Общие теоремы динамики: методические указания к выполнению курсового задания

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.В. Дубинин, А.Ю. Карпачев, А.В. Ремизов  

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 

Методические указания к выполнению курсового задания 

М о с к в а  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6  

УДК 531/534 
ББК 22.21 
Д79 

Рецензент А.В. Копаев 

Дубинин В.В., Карпачев А.Ю., Ремизов А.В. 
Д79 
Общие теоремы динамики: Метод. указания к выполнению курсового задания. – М.: Изд-во 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 48 с.: ил. 

ISBN 5-7038-2870-8 

В методических указаниях даны 40 вариантов курсового задания по теме «Общие теоремы 
динамики». Рассмотрены примеры решения задач механики на основе общих теорем динамики и, 
в частности, законов сохранения для механической системы, а также примеры определения количества движения системы, работы сил и т. д. 
Для студентов второго курса машино- и приборостроительных специальностей. 
Ил. 40. Библиогр. 5 назв. 

УДК 531/534 
ББК 22.21 

 

Методическое издание 

Владимир Валентинович Дубинин 
Андрей Юрьевич Карпачев 
Александр Викторович Ремизов  

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 

Редактор Е.К. Кошелева 
Корректор Л.И. Малютина 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 

Подписано в печать 15.03.2006. Формат 60×84/8. Бумага офсетная. 
Печ. л. 6,0. Усл. печ. л. 6,0. Уч.-изд. л. 5,75. 
Тираж 1500 экз. Изд. № 158. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 

ISBN 5-7038-2870-8 
 МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006 

ВВЕДЕНИЕ 

Курсовое задание по динамике механической системы является одним из основных заданий, посвященных изучению движения сложных механических систем. 
Предлагаемая в методических указаниях тема «Общие теоремы динамики» 
из курса «Теоретическая механика» позволяет студентам усвоить обширный материал по основам динамики системы и научиться использовать общие теоремы динамики системы при решении конкретных задач. 
Каждое задание состоит из одной комплексной задачи, в которой необходимо определить скорости и ускорения точек тел, угловые скорости и ускорения тел, 
а также силы давления и реакции в сочленениях системы. 
Курсовое задание содержит 40 вариантов и индивидуально для каждого студента учебной группы. При выполнении курсового задания необходимо проработать  
гл. 14 и 15 учебника [1] и методическое пособие [2], полезным является также пособие 
[3]. При использовании ЭВМ для выполнения задания помогут пособия [4, 5]. 

ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 

Преподаватель выдает студенту вариант курсового задания (условия и схему). Студент согласует с преподавателем возможность использования ЭВМ при 
решении задач. Перед началом работы следует ознакомиться с типовыми примерами решения, предложенными в настоящих методических указаниях или в пособиях [2, 3]. 
Сначала необходимо определить скорости и ускорения точек и тел, а затем – 
силы в соединениях тел. 
Во всех вариантах принять следующие допущения: 
– трением в опорах и сочленениях тел пренебречь, если это не оговорено особо; 
– при качении катков пренебречь трением качения, если не задан коэффициент 
трения качения; 
– массами тел в механической системе, которые не заданы, пренебречь; 
– считать, что тросы и нити в механических системах нерастяжимы и не скользят по телам, которые они соединяют. 
Упругие силы 
x
F  линейных пружин пропорциональны деформации: 
x
F
cx
= −
 
(c  – жесткость пружины, x – ее деформация). Моменты упругих сил 
z
L  спиральных 
пружин равны 
z
L
c
= − ϕ (c  – жесткость пружины, ϕ – угловая деформация). 
Знак минус указывает на то, что направления проекций упругих силы или момента на оси x или z  противоположны направлениям соответствующих деформаций. 
Механические системы в вариантах курсового задания имеют одну или две степени свободы. На схемах указываются рекомендуемые при решении обобщенные координаты. Иногда для пояснения условия задания вводится координата, зависящая от 
обобщенных координат (например, указывается величина деформации пружин). 
Ниже даны примеры решения различных типовых задач, включенных в варианты задания. 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ 

Пример 1. Механизм, показанный на рис. 1, а, расположен в вертикальной плоскости и состоит из кривошипа 1, представленного в виде стержня OA, и кулисы 2, изображенной как стержень 
1
O E . В начальный момент звенья покоятся и занимают поло
жение, соответствующее углу 
0
ϕ =
. Приложение к кривошипу пары сил с моментом 

