Выполнение домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика жидкости и газа». Часть 2. Гидродинамика

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана

А. С. Шабловский

Выполнение домашних заданий
и курсовых работ по дисциплине
«Механика жидкости и газа»

В двух частях

Часть 2
Гидродинамика

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2012

УДК 532.5(075.8)
ББК 22.253
Ш13
Рецензенты: А. Б. Ивашкин, А. В. Лепешкин

Шабловский А. С.
Ш13
Выполнение домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика жидкости и газа» : учеб. пособие: В 2 ч. —
Ч. 2: Гидродинамика. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2012. — 65, [3] с. : ил.
Изложены основные теоретические положения, описывающие движение жидких и газообразных сред. Приведены конкретные решения типовых задач раздела «Гидродинамика». Рассмотрены режимы движения
жидкости, истечение через отверстия и насадки. Приведена методика расчета местных сопротивлений, простых и сложных трубопроводов.
Для студентов машиностроительных факультетов МГТУ им. Н. Э. Баумана, изучающих дисциплину «Механика жидкости и газа».
Содержание учебного пособия соответствует программам дисциплин,
преподаваемых в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

УДК 532.5(075.8)
ББК 22.253

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов,
обучающихся по направлению подготовки 141100 «Энергетическое
машиностроение» и изучающих дисциплину «Механика жидкости
и газа» (бакалавриат и специалитет).
Цель пособия — помочь студентам выработать навыки применения теоретических сведений к решению конкретных задач и, следовательно, освоить практику гидравлических расчетов.
Каждый раздел пособия содержит краткие теоретические сведения, методические указания и примеры решения конкретных типовых задач с количественными оценками и единицами измерения
различных параметров. В целом приведены подробные решения
19 разнообразных по тематике и степени сложности задач, с достаточной полнотой охватывающих основные разделы технической
гидромеханики.
Изучение изложенного в пособии материала с последующим
анализом степени влияния различных параметров на полученные
результаты в рассматриваемых конструкциях и системах поможет
студентам решать более сложные проблемы, возникающие при самостоятельной работе.
Предлагаемый материал также может быть полезен студентам
других специальностей машиностроительных факультетов МГТУ
им. Н. Э. Баумана для решения частных задач при выполнении
домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика
жидкости и газа».

3

Единицы измерения физических величин

Международная система (СИ)

Величина
Единица измерения

Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение

Длина
L
метр
м

Масса
M
килограмм
кг

Время
T
секунда
с

Температура
кельвин
K

Площадь
L2
квадратный метр
м2

Объем
L3
кубический метр
м3

Скорость
LT −1
метр в секунду
м/c

Ускорение
LT −2
метр на секунду
в квадрате
м/с2

Угловая скорость
T −1
радиан в секунду
рад/с

Угловое
ускорение
T −2
радиан на секунду
в квадрате
рад/с2

Частота
T −1
герц
Гц

Частота вращения
T −1
оборот в секунду
об/с

Объемный расход
L3T −1
кубический метр
в секунду
м3/с

Плотность
ML−3
килограмм
на кубический
метр

кг/м3

Удельный объем
L3M −1
кубический метр
на килограмм
м3/кг

Количество
движения
MLT −1
килограмм-метр
в секунду
кг · м/с

Момент
количества
движения

ML2T −1
килограмм-метр
в квадрате
на секунду

кг · м2/с

Сила, вес
MLT −2
ньютон
Н

4

Окончание таблицы

Величина
Единица измерения

Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение

Момент силы
ML2T −2
ньютон-метр
Н · м

Импульс силы
MLT −1
ньютон-секунда
Н · с

Давление
ML−1T −2
паскаль
Па

Напор, потеря
напора
L
метр
м

Массовый расход
MT −1
килограмм
в секунду
кг/с

Работа, энергия
ML2T −2
джоуль
Дж

Мощность
ML2T −3
ватт
Вт

Модуль упругости
ML−1T −2
паскаль
Па

Динамическая
вязкость
ML−1T −1
паскаль-секунда
Па · с

Кинематическая
вязкость
L2T −1
квадратный метр
на секунду
м2/с

Поверхностное
натяжение
MT −2
ньютон на метр
Н/м

Удельная газовая
постоянная
L2T −2

−1
джоуль
на килограммкельвин

Дж/(кг · K)

