Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при изгибе с использованием Mathcad. Часть 2. Статически неопределимые балки и плоские криволинейные рамы

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ ПРИ ИЗГИБЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Часть 2. Статически неопределимые балки
и плоские криволинейные рамы

Методические указания к выполнению домашних заданий
по курсам «Сопротивление материалов»
и «Прикладная механика»

Под редакцией В.Г. Лешковцева

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 539.41
ББК 30.121
В75

В75

Рецензент В.М. Зябликов

Воронов C.А.
Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при
изгибе с использованием Mathcad : метод. указания к выпол-
нению домашних заданий по курсам «Сопротивление матери-
алов» и «Прикладная механика» : в 2 ч. – Ч. 2: Статически
неопределимые балки и плоские криволинейные рамы /
C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько; под ред. В.Г. Леш-
ковцева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
43, [1] с. : ил.

Изложены приемы использования пакета программ Mathcad в опе-
рационной системе Microsoft Windows применительно к расчетам на
прочность и жесткость стержневых систем постоянной и переменной
жесткости при изгибе для произвольной нагрузки. В приложении при-
веден текст рабочих страниц Mathcad для рассмотренных примеров.
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих кур-
сы «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика».
Рекомендовано учебно-методической комиссией НУК РК МГТУ
им. Н.Э. Баумана.

УДК 539.41
ББК 30.121
Учебное издание
Воронов Сергей Александрович
Ширшов Анатолий Артемович
Яресько Сергей Васильевич

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ ИЗГИБЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Редактор В.М. Царев
Корректор
Р.В. Царева
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 15.04.2011. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,56. Тираж 150 экз. Изд. № 133.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

В первой части методических указаний подробно изложен рас-
чет на прочность и жесткость статически определимых балок с
использованием комплекса Mathcad.
Во второй части рассмотрены статически неопределимые бал-
ки на жестких и упругих опорах при различных видах внешних
нагрузок, а также криволинейные плоские рамы. Предполагается,
что читатель знаком с методом сечений и правилом знаков при
изгибе балок, применяемом в курсе «Сопротивление материалов»
для машиностроительных специальностей.
Целью настоящих методических указаний является ознаком-
ление с комплексом Mathcad применительно к расчетам на проч-
ность и жесткость статически неопределимых стержневых систем
при изгибе постоянной и переменной жесткости для произвольной
нагрузки.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Статически неопределимыми стержневыми системами назы-
вают такие, у которых только из уравнений статики невозможно
определить все неизвестные величины (реакции связей и внутрен-
ние силовые факторы). В частности, у балок, имеющих более трех
связей, для определения всех реакций связей недостаточно уравне-
ний статики, необходимо использование дополнительных условий.
В рамах, включающих замкнутый контур и имеющих три внешних
связи, последние могут быть найдены из уравнений статики, од-
нако для определения внутренних силовых факторов необходимы
дополнительные условия.
Внутренние силовые факторы Qy, Mx в прямолинейных стерж-
нях (балках) связаны с внешними силами q, F и M дифференци-
альными зависимостями [1, 2]:
dQy
dZ = q +
δ(Z − Zpi)Fi;

dMx
dZ
= Qy −
δ(Z − Zmi)Mi,
(1)

где δ(Z − Zk) — дельта-функция (можно не использовать);

H(Z − Zk)
=

⎧
⎨

⎩

0 при Z < Zk
0,5 при Z = Zk
1 при Z > Zk
— функция Хевисайда,

связанная с дельта-функцией равенством H(Z − Zk) =
δ(Z −

−Zk)dZ; заметим, что

Z
0

H(Z − Zk)dZ = H(Z − Zk)(Z − Zk);

Zpi, Zmi — координаты точек приложения сосредоточенной си-
лы Fi и момента Mi соответственно.

4

Как и в первой части, для размерных величин использованы
прописные буквы, а для безразмерных — строчные.
Угол поворота поперечного сечения Θ и вертикальное переме-
щение V связаны между собой и внутренними силовыми фактора-
ми дифференциальными зависимостями:

dΘ
dZ = Mx
EIx
;
dV
dZ = Θ.
(2)

Выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента
получаем, используя метод сечений. Применение функции Хеви-
сайда (и дельта-функции) позволяет получить единое выражение
для всех участков интегрирования [2]. Начало координат помещаем
на левом торце балки, а балку разрезаем в крайнем правом участ-
ке и рассматриваем равновесие левой отсеченной части. Можно
помещать начало координат на правом торце и рассматривать рав-
новесие правой отсеченной части, но при этом необходимо сме-
нить знаки в правой части дифференциальных соотношений (1),
(2). Получив выражения для Qy и Mx, желательно продифферен-
цировать последнее и сравнить результат с выражением для Qy,
выполнив тем самым проверку. После этого, интегрируя последо-
вательно уравнения (2), получаем выражения для угла поворота
и прогиба. Постоянные интегрирования в этих выражениях (обо-
значим их соответственно С и D) имеют строго определенный
физический смысл: С — угол поворота и D — прогиб в нача-
ле координат. Постоянные интегрирования и неизвестные реакции
связей определяем из граничных условий. Напомним, что подвиж-
ная и неподвижная опоры накладывают ограничение на линейное
перемещение, а заделка — на линейные и угловые перемещения.
Для удобства работы с Mathcad будем использовать безраз-
мерные величины. Введем обозначения: z = Z/l0, f = F/(q0 l0),
m = M/(q0 l2
0), ra = RA/q l, rb = RB/q 0l0, qy = Qy/(q 0l0),
mx = Mx/(q0 l2
0), Θ = θ E Ix0/(q0 l3
0), V = vEIx0/(q0 l4
0). Здесь
q0, l0, Ix0 — характерные величины. Напомним, что функция Хеви-
сайда Н (z − a) в Mathcad обозначена как Φ(z −a) (Φ — греческая
прописная).

5

ПРИМЕРЫ

I. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры
перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов Mx, а также
углов поворота θ и прогибов v для балки, расчетная схема которой
показана на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема балки

Получим уравнения для Qy(Z), Mx(Z), θ(Z) и v(Z).
Расчетная схема балки с реакциями связей MА, RA и RB по-
казана на рис. 2. Горизонтальная реакция, как всегда в балках, в
точке А равна нулю.

Рис. 2. Расчетная схема балки с реакциями связей

Составляем выражения для внутренних силовых факторов с
использованием метода сечений.
Начало координат помещаем на левом торце. Разрезаем бал-
ку на правом крайнем участке и рассматриваем равновесие левой
части (рис. 3). Внутренние силовые факторы направляем в соот-
ветствии с правилом знаков, направление реакций связей — произ-
вольное.
Из условий равновесия следует, что перерезывающая сила в
текущем сечении равна сумме проекций всех сил, приложенных к
балке слева от сечения k, а изгибающий момент в текущем сечении
равен сумме моментов всех сил, приложенных к балке слева от се-
чения k относительно оси Х , проходящей через точку k. Составим

6

Рис. 3. Использование метода сечений для определения внутренних
силовых факторов

выражение для перерезывающей силы. При выбранном направлении 
реакция RA входит в это выражение со знаком «+», а заданная
сосредоточенная сила — со знаком «–»:

Qy(Z) = RA − H(Z − l)F.

Запишем далее выражение для изгибающего момента

Mx(Z) = MA + RAZ − H(Z − l)F(Z − l).

Проверка. Продифференцировав полученное выражение, убеждаемся, 
что результат дифференцирования дает выражение для перерезывающей 
силы.
Интегрируем это выражение два раза для получения зависимостей 
угла поворота и прогиба от координаты Θ(Z) и V (Z):

Θ(Z) = С +
1
EIx

MAZ + RA
Z2

2 − H(Z − l)F (Z − l)2

2

;

V (Z) = D +СZ +
1
EIx

MA
Z2

2 + RA
Z3

6 − H(Z − l)F (Z − l)3

6

.

Полученные равенства содержат четыре неизвестных величины: 
MА, RA, С и D. Для их определения необходимо использовать
граничные условия. Напомним, что на торце балки из четырех компонент 
вектора состояния всегда известны две компоненты. Так,
в рассматриваемой задаче на левом торце (в заделке) равны нулю
угол поворота, т. е. постоянная С, и прогиб, т. е. постоянная D. Две
другие неизвестные (MА, RA) определяем из условий на правом
торце, где равны нулю изгибающий момент и прогиб.

