Математические методы поддержки принятия решений

 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 

МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ 
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

В.А. ОСИПОВА
Н.С. АЛЕКСЕЕВ 

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по направлениям подготовки магистратуры

УДК 519.81(075.8)
ББК 22.18я73
 
О74

Осипова В.А. 

О74  
Математические методы поддержки принятия решений : учебное 
пособие / В.А. Осипова, Н.С. Алексеев. — Москва : ИНФРА-М, 
2023. — 134 с. — (Высшее образование: Магистратура). — DOI 10.12737/
text-book_5c57e1509e2877.85248006.

ISBN 978-5-16-014248-7 (print)
ISBN 978-5-16-106735-2 (online)
В пособии представлены основные математические методы, используемые 
при рациональном и оптимальном индивидуальном выборе и коллективном 
принятии решений. Особое внимание уделено задачам многокритериального 
выбора.

Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов старших курсов и магистратуры высших 

учебный заведений, а также специалистов, работающих в области принятия 
решений.

УДК 519.81(075.8)

ББК 22.18я73

ISBN 978-5-16-014248-7 (print)
ISBN 978-5-16-106735-2 (online)
© Осипова В.А., Алексеев Н.С.,  2019

Предисловие

Каждый человек в течение своей жизни постоянно сталкивается 
с ситуациями, которые требуют от него принятия того или иного 
решения.
В одних случаях человек принимает решение не задумываясь, 
на подсознательном уровне. Так происходит, если ситуация простая 
или часто повторяющаяся. Тогда решение принимается на основе 
инстинкта, интуиции или личного опыта. В других ситуациях 
поиск ответа на вопрос «Как поступить?» требует серьезных размышлений, 
иногда ведет к необходимости получения совета других 
людей — более опытных или тех, для кого это решение также важно.
В положении лица, принимающего решение (ЛПР), оказываются 
и коллективы людей, когда от них требуется принятие общего 
решения. Такими коллективами могут быть, например, совет 
директоров, вырабатывающий стратегию развития организации; 
парламент страны, принимающий новый закон; семья, решающая 
вопрос о приобретении квартиры.
Принятие решений — это сложный процесс, который можно 
анализировать с различных точек зрения. Так как решения принимаются 
людьми, а принятые решения, в свою очередь, влияют 
на людей, можно выделить психологический и социальный аспекты 
этого процесса. Поскольку основой принятия решений является 
информация и ее движение, можно говорить об информационном 
аспекте. Часто под системами поддержки принятия решений понимают 
программные технологии (в том числе OLAP-технологии), 
позволяющие аналитикам получить доступ к необходимой информации 
и представить ее в удобном для анализа виде (диаграммы, 
графики и другие формы представления информации).
Можно также говорить об организационной и юридической сторонах 
принятия решений. Особенно это касается управленческих решений, 
т.е. решений, которые принимаются ответственным лицом 
в рамках предприятия. Для поддержки управленческих решений 
разработаны различные так называемые Decision Support Systems 
(DSS). Кроме того, известно, что процесс принятия решений имеет 
национальную окраску, зависит от традиций того или иного народа. 
Так, японская модель принятия решений сильно отличается 
от европейской и американской. Из сказанного следует, что теория 
принятия решений лежит на стыке множества наук — психологии, 
социологии, менеджмента, экономики и др.

В данном учебном пособии рассмотрен еще один аспект принятия 
решений — использование математических методов. Теория 
поддержки принятия решений — это дисциплина, содержащая набор 
математических методов, позволяющих лицу, принимающему решения, 
вырабатывать разумные решения в сложных ситуациях. 
Решение считается разумным, если человек учел при его принятии 
все существенные факторы, основные возможные последствия, получил 
оценки лучших экспертов, словом, использовал всю имеющуюся 
на момент принятия решения информацию с точки зрения 
своих предпочтений, своей интуиции и опыта.
Обширная литература по тематике, связанной с принятием решений, 
охватывает большой спектр вопросов и практических приложений. 
Организационные, социальные, национальные и юридические 
аспекты в этом пособии не рассматриваются. Психологическая 
корректность использованных математических методов 
и процедур поддержки принятия решений рассматривается здесь 
в разрезе их практической применимости.
В пособии изложены основные методологические подходы 
к проблематике, традиционно относящейся к теории принятия решений, 
описаны наиболее важные с точки зрения авторов математические 
методы выбора и нахождения наилучших решений.
В главе 1 приведены основные понятия и изложена постановка 
задачи принятия решений, показаны классификация и математическая 
модель задач принятия решений.
В главе 2 рассмотрены формальные способы описания предпочтений 
и нахождения наилучших альтернатив.
В главе 3 указаны три подхода к выработке наилучших решений 
в случае, когда предпочтения ЛПР описываются многими критериями 
качества; приведены понятие взаимной независимости 
критериев и порядок построения функции ценности; для сравнения 
показаны эвристический метод анализа иерархий и аксиоматически 
обоснованный алгоритм построения отношения предпочтения 
при наличии информации о сравнительной важности 
критериев.
В главе 4 описаны методы, опирающиеся на вербальный подход 
к задачам принятия решений.
Глава 5 посвящена основам формальной теории выбора.
В главе 6 рассмотрен подход к принятию решений в условиях 
риска и построению функции полезности.
Глава 7 содержит описание различных принципов согласования 
при коллективном принятии решений, процедур голосования и ме-
тодов агрегирования индивидуальных предпочтений.

