Общие теоремы динамики: учебное пособие по курсу «Теоретическая механика»

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю. Карпачев

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
по курсу «Теоретическая механика»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 531.3(075.8)
ББК 22.213
Д79

Д79

Р е ц е н з е н т ы: В.В. Андронов, Ю.Г. Мартыненко

Дубинин В.В.
Общие теоремы динамики : учеб. пособие по курсу «Теоретическая механика» / В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина,
А.Ю. Карпачев. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. –
59, [1] с. : ил.

Рассмотрены основные понятия механики: центр масс, количество
движения, кинетический момент механической системы. Даны способы вычисления работы различных сил (постоянных и переменных).
Приведены прямые, обратные и смешанные задачи для систем с одной и двумя степенями свободы. Показаны решения задач.
Для студентов, выполняющих курсовые задания по общим теоремам динамики. Пособие может быть полезно также для аспирантов
и преподавателей кафедр теоретической механики.
УДК 531.3(075.8)
ББК 22.213

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

ВВЕДЕНИЕ

Общие теоремы динамики получают для того, чтобы было
возможно составить динамические дифференциальные уравнения
движения механической системы. Если в механической системе
главный вектор или главный момент внешних сил (или их проекции на оси) равны нулю, то получаются законы сохранения количества движения или кинетического момента системы (или их
проекций на оси). Законы сохранения представляют собой первые
интегралы для механической системы.
Теорема об изменении кинетической энергии записывается в
дифференциальной или интегральной форме. Интегральная форма этой теоремы дает еще один первый интеграл механической
системы.
При составлении уравнений движения и решении задач с помощью общих теорем динамики используются специальные понятия и величины, с которыми необходимо познакомить студентов
и показать им на примерах, как эти обобщенные меры движения
определяются.
К обобщенным мерам движения надо отнести понятия центра масс и меры движения — количество движения, кинетический
момент относительно точки или оси, кинетическая энергия механической системы.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Центр масс механической системы

Центр масс механической системы — геометрическая точка,
радиус-вектор которой определяется по формуле

ˉrC =

N
k=1
mkˉrk

M
,

где M =
Nk=1
mk, mk, ˉrk — масса и радиус-вектор k-й точки.

Координаты центра масс системы определяются по формулам

xC =

k
mkxk

M
; yC =

k
mkyk

M
; zC =

k
mkzk

M
,

где xk, yk, zk — координаты k-й точки системы.
При движении системы центр масс может быть неподвижным
или подвижным.

Рис. 1

Пример 1. Даны три точки с
массами m1, m2, m3, их координаты xk, yk, zk (k = 1, 2, 3).
Определить координаты центра
масс
этой
системы,
если
m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 1 кг,
x1 = y1 = 0, x2 = 3 м, y2 = 0,
x3 = 0, y3 = 2 м (рис. 1).
Решение. Определим xC, yC:

xC = m1x1 + m2x2 + m3x3
m1 + m2 + m3
;

xC =
2 ∙ 3
3 + 2 + 1 = 1 м;

yC = m1y1 + m2y2 + m3y3
m1 + m2 + m3
; yC =
1 ∙ 2
3 + 2 + 1 = 1
3 м.

Пример 2. Определить координаты центра масс механической
системы, состоящей из трех точек массами m1, m2, m3. Исходные
данные приведены в таблице.

4

Координаты
m

m1 = 1 кг
m2 = 2 кг
m3 = 3 кг

x
0
2
–2

y
0
3
0

z
0
0
2

Рис. 2

Решение. Координаты центра масс равны (рис. 2):

xC = m1x1 + m2x2 + m3x3
M
;

xC = 2 ∙ 2 + 3(−2)
1 + 2 + 3
= −1
3 м;

yC = m1y1 + m2y2 + m3y3
M
;

yC = 2 ∙ 3
6
= 1 м;

zC = m1z1 + m2z2 + m3z3
M
;

zC = 3 ∙ 2
6
= 1 м.

Пример 3. Точки M1, M2 массами m1, m2 движутся по законам
x1 = x1(t);
y1 = y1(t);

x2 = x2(t);
y2 = y2(t).

Определить траекторию центра масс этой системы.
Принять: m1 = 1 кг; m2 = 2 кг;
x1 = t;
y1 = t2;

x2 = t;
y2 = 2t,

где xk, yk — в м; k = 1, 2; t — в с.
Решение. Определим xC(t), yC(t):

xC = m1x1 + m2x2
m1 + m2
; xC = 1 ∙ t + 2t
1 + 2
= t;

yC = m1y1 + m2y2
m1 + m2
; yC = 1 ∙ t2 + 2 ∙ 2t
1 + 2
= 1
3(t2 + 4t).

5

Рис. 3

Уравнение траектории центра масс:

yC = 1
3
x2
C + 4xC
, 0 ⩽ xC < ∞.

Траектории точек M1, M2:

y1 = x2
1; 0 ⩽ x1 < ∞; y2 = 2x2;

0 ⩽ x2 < ∞.
Из рис. 3 и расчетов видно, что при
t = 2 c все три кривые пересекаются в
точке с координатами x = 2 м, y = 4 м.
Пример 4. Однородный диск массой
М и радиусом r вращается вокруг неподвижной оси O′z с постоянной угловой
скоростью ω (рис. 4). По диску по закону
S = S(t) движется точка массой m.
Определить скорость центра масс системы.
Принять: M = 9m; m = 1 кг; r = 0,5 м; ω = 2 рад/с; S = 5t,
где S — в м, t — в с.

Рис. 4

Решение.
Центр
масс
(см.
рис. 4) однородного диска находится в точке O′. Поэтому надо искать
центр масс системы диск — точка
M на отрезке O′M.
Абсолютная скорость точки M:

ˉv = ˉvr + ˉve;

vrS = ˙S = 5 м/с > 0;

ve = ω ∙ r, ve = 2 ∙ 0,5 = 1 м/с;

vτ = 5 + 1 = 6 м/с > 0.

Далее получим

rC = MrO′ + mr
M + m
; rC = 1 ∙ 0,5
9 + 1 = 0,05 м.

Абсолютная угловая скорость радиуса О′М :

ω= ωe+ωr; ωe =2 рад/с; ωr =
˙S
r ; ωr =10 рад/с; ω = 12 рад/с.

6