Удельная
теплоемкость
L2T −2

−1
джоуль
на килограммкельвин

Дж/(кг · K)

1. Гидродинамика. Основные понятия
и определения

Основным объектом изучения гидродинамики является поток
жидкости, т. е. движение массы жидкости между ограничивающими твердыми поверхностями. Это может быть течение в открытых
руслах (безнапорное течение) или течение с потоками без свободной поверхности и с давлением, отличным от атмосферного (внутри
трубопроводов, насадков, элементов гидромашин и пр. — напорное
течение). Чаще всего исследуют внутренние течения жидкостей
и решают так называемую внутреннюю задачу в отличие от внешней задачи, связанной с внешним обтеканием тел сплошной средой,
которое имеет место при движении твердого тела в жидкости или
газе (воздухе). Последняя задача рассматривается в аэродинамике
и имеет свои специфические особенности.
Исследование движения жидких и газообразных сред является
более трудной и сложной задачей, чем исследование движения абсолютно твердого тела. Именно поэтому при таком исследовании
наряду с применением известных законов механики (в частности,
метода физического поля — метода Эйлера) часто практикуют постановку гидравлического эксперимента с целью получения экспериментальных данных и согласования их с теоретическими выводами для дальнейшего практического использования.
Для теоретических исследований в гидродинамике используют
несколько моделей жидкости. Ниже рассматриваются две из них:
а) несжимаемая невязкая жидкость (идеальная), для которой
плотность
= const, вязкость
= 0, касательное напряжение
= 0;
б) несжимаемая вязкая жидкость (нормальная, ньютоновская)
с параметрами
= const,
̸= 0,
̸= 0.

Пр им ечание. При определенных условиях могут быть использованы модели сжимаемых вязких и невязких жидкостей (газов).

Течение жидкости может быть установившимся (стационарным)
или неустановившимся (нестационарным).

6

Установившееся течение — это течение, неизменное по времени, при котором давление и скорость в точках рассматриваемого
пространства являются функциями лишь координат, но не зависят
от времени:

p = f1(x, y, z);
¯v = f2(x, y, z);
∂p
∂t = 0;
∂¯v
∂t = 0.

Неустановившееся течение — это течение, все характеристики
которого (или некоторые из них) изменяются во времени. В общем
случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как
от пространственного положения точек, так и от времени:

p = F1(x, y, z, t);
¯v = F2(x, y, z, t).

Расход — количество жидкости, протекающее через нормальное
(«живое») сечение потока в единицу времени. Это количество можно измерять в единицах объема Q, в весовых G или массовых M
единицах. Для потока конечных размеров, когда скорость в общем
случае имеет различное значение в разных точках нормального сечения площадью F,
Q =

F
v dF.

Введя понятие vср — средняя скорость по сечению, имеем: vср =
= Q/F, тогда Q = vсрF — объемный расход, м3/с. Весовой расход,
Н/с, и массовый расход, кг/с, могут быть определены по выражениям
G =
gQ,
M =
Q.

При движении несжимаемой жидкости через любое поперечное
сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости, следовательно, из закона сохранения массы

Q = vср1F1 = vср2F2 = const

(вдоль всего потока).
Это одно из основных уравнений гидродинамики — уравнение
постоянства расхода. Важно подчеркнуть, что указанное уравнение является частным случаем общего закона сохранения вещества,
а также условием сплошности (неразрывности) течения.