В приложении к книге представлены результаты психологи-
ческих исследований, связанных с процессом принятия решений.
Авторы намеренно прибегли к достаточно сжатому и формаль-
ному изложению, но привели при этом ссылки на книги, в которых 
соответствующий материал изложен подробно, с большим числом 
практических примеров.
Пособие написано на основе курса лекций, прочитанных 
В.А. Осиповой студентам старших курсов и магистратуры, обуча-
ющихся по направлению «Прикладная математика и информатика» 
в Московском авиационном институте (национальном исследова-
тельском университете). Книга может использоваться студентами 
при изучении дисциплин, программа которых включает разделы, 
связанные с поддержкой принятия решений, и в дальнейшем в ис-
следовательской практике. 
Материал, изложенный в пособии, может использоваться сту-
дентами при изучении дисциплин, программа которых включает 
разделы, связанные с поддержкой принятия решений, ознакомит 
их с основными математическими методами поддержки принятия 
решений, позволит применить их при решении практических задач 
и в дальнейшем в исследовательской практике.
Проблема спе циалистов, работающих в области принятия ре-
шений, состоит в том, что формализация процесса принятия ре-
шений упирается в сложность рассматриваемой реальной системы. 
При этом без формализованной модели нельзя рассчитывать 
на серьезный анализ процесса. Применение основных положений 
математической теории поддержки принятия решений или хотя бы 
знакомство с ними позволит избежать глобальных ошибок и улуч-
шить качество принимаемых решений.

Глава 1. 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ПРОБЛЕМНОЙ СИТУАЦИИ

В теории принятия решений рассматриваются сложные си-
туации, для которых характерно по крайней мере одно из условий: 
многокритериальность, необходимость учета мнений нескольких 
лиц с несовпадающими интересами, наличие случайных или не-
определенных факторов.
Одно из исходных положений теории принятия решений состоит 
в том, что в перечисленных случаях не существует оптимального 
в каком-то абсолютном смысле решения, а можно говорить лишь 
о «лучших» или «оптимальных» решениях с точки зрения данного ЛПР, 
обладающего определенной системой предпочтений. Чтобы найти оп-
тимальное решение формальными средствами, требуется построить 
модель предпочтений, адекватную истинным предпочтениям ЛПР.
В этом состоит отличие теории принятия решений от оптими-
зационных постановок задач, рассматриваемых в теории оптималь-
ного управления, математического программирования, комбина-
торной оптимизации и других областях математики. В этих задачах 
основанием для выбора служит уже «готовая» целевая функция, 
являющаяся мерой качества варианта.
Процесс принятия решения включает следующие этапы:
1) определение целей, с которыми будет осуществляться пред-
стоящее действие, т.е. осознание того, чего ЛПР хочет достичь;
2) выбор наиболее предпочтительного (наилучшего, оптималь-
ного и т.п.) варианта действий, ведущих к достижению поставленных 
целей;
3) реализация выбранного варианта действий (решения).
Теория поддержки принятия решений может быть применена 
для реализации второго этапа этого процесса. Знание теории при-
нятия решений поможет ЛПР и на первом этапе грамотно сфор-
мулировать цели. Третий этап выходит за рамки математической 
теории принятия решений.