M  приводит к его вращению вокруг оси 
( )
O z , перемещению втулки 3 массой 
3
m , 

шарнирно с ним соединенной, деформации спиральной пружины с жесткостью ,c  недеформированной в исходном положении, и вращению кулисы вокруг оси 
1( )
O z . При
нимая массу кулисы равномерно распределенной по длине 
1 ,
O E  а массу втулки сосре
доточенной в точке 
,
A  определить: 1) скорость точки A и угловое ускорение кривошипа 1 при 
/3
ϕ = π
 рад; 2) силу реакции, с которой кулиса действует на втулку при 
0
ϕ =
; 
3) зависимости 
1 ( ),
z
ω
ϕ  
1 ( ),
z
ε
ϕ  
( ),
t
ϕ
 
1 ( )
z t
ω
; построить графики, соответствующие из
менению угла ϕ в интервале от 0 до 
/3
π
 рад. Принять: 
1
3 ,
O E
L
=
 
2
18
/
,
c
mgL
=
π
 

9
/ ,
M
mgL
=
π  
2 ,
h
L
=
 /
2,
h OA = λ =
 
3
2
3(1
0,5 3)
10 кг,  
1 м.
m
m
m
L
=
−
=
=
=
 

Рис. 1 

Решение. Представленная механическая система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол .ϕ  Для определения скорости втулки A применим теорему об изменении кинетической энергии 

( )
( )
0
1
1
(
)
(
).
N
N
e
i
k
k
k
k
T
T
A F
A F
=
=
−
=
+
∑
∑
 
 (1) 

Движение системы начинается из состояния покоя, поэтому 
0
0.
T =
 Итак, 

2
3,
T
T
T
=
+
 где 
1
2
2
2
0,5 O z
z
T
I
=
ω
 и 
2
3
3
0,5
A
T
m v
=
 – кинетическая энергия соответст
венно кулисы и втулки; 
1
O z
I
 – момент инерции кулисы относительно ее оси враще
ния 
1 .
O z  Скорости 
1
2
,  
.
A
z
z
v
OA
L
τ = ω
⋅
= ϕ
ω
= α
Связь угловых скоростей кривошипа и кулисы установим дифференцированием по времени геометрического соотношения 

 
sin
(
cos )tg( / 2
).
OA
h
OA
ϕ =
−
ϕ
π
− α   
(2) 

При этом 
2
2
/cos ( / 2
)
( cos
1) /(
cos ) .
−α
π
− α = λ
ϕ −
ϕ λ −
ϕ
Принимая во внимание, что 

2
2
cos ( / 2
)
1/(1
tg ( / 2
));
π
− α =
+
π
− α
 tg( / 2
)
sin
/(
cos ),
π
− α =
ϕ λ −
ϕ  получим 

 
,
f
α =
ϕ
 
(3) 

где 

 
2
(1
cos )/(
2 cos
1).
f =
− λ
ϕ
λ − λ
ϕ +
  
(4) 

Тогда выражение для кинетической энергии запишем в виде 

 
1
2
2
2
3
0,5
  (
).
O z
T
G
G
f I
m L
=
ϕ
=
+
 
(5) 

Подсчитаем работу всех сил при повороте кривошипа на угол 
:
ϕ  

 
( )
( )
2
2
1
3
1
1
(
)
(
)
0,5
(1
sin )
(1
cos )
0,5
.
N
N
e
i
k
k
k
k

A F
A F
M
m gO E
m gOA
c
=
=
+
=
ϕ +
−
α −
−
ϕ −
ϕ
∑
∑
 (6) 

Приравнивая (5) и (6), находим 

 
2
2
1
3
(2
(1
sin
)
2
(1
cos )
)/
M
m gO E
m gOA
c
G
ϕ =
ϕ +
−
α −
−
ϕ − ϕ
.  
(7) 

Задавая угол ϕ и учитывая, что 
[
]
/ 2
arctg sin
/(
cos ) ,
α = π
−
ϕ λ −
ϕ
 для заданных ис
ходных данных по (7) определяем угловую скорость кривошипа 
1 ( )
z
ω
ϕ ; так, для 

/3
ϕ = π
 рад, 
/3
α = π
 рад, 
0,
f =
 

1
2
/
z
g L
ω
= ϕ =
= 6,26 рад/с и 
2
A
v
gL
=
 = 6,26 м/с.