7

Поскольку для решения используем Mathcad, то удобно представить 
выражения для внутренних сил и перемещений в безраз-
мерном виде:

Qy(z, ra) = ra − H(z − 1) · 1;
(3)
mx(z, ma, ra) = ma + raz − H(z − 1)(z − 1);
(4)

θ(z, ma, ra) =
maz + ra
z2

2 − H(z − 1)(z − 1)2

2

;
(5)

v(z, ma, ra) =
ma
z2

2 + ra
z3

6 − H(z − 1)(z − 1)3

6

.
(6)

Граничные условия для определения неизвестных ma и ra име-
ют вид:
при z = 3 v = 0, т. е. v(3, ma, ra) = 0;
при z = 3 mx = 0, т. е. mx(3, ma, ra) = 0.
Решение системы дает ma = −1, ra = 4/3. После определения
ma и ra строим эпюры внутренних сил и перемещений. Эпю-
ры перерезывающих сил и изгибающих моментов приведены на
рис. 4 ниже расчетной схемы. Под эпюрами даны графики угловых
и линейных перемещений, которые позволяют визуально прове-
рить правильность выполнения кинематических граничных усло-
вий (ограничений на перемещения). Кроме того, поскольку нули
на эпюре углов поворота соответствуют экстремумам на эпюре
перемещений, она полезна при определении максимального пере-
мещения.
В первой части методических указаний подробно изложен ми-
нимум операций, необходимых для решения рассмотренных там
задач в пакете Mathcad. Тем не менее, допуская, что некоторые
пользователи начинают работу с Mathcad с решения статически
неопределимых задач, авторы ориентируются именно на такого
пользователя.
После запуска системы Mathcad клавиатуру необходимо пере-
ключить на латиницу, так как программа не работает с кириллицей.
Для ввода поясняющих надписей необходимо щелкнуть мышью в
свободном месте и выбрать строку «Область текста» в падающем
меню «Вставка» или же одновременно нажать клавиши <Shift> +
<">. При вводе текста на русском языке необходимо переключить
клавиатуру на кириллицу и выбрать нужный шрифт.

8

Рис. 4. Эпюры перерезывающих сил, изгибающих моментов,
угловых и линейных перемещений

Для ввода греческих букв необходимо выбрать строку «Грек»
в подменю «Панели инструментов» в падающем меню «Вид».
Для определения какой-либо величины необходимо ввести
двоеточие; результат на экране выглядит как двоеточие, сопро-
вождаемое знаком равенства, «:=» — это символ присваивания.
Разделителем в десятичных дробях служит точка. Неправиль-
но введенные команды или символы высвечиваются на экране
красным цветом. Поскольку в Mathcad индексная переменная со-
ответствует элементу массива, то для ввода символьного индекса
(литерала) необходимо после основного символа ввести точку, а
затем символ индекса.
Ниже даны пояснения к рабочей странице Mathcad, приведенной 
в приложении.

9

Пример 1. Балка постоянного сечения — название задачи.
1. Выражения для Qy(z), Mx(z), ΘΘΘ (z), V(z) — выражения для
внутренних сил и перемещений как функции независимой координаты 
z и неизвестных реакций Ma и Ra (формулы (1)—(6)).
2. Определение неизвестных ma и ra — для определения неизвестных 
М a и Ra необходимо решить систему алгебраических
уравнений, которую получаем в результате использования граничных 
условий на правом торце балки.
Для решения системы алгебраических уравнений в Mathcad
следует:
а) задать начальные значения для всех неизвестных (Mathcad
решает уравнения методом итераций), в рабочей странице М a и
Ra обозначены через xm и xr, им заданы нулевые значения;
б) напечатать ключевое слово Given;
в) ввести уравнения; между правой и левой частями уравнений
должен стоять символ «=» (для его ввода используйте <[Ctrl]> +
+ <=>);
г) ввести выражение, содержащее функцию Find, она возвращает 
найденное решение.
При печати Given и Find можно использовать шрифт любого
размера, стиля, прописные и строчные буквы. Справа от функции
Find для справки выведен вектор-столбец найденных значений М a
и Ra.
3.1. Эпюры Qy(z)
Qy(z)
Qy(z) и Mx(z)
Mx(z)
Mx(z). Перед вводом поля графика необходимо 
задать пределы изменения аргумента и шаг для вычисления
значений функции. Для построения графика какой-либо функции
f(z) необходимо щелкнуть мышью на свободном месте, предназначенном 
для размещения графика, выбрать из падающего меню
«Вставка» подменю «График» или же одновременно нажать клавиши <
Shift> + <2> (латиница). Mathcad создает пустой график
с двумя полями ввода. В левое поле необходимо ввести символ
функции f(z), а в нижнее — аргумент z. Размеры графика можно
увеличить, подведя курсор к меткам, расположенным на середине
правой или нижней сторон прямоугольного окна, обрамляющего 
график, и в его правом нижнем углу. Для выделения оси Z
(ноль функции f(z)) в левое поле введем zero. Для редактирования 
графика необходимо ввести курсор мыши в поле графика и
дважды щелкнуть левой кнопкой — появляется окно редактирования, 
содержащее четыре подменю. Подменю «Оси Х-Y» позволяет

10