7

Вторым важным уравнением, определяющим связь между давлением и скоростью в движущемся потоке жидкости, является уравнение Бернулли. Энергетический смысл уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль потока
полной удельной энергии жидкости. В частности, для двух произвольных поперечных сечений в случае установившегося движения идеальной жидкости и равномерного распределения скорости
по нормальному сечению можно записать следующее уравнение
энергетического баланса:

z1 + p1

g + v2
1

2g = z2 + p2

g + v2
2

2g ⇒ H1 = H2 = const

(вдоль всего потока), где H1, H2 — полная удельная механическая
энергия единицы веса перемещаемой жидкости, Дж/Н, или полный напор, м, включающий в себя соответственно геометрический,
пьезометрический и скоростной напор.
Для потока реальной вязкой жидкости следует учитывать
неравномерность распределения скорости по нормальному сечению потока. В практических расчетах применяют понятие средней
скорости vср. При этом расчетное значение удельной кинетической
энергии потока получается несколько меньшим действительного. Последнее обстоятельство отражают введением поправочного
коэффициента
(коэффициент кинетической энергии, учитывающий неравномерность распределения скоростей, величина безразмерная):

= 1

F

F

v

vср

3
dF.

При обычном распределении скоростей коэффициент
всегда
больше единицы, а при равномерном распределении скоростей равен единице.
Для ламинарного режима движения жидкости в круглых трубах

= 2, для турбулентного
∼= 1. В реальных условиях необходимо
учитывать также потери напора hп на участке от первого исследуемого сечения до второго, обусловленные гидравлическими
потерями на трение hтр и потерями на местных гидравлических

8

сопротивлениях hм:
hп = hтр + hм.

С учетом изложенного выше уравнение Бернулли для случая
установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости записывают в следующем виде:

z1 + p1

g +
1
v2
ср1
2g = z2 + p2

g +
2
v2
ср2
2g + Σhп,

где z1 и z2 — расстояния от выбранной горизонтальной плоскости
отсчета до центров соответствующих сечений, причем величина z
берется со знаком плюс, если центр сечения находится над плоскостью отсчета, и со знаком минус, если под ней; p1 и p2 — давления
в тех же точках (либо в абсолютной, либо в избыточной системе)
в этих сечениях; vср1 и vср2 — средние значения скоростей в этих же
сечениях.

Пр имечание. Уравнение Бернулли в таком виде применимо и для
движения газообразных сред при соблюдении одного из основных условий. Этим условием является малое значение скорости течения газа
по сравнению со скоростью распространения в нем звука.

Задача 1.1. В трубу с поршнем (рис. 1.1) необходимо всосать
за время t объем V жидкости, имеющей плотность
. При этом
нужно определить: а) с какой скоростью vп нужно перемещать
поршень? б) какую внешнюю силу P нужно при этом приложить
к поршню? в) какая работа A будет совершена при перемещении
поршня?

Рис. 1.1

9

Решение. При решении задачи принимаем следующие допущения: жидкость несжимаема, движение установившееся, скорость
потока vп = const, процесс считается идеальным (гидравлическими
потерями напора пренебрегаем), жидкость невязкая, т. е. отсутствует рассеяние механической энергии (она не переходит в теплоту),
и наконец, поршень идеальный (он движется в трубе без трения,
утечек нет).
Решение задачи предусматривает использование двух законов,
которые были приведены выше:
1) закон сохранения массы: Q = vF = const — уравнение постоянства расхода;

2) закон сохранения энергии: H = z + p

g + v2

2g = const — уравнение Бернулли.
Последнее утверждение кажется противоречивым. Действительно, затрачиваем энергию для перемещения поршня, а полный напор
H = const. Почему энергия 1 кг жидкости в баке и энергия 1 кг
жидкости, перемещаемой в трубе за поршнем, одинакова? Объяснение этому факту будет дано ниже.
а) Объемный расход, м3/с, может быть определен по форму
ле Q = V

t . Тогда скорость поршня, м/с, равна vп = Q

F = V

t
4

D2 .
При всасывании жидкости в цилиндр сила P в ньютонах, которую нужно приложить к поршню, определяется значением вакуума
под поршнем. Исходя из условия равномерного движения поршня,
имеем

P = (pатм − pа)F = pв

D4

4 ,

где pа — абслютное давление; pв — давление вакуума.
Значение вакуума может быть определено из уравнения Бернулли

z1 + p1

g + v2
1

2g = z2 + p2

g + v2
2

2g.

Выбрав сечения 1–1 и 2–2 и приняв за плоскость отсчета плоскость z = 0, совпадающую с уровнем жидкости в баке, получим

z1 = 0;
p1 = pатм;
v1 ∼= 0,

10