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Формализуем постановку задачи принятия решений (ЗПР), сфор-
мулировав математическую модель проблемной ситуации, возни-
кающей при решении такой задачи. Обычно в ней выделяют сле-
дующие элементы:

S — множество стратегий s, ведущих в той или иной степени к до-
стижению поставленной цели, называемых также альтернативами, 
вариантами решения задачи;
G — множество последствий g реализации каждой стратегии, на-
зываемых исходами;

Λ — множество возможных значений неопределенного фактора — 
описание среды ЗПР, т.е. тех факторов, которые влияют на полу-
чение того или иного исхода при реализации той или иной стра-
тегии. При этом каждый исход g представляется как функция ψ 
от выбранной стратегии s и значения неопределенного фактора  λ: 

( ,
)
g
s
= ψ
λ ;

p — описание системы предпочтений ЛПР. В общем случае счи-
тается, что ЛПР обладает системой предпочтений на множестве ис-
ходов G. В некоторых случаях при условии, что неопределенные 
факторы λ отсутствуют, можно рассматривать систему предпоч-
тений ЛПР непосредственно на множестве вариантов S;

ϑ — вся остальная информация о проблемной ситуации, пред-
ставленная в формализованном виде. Например, это может быть 
информация о важности критериев, об отношении ЛПР к риску;

d — требуемое действие на множестве S для достижения цели 
ЛПР. Например, выделить лучший вариант *s , выделить подмноже-
ство 
*
S
S
⊆
 лучших вариантов, ранжировать варианты, классифи-
цировать варианты из S . Как правило, мы будем рассматривать за-
дачу выделения из S  подмножества лучших вариантов.
Таким образом, задачу принятия решений можно сформулиро-
вать так: осуществить требуемое действие d при заданной модели 
проблемной ситуации:

 
 
,
,
,
,
,
D
S G
p
=<
Λ ψ
ϑ >.  
(1.1)

Множества S, G, Λ и функция ψ определяются соответству-
ющими компонентами проблемной ситуации. Формализация 
других элементов модели — p и  
ϑ  — будет рассмотрена далее.
Построение модели проблемной ситуации для практической 
задачи является непростой процедурой, состоящей как из фор-
мальных, так и неформальных этапов.
Построенная модель проблемной ситуации служит для выде-
ления наилучших решений. Набор правил или алгоритм, позво-
ляющий находить подмножество 
*
 
S
S
⊆
наилучших вариантов ре-
шений, называется принципом оптимальности. Математически 
принцип оптимальности задается как отображение χ: 
( )
*
 S
D
= χ
, 
где 
 
D  — математическая модель проблемной ситуации (1.1), вклю-

чающая элементы ,
,
,
,
,
S G
p
Λ ψ
ϑ. Принцип оптимальности фор-
мализует понятие «лучший вариант». Существуют значительные 
классы задач, для которых разработаны алгоритмы нахождения на-
илучших решений.
Простейший принцип оптимальности выражается формулой 

{ }
*
*
S
s
=
, где 
*s — любой (произвольный) элемент множества S . 

Данный принцип осуществляет случайный выбор. Его приходится 
применять в условиях дефицита времени, в ситуациях, когда при-
нять хоть какое-то решение лучше, чем не принять никакого. Еще 
одним распространенным случаем применения этого принципа яв-
ляется ситуация, когда он является последним в последователь-
ности применяемых принципов оптимальности. В этом случае вся 
имеющаяся информация использована на предыдущих этапах, все 
неподходящие стратегии отсеяны, оставшиеся сравнить невоз-
можно — приходится выбирать любую.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.1. Покупка цифрового фотоаппарата.
В данном случае ЛПР — покупатель, а стратегия s в этой задаче: 
купить фотоаппарат модели X . Каждый исход g описывается на-
бором свойств выбранного фотоаппарата, которые можно охарак-
теризовать числовыми критериями: стоимость (сумма в рублях), 
удобство пользования (оценка по 10-балльной шкале), качество 
получаемых изображений (размер матрицы фотоаппарата 
в мегапик селях), zoom объектива (кратность), компактность (сумма 
измерений по длине, высоте и толщине). Система предпочтений 
ЛПР p описывается набором тех из перечисленных выше крите-
риев, которые важны для него. Неопределенным фактором л в этой 
задаче можно считать, например, заводской брак при выпуске кон-
кретного фотоаппарата. От ЛПР могут быть получена также допол-
нительная информация ϑ. Например, это может быть информация 
о сравнительной важности критериев («удобство важнее цены») 
или ограничения на их величину («размер матрицы не меньше 
9 Mpix», «не дороже 20 тыс. руб.»).
Требуемым действием d является выбор фотоаппарата для по-
купки из имеющегося ассортимента S.
На этом примере можно подчеркнуть еще одну характерную 
черту процесса принятия решения: чаще всего он носит итерационный 
характер. Покупку можно представить как последовательность 
ЗПР, в которой результат S * (множество понравившихся фотоаппаратов) 
предыдущей задачи становится множеством исходных 
вариантов S  для следующей задачи.

