Структура, кинематика и динамика рычажных механизмов

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

Структура, кинематика и динамика  
рычажных механизмов 

Методические указания к выполнению 
домашних заданий по дисциплине  
«Теория механизмов и машин» 
 
 
Под редакцией Г.А. Тимофеева 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 531.8 (075.8) 
ББК 34.41 
 
С87 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/225/book1085.html 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Теория механизмов и машин» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Авторы: 
Г.А. Тимофеев, М.В. Самойлова, О.О. Барышникова, Д.В. Сащенко 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор МГИУ И.Е. Люминарский, 
канд. техн. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана О.П. Феоктистова 
 
 
 
Структура, кинематика и динамика рычажных меха- 
С87  низмов : методические указания / Г. А. Тимофеев, М. В. Са- 
  
мойлова и др. ; под ред. Г. А. Тимофеева. — Москва : Изда- 
  
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 95, [1] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4152-5 
Приведены общие указания, примеры выполнения двух домашних заданий, методические рекомендации по использованию ПЭВМ 
для кинематического и кинетостатического исследования рычажных 
механизмов, новые исходные данные к заданиям и вопросы для 
подготовки к защите домашних заданий. 
В помощь студентам, обучающимся по программам бакалавриата, при выполнении домашних заданий. 

 
  УДК 531.8 (075.8) 
 
  ББК 34.41 

 

 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4152-5 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Предисловие 

Учебная дисциплина «Теория механизмов и машин» является 
одной из первых, которая вводит в специальность будущего бакалавра или специалиста и поэтому имеет инженерную направленность. Представляя научную основу дисциплин по проектированию машин специального и отраслевого назначения, она призвана 
научить студентов общим методам исследования и проектирования механизмов машин и приборов; принципам реализации движения с помощью механизмов и взаимодействия механизмов и 
машин; системному подходу к проектированию машин и приборов 
по их заданным структурным, кинематическим и динамическим 
свойствам; находить оптимальные параметры механизмов по требуемым условиям работы; привить навыки разработки алгоритмов 
и программ расчета на компьютере. 
Цель данного учебного пособия — обеспечение студентов, 
изучающих дисциплину «Теория механизмов и машин», материалами для самостоятельной индивидуальной подготовки, выполнения двух домашних заданий и их успешной защиты. 
 
 
 

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ  
К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ 

При изучении теории механизмов и механики машин предусмотрено выполнение двух домашних заданий. Первое посвящено 
структурному и кинематическому исследованию рычажного механизма, второе — силовому расчету этого же механизма. Задания 
выполняются графоаналитическим способом и с использованием 
стандартных программ на ПЭВМ. 
Исходными данными задания № 1 (см. разд. 4) являются кинематическая схема механизма, а также скорость и ускорение одного из звеньев для конкретного его положения, определяемого 
углом 
1.
  Числовые значения длин звеньев и заданных кинематических параметров приведены в таблицах исходных данных к 
заданиям. 
Требуется: определить число степеней подвижности механизма и число избыточных связей в нем, провести его структурный 
анализ по Л.В. Ассуру и устранить избыточные связи, выполнить 
его кинематическое исследование, определив линейные скорости и 
ускорения точек звеньев, угловые скорости и ускорения звеньев, 
передаточные функции скоростей точек и звеньев.  
Кинематическое исследование заданного рычажного механизма рекомендуется выполнить графическим методом — методом 
планов скоростей и ускорений. Этот метод прост, нагляден и дает 
возможность быстрого контроля расчетов, выполненных на ЭВМ. 
Он базируется на графическом решении векторных уравнений, 
связывающих скорости и ускорения отдельных точек звеньев механизма. Эти уравнения составляются на основе теорем о плоском 
движении тела и сложном движении точки. 
Порядок выполнения задания № 1 следующий. 
1. Построить схему механизма (план механизма) по заданным 
размерам методом засечек в положении, определяемом углом 
1
  

начального звена, в масштабе. Значение масштаба рассчитывают 
по формуле  

 
отрезок чертежа, мм
Масштаб
.
физическая величина

 

Масштаб плана механизма 
l
AB
AB l
 
 (мм/м); масштаб плана 
скоростей 
v
  (мм/м–1), масштаб плана ускорений 
a
  (мм/м–2). 
Длину отрезка (мм), изображающую на схеме начальное звено, 
выбирают произвольно, но целесообразно брать ее кратной реальной длине звена. Размеры остальных звеньев находят с учетом выбранного масштаба длин. Последовательность построения схемы 
механизма дана в разд. 1, 2. 
2. Определить число степеней подвижности механизма. Если 
все звенья механизма находятся в одной или параллельных плоскостях и оси всех кинематических пар строгим образом сориентированы друг относительно друга, то рассматриваемый механизм 