» подготовлен 
на основе дисциплин «Сопротивление материалов», «Прочность 
элементов конструкций», «Строительная механика», однако не 
дублирует их, а дополняет новыми разделами, тематика которых 
становится все более актуальной. Основное внимание в этих пособиях уделяется практической реализации расчетных моделей. 
Ранее вышли в свет три учебных пособия: «Решение задач механики методом конечных элементов», «Строительная механика и 
расчеты композитных конструкций на прочность», «Упругопластические решения и предельные состояния». В настоящем пособии приведены расчеты на прочность элементов многослойных 
композитных конструкций (однородные изотропные и ортотропные конструкции рассматриваются как частные случаи); освещены 
вопросы изготовления элементов многослойных конструкций 
(стержней, пластин, оболочек); даны математические формулировки задач статики и динамики конструкций и основные алгоритмы их решения с помощью метода конечных элементов, а также аналитические решения. Авторы стремились представить материал достаточно корректно в математическом изложении, но в то 
же время доступно для широкого круга студентов, аспирантов, 
преподавателей и специалистов. Основное содержание пособия 
представляет собой расширенный курс лекций, прочитанных профессором Б.Г. Поповым для студентов машиностроительных специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
Познакомившись с содержанием книги, читатель, без сомнения, сможет более глубоко понять задачи механики, узнать, что 
положено в основу современных вычислительных программных 
комплексов и, главное, научиться правильно ставить и решать новые научные и технические задачи.   

Доктор технических наук, профессор   В.Л. Данилов 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 
 

ОТ АВТОРОВ 

В современных силовых конструкциях находят широкое применение волокнистые композитные (композиционные) материалы 
(КМ), представляющие собой твердое полимерное связующее, армированное высокопрочными и высокожесткими волокнами 
(например, стеклопластики, углепластики, органопластики и др.). 
Методами непрерывной намотки или укладки волокнистой основы 
со связующим и последующей полимеризацией связующего создают типичные элементы силовых конструкций: многослойные 
стержни, пластины и оболочки, которые имеют требуемые механические свойства, малую материалоемкость при высокой удельной прочности и жесткости. Такие элементы конструкций из КМ 
применяются в ракетно-космической технике, авиационной, судостроительной промышленности, химическом машиностроении, 
автомобилестроении и в других отраслях. 
В настоящее время в нашей стране и за рубежом увеличивается 
количество публикаций, посвященных вопросам механики КМ и 
расчетам конструкций из них. Однако в них обычно рассматриваются узкоспециализированные темы и ориентироваться в этом обилии информации неподготовленному читателю довольно трудно. 
В данном пособии изложены основные начальные сведения, 
необходимые для понимания прочностного расчета конструкций 
из КМ. Приведены сведения о волокнистых композитах, их структуре и типовых механизмах разрушения. Представлены основные 
данные из механики КМ. Рассмотрены алгоритмы определения 
приведенных жесткостных характеристик многослойных КМ пакетов, которые необходимы для расчета тонкостенных конструкций. Отдельные разделы посвящены расчетам КМ стержней, пластин и оболочек. Даны аналитические решения, а также алгоритмы 
решения задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ). 
Обсуждены вопросы, связанные с оценками жесткости, прочности, 
устойчивости и динамики конструкций.  
Особенностью этого выпуска является большое число примеров с аналитическими решениями и изложение основ расчета 
МКЭ. 
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
7 
————————————————————————————— 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ  
КОНСТРУКЦИЙ   

1.1. ТРЕХУЗЛОВОЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ  
КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ 
Кинематика деформирования. Для описания деформирования плоского криволинейного стержня воспользуемся гипотезой 
плоских сечений (гипотезой С.П. Тимошенко), т. е. будем считать, 
что нормальное сечение стержня остается плоским, смещается в 
плоскости кривизны стержня и поворачивается на некоторый 
угол θ,  в общем случае отличный от угла поворота нормали сечения (рис. 1.1). В результате деформирования слой, имеющий координату z, перемещается по касательной на u и за счет поворота сечения на угол θ  добавляется θ.
z
 Таким образом, z-е сечение имеет 
смещение по касательной 

( )
,
z
u
u
z
=
+ θ  

где индекс z означает принадлежность к z-му слою. 