Пример 1.2. Прием абитуриентов в университет.
В числе других в приемную комиссию одного из факультетов 
университета подали документы абитуриенты Иванов и Петров. 
Необходимо решить, кого из них предпочтительнее принять на обучение.

Количество баллов, набранное абитуриентами на ЕГЭ:
Иванов: математика — 88, литература — 69;
Петров: математика — 64, литература — 93.
В этой задаче в роли ЛПР выступает приемная комиссия университета. 

1
2
{ ,
}
S
s
s
=
. Стратегия 1s  — принять Иванова, стратегия 

2s  — принять Петрова. Предпочтения ЛПР p описываются с помощью 
двух критериев — «оценка по математике» и «оценка по литературе».

Если никакой дополнительной информации ϑ нет, то выбор 
между Ивановым и Петровым представляется затруднительным. 
Если же известно, что документы были поданы на технический факультет, 
то предпочтительнее стратегия 1s . Если факультет является 
гуманитарным, то предпочтительнее стратегия 2s . В этом примере 
информация ϑ формулируется в виде сообщения «оценка по мате-
матике важнее, чем оценка по литературе» или «оценка по литера-
туре важнее, чем оценка по математике».
Пример 1.3. Выбор стратегии поведения при изучении неко-
торой дисциплины.
Студент в начале нового семестра решает, до какой степени 
усердно он будет изучать некоторую дисциплину. Он выступает 
в роли ЛПР и рассматривает следующие стратегии поведения:

1s  — не посещать групповые занятия, не заниматься самостоя-
тельно;

2  
s — посещать занятия, но не заниматься самостоятельно;

3s  — не посещать занятия, но заниматься самостоятельно;

4s  — посещать занятия и заниматься самостоятельно.
Исходы будут оцениваться по двум критериям — 
1
K  и 
2
K , где 

1
K  — оценка, полученная на экзамене, со шкалой {5, 4, 3, 2, 1}, 
причем значение 1 — не сдал на пересдаче; 
2  
K — затраченные усилия 
со шкалой {много, средне, мало, никаких}.
При таких шкалах теоретически возможно 20 различных ис-
ходов (рис. 1.1). При выборе определенной стратегии может насту-
пить тот или иной исход с большей или меньшей вероятностью. 
Значение критерия К2 однозначно определяется стратегией, вы-
бранной студентом. Для критерия 
1
K  вероятность получения 

оценки j при выборе стратегии is  обозначена здесь 
ijp . Случайные 
факторы λ, действующие в этом примере, — это «удачный» билет, 
настроение преподавателя, самочувствие и волнение студента и пр. 
Разумеется, некоторые исходы практически не реализуемы, на-
пример, характеризуемые векторными оценками (5, никаких) или 
(1, много).

s1
s2

p15

p14 p13
p12
p11

(5, никаких)

(4, никаких)

(3, никаких)

(2, никаких)
(1, никаких)

p25

p24 p23
p22
p21

(5, мало)

(4, мало)

(3, мало)

(2, мало)
(1, мало)

s3
s4

p35

p34 p33
p32
p31

(5, средне)

(4, средне)

(3, средне)

(2, средне)
(1, средне)

p45

p44 p43
p42
p41

(5, много)

(4, много)

(3, много)

(2, много)
(1, много)

Рис. 1.1. Возможные исходы

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ

В основу классификации ЗПР могут быть положены различные 
признаки.
В зависимости от количества равноправных ЛПР различают:
1) задачи индивидуального принятия решения или выбора (име-
ется единственное ЛПР);
2) задачи группового принятия решения или выбора (имеется 
более одного ЛПР).
В зависимости от среды задачи Л различают ЗПР:
1) в условиях определенности;
2) в условиях риска (имеются случайные факторы л с известными 
законами распределения вероятности  
( )
(
)
F
x
P
x
λ
=
λ <
;
3) в условиях неопределенности (имеются случайные факторы л 
с неизвестными законами распределения);
4) в условиях противодействия (параметр л характеризует активные 
действия противника).