Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при изгибе с использованием Mathcad. Часть 2. Статически неопределимые балки и плоские криволинейные рамы

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ ПРИ ИЗГИБЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Часть 2. Статически неопределимые балки
и плоские криволинейные рамы

Методические указания к выполнению домашних заданий
по курсам «Сопротивление материалов»
и «Прикладная механика»

Под редакцией В.Г. Лешковцева

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 539.41
ББК 30.121
В75

В75

Рецензент В.М. Зябликов

Воронов C.А.
Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при
изгибе с использованием Mathcad : метод. указания к выполнению домашних заданий по курсам «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика» : в 2 ч. – Ч. 2: Статически
неопределимые балки и плоские криволинейные рамы /
C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько; под ред. В.Г. Лешковцева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
43, [1] с. : ил.

Изложены приемы использования пакета программ Mathcad в операционной системе Microsoft Windows применительно к расчетам на
прочность и жесткость стержневых систем постоянной и переменной
жесткости при изгибе для произвольной нагрузки. В приложении приведен текст рабочих страниц Mathcad для рассмотренных примеров.
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курсы «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика».
Рекомендовано учебно-методической комиссией НУК РК МГТУ
им. Н.Э. Баумана.

УДК 539.41
ББК 30.121
Учебное издание
Воронов Сергей Александрович
Ширшов Анатолий Артемович
Яресько Сергей Васильевич

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ ИЗГИБЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Редактор В.М. Царев
Корректор
Р.В. Царева
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 15.04.2011. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,56. Тираж 150 экз. Изд. № 133.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

В первой части методических указаний подробно изложен расчет на прочность и жесткость статически определимых балок с
использованием комплекса Mathcad.
Во второй части рассмотрены статически неопределимые балки на жестких и упругих опорах при различных видах внешних
нагрузок, а также криволинейные плоские рамы. Предполагается,
что читатель знаком с методом сечений и правилом знаков при
изгибе балок, применяемом в курсе «Сопротивление материалов»
для машиностроительных специальностей.
Целью настоящих методических указаний является ознакомление с комплексом Mathcad применительно к расчетам на прочность и жесткость статически неопределимых стержневых систем
при изгибе постоянной и переменной жесткости для произвольной
нагрузки.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Статически неопределимыми стержневыми системами называют такие, у которых только из уравнений статики невозможно
определить все неизвестные величины (реакции связей и внутренние силовые факторы). В частности, у балок, имеющих более трех
связей, для определения всех реакций связей недостаточно уравнений статики, необходимо использование дополнительных условий.
В рамах, включающих замкнутый контур и имеющих три внешних
связи, последние могут быть найдены из уравнений статики, однако для определения внутренних силовых факторов необходимы
дополнительные условия.
Внутренние силовые факторы Qy, Mx в прямолинейных стержнях (балках) связаны с внешними силами q, F и M дифференциальными зависимостями [1, 2]:
dQy
dZ = q +
δ(Z − Zpi)Fi;

dMx
dZ
= Qy −
δ(Z − Zmi)Mi,
(1)

где δ(Z − Zk) — дельта-функция (можно не использовать);

H(Z − Zk)
=

⎧
⎨

⎩

0 при Z < Zk
0,5 при Z = Zk
1 при Z > Zk
— функция Хевисайда,

связанная с дельта-функцией равенством H(Z − Zk) =
δ(Z −

−Zk)dZ; заметим, что

Z
0

H(Z − Zk)dZ = H(Z − Zk)(Z − Zk);

Zpi, Zmi — координаты точек приложения сосредоточенной силы Fi и момента Mi соответственно.

4

Как и в первой части, для размерных величин использованы
прописные буквы, а для безразмерных — строчные.
Угол поворота поперечного сечения Θ и вертикальное перемещение V связаны между собой и внутренними силовыми факторами дифференциальными зависимостями:

dΘ
dZ = Mx
EIx
;
dV
dZ = Θ.
(2)

Выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента
получаем, используя метод сечений. Применение функции Хевисайда (и дельта-функции) позволяет получить единое выражение
для всех участков интегрирования [2]. Начало координат помещаем
на левом торце балки, а балку разрезаем в крайнем правом участке и рассматриваем равновесие левой отсеченной части. Можно
помещать начало координат на правом торце и рассматривать равновесие правой отсеченной части, но при этом необходимо сменить знаки в правой части дифференциальных соотношений (1),
(2). Получив выражения для Qy и Mx, желательно продифференцировать последнее и сравнить результат с выражением для Qy,
выполнив тем самым проверку. После этого, интегрируя последовательно уравнения (2), получаем выражения для угла поворота
и прогиба. Постоянные интегрирования в этих выражениях (обозначим их соответственно С и D) имеют строго определенный
физический смысл: С — угол поворота и D — прогиб в начале координат. Постоянные интегрирования и неизвестные реакции
связей определяем из граничных условий. Напомним, что подвижная и неподвижная опоры накладывают ограничение на линейное
перемещение, а заделка — на линейные и угловые перемещения.
Для удобства работы с Mathcad будем использовать безразмерные величины. Введем обозначения: z = Z/l0, f = F/(q0 l0),
m = M/(q0 l2
0), ra = RA/q l, rb = RB/q 0l0, qy = Qy/(q 0l0),
mx = Mx/(q0 l2
0), Θ = θ E Ix0/(q0 l3
0), V = vEIx0/(q0 l4
0). Здесь
q0, l0, Ix0 — характерные величины. Напомним, что функция Хевисайда Н (z − a) в Mathcad обозначена как Φ(z −a) (Φ — греческая
прописная).

5