 

Рис. 1.1. К определению кинематики деформирования криволинейного стержня: 
а # исходное положение; б # деформированное положение 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 
Деформационные соотношения. Согласно принятой гипотезе, для слоя, отстоящего на расстоянии z от координатной линии 
(линии центров тяжести сечения), получим распределение окружных деформаций 
( )
( )
ε
/
;
z
z
du
ds
kw
=
+
 деформация поперечного 

сдвига γ  определяет изменение прямого угла между углом поворота нормали ( w
ku
′ −
) и углом поворота сечения θ: 

 
( )
ε
ε
æ ;

γ
θ
,

z
z

w
ku

=
+

′
=
+
−
 
 (1.1) 

где 
 
ε
;
u
kw
′
=
+
    æ
θ ;′
=
  
(1.2) 

( )
/
;
d ds
′
⋅
=
 
1/
k
R
=
 # кривизна стержня; u # касательное перемещение координатной линии; w # нормальный прогиб; θ  # 
угол поворота сечения. (Для прямолинейного стержня k = 0.) Деформация ε характеризует линейную деформацию растяжениясжатия координатной линии, деформация γ  # деформацию поперечного сдвига кольца. Таким образом, чтобы в любой точке 
кольца определить его деформированное состояние, нужно знать 
ε,  æ,  γ. 
Обобщенные перемещения U и деформации ε  представим в 
виде 
[
]
T
,
,
;
u w
=
θ
U
 

[
]
T
, æ,
.
= ε
γ
ε
 

Согласно (1.1) и (1.2), связь деформаций с перемещениями 
(или деформационные соотношения) запишем следующим образом: 
,
= LU
ε
 

где 

0
0
0
.
1

d ds
k
d ds
k
d ds

⎡
⎤

⎢
⎥
=

⎢
⎥
−
⎣
⎦
L
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
9 
————————————————————————————— 
Соотношения упругости. В качестве внутренних силовых 
факторов, сопряженных с деформацией ,ε  будут выступать компоненты вектор-столбца N: 

[
]
T
,
,
,
N M Q
=
N
 

где 

( )
σ
;
z
F

N
dF
= ∫
 
( )
σ
;
z
F

M
zdF
= ∫
 
τ
.

F
Q
dF
= ∫
 

Здесь 
( )
( )
σ
ε
;
z
z
E
=
 E # модуль упругости материала; F # пло
щадь поперечного сечения стержня; τ
γ;
G
=
 G # модуль поперечного сдвига материала. Положительные направления N, M, Q 
показаны на рис. 1.2. 

Рис. 1.2. Положительные направления внутренних силовых факторов 

 
Соотношения упругости, определяющие связь внутренних силовых факторов N с обобщенными деформациями ,ε  запишем в 
следующем виде: 
,
=
N
Dε  
где 

0
0
0
0
0
0

EF
EJ
GF

⎡
⎤

⎢
⎥
=

⎢
⎥
⎣
⎦
D
 # 

матрица приведенных жесткостей стержня; EF # погонная жесткость стержня на растяжение-сжатие; EJ # погонная изгибная 
жесткость; GF # погонная жесткость на поперечный сдвиг. (Считается, что положение координатной линии (
0)
z =
 выбрано так, 

что 
0,

z
Ebzdz =
∫
 где b(z) # ширина слоя.) 

Вариационная формулировка смешанного типа для решения задачи статики. Обработка КЭ. Рассмотрим отдельный 
стержневой КЭ (рис. 1.3) с тремя узлами. В качестве узловых сте

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 

пеней свободы для такого КЭ будут выступать касательные перемещения ui, нормальные прогибы wi и углы поворота θ .i  Все эти 
неизвестные объединим в вектор-столбец q:  

[
]
T
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,
, θ ,
,
, θ ,
,
, θ
.
u
w
u
w
u
w
=
q
 

Узловые реакции (реакции отброшенных элементов) объединим в вектор-столбец R:  

T

1
1
1
3
3
3
,
,
, 0, 0, 0,
,
,
,
.
N
Q
M
N
Q
M
⎡
⎤
= ⎣
⎦
R
 

(Присутствующие в векторе R нули соответствуют второму узлу, 
на который не действуют реакции соседних КЭ.) 
Выполним независимые аппроксимации перемещений U и деформаций .ε  Для перемещений проведем квадратичную аппроксимацию: 

 
;
=
U
q
Φ
   δ
δ ,
=
U
q
Φ
 
(1.3) 

где 

3
1
2

(3 9)
1
2
3

1
2
3

φ
0
0
φ
0
0
φ
0
0
0
φ
0
0
φ
0
0
φ
0
;
0
0
φ
0
0
φ
0
0
φ
×
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎣
⎦

Φ
 

2
1
φ
2ξ
3ξ
1;
=
−
+
 
2
2
φ
4ξ
4ξ
4ξ(1
ξ);
= −
+
=
−
 
2
3
φ
2ξ
ξ;
=
−
 ξ
;
s L
=
 
L # длина дуги КЭ. 
Выполним линейную аппроксимацию деформации: 

 
;
=
ε
ωα    δ
δ ,
=
α
ε
ω
 
(1.4) 

Рис. 1.3. Трехузловой КЭ криволинейного стержня 
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
11 
————————————————————————————— 
где 

1
2

(3 6)
1
2

1
2

ω
0
0
ω
0
0
0
ω
0
0
ω
0
;
0
0
ω
0
0
ω
×

⎡
⎤

⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎣
⎦

ω
 

1
1
ξ;
ω = −
 
2
;
ω = ξ  α  и δα  # коэффициенты аппроксимации. Вид 
аппроксимирующих функций 
iϕ  и 
i
ω  показан на рис. 1.4, а, б. 

 

Рис. 1.4. Квадратичные аппроксимации для перемещений (а)  
  и линейные для деформаций (б) 

Для получения матрицы жесткости КЭ (МЖКЭ) и вектора приведенных узловых сил воспользуемся смешанной вариационной 
формулировкой задачи. Тогда для равновесного состояния КЭ запишем 

 
(
)
T
T
T

0
0
δ
δ
δ
;

L
L
ds
ds
=
+
∫
∫
L U
D
U p
q R
ε
 
(1.5) 

 
(
)
T

0
δ
0.

L
ds
−
=
∫
D LU
ε
ε
 
(1.6) 

Уравнение (1.5) соответствует записи принципа возможных 
перемещений, а уравнение (1.6) требует, чтобы невязка внутренних силовых факторов, независимо определенных через перемещения и деформации 
(
),
−
D LU
ε
 не совершала работу на любых 
возможных деформациях δ .ε  
Формулировку задачи (1.5), (1.6) можно назвать вариационной, 
поскольку она соответствует условию стационарности смешанного 
функционала: 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 

(
)
(
)
T
T
T
T

0
0

1
,
,
2

L
L
I
ds
ds
⎡
⎤
=
−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
U
LU
D
D
U p
q R
ε
ε
ε
ε
 

где 
[
]
T
,
,
s
z
p
p
M
=
p
 # вектор-столбец погонных распределенных 

внешних сил и моментов. Условие δ
0
I
=
U
 соответствует (1.5), а 
δ
0
I =
ε
 соответствует (1.6). 
После подстановки (1.3), (1.4) в уравнения (1.5), (1.6) запишем 

 
(
)

(
)

T
T

T

δ
0;

δ
0,

−
−
=

−
=

q
G
P
R

α
Gq
Hα

α

 
(1.7) 

где 

T
(6 9)
0
;
×
= ∫

L
ds
G
DB
ω
  
T
(9 1)
0
;
×
= ∫

L
ds
P
p
Φ
  
T
(6 6)
0
;
×
= ∫

L
ds
H
D
ω
ω
  
(1.8) 

[
]
(3 9)
,
,
;
×
=
=
1
2
3
B
L
B
B
B
Φ
   
0
0
0
;
i
i

i
i

i
i
i

k

k

′
ϕ
ϕ
⎡
⎤

⎢
⎥′
=
ϕ

⎢
⎥
′
− ϕ
ϕ
ϕ
⎣
⎦
B
   
1 .
i
i
d
d
L
ϕ
′
ϕ =
ξ
 

Из уравнений (1.7) получим 

,
=
−
R
Kq
P  

где 

 
T
1
(9 9)
−
×
=
K
G H
G  # 
(1.9) 

матрица жесткости криволинейного стержневого КЭ. Выражение 
(1.9) типично для КЭ смешанного типа. Следует отметить, что 
ранг матрицы K равен рангу матрицы H, т. е. шести, остальные 
три комбинации обобщенных узловых перемещений соответствуют смещению КЭ как жесткого целого, и при этих смещениях КЭ 
не накапливает ложную энергию деформации. 
Перейдем к структурам матриц, необходимых для вычисления 
матрицы жесткости K. 
Запишем структуру матрицы H (см. (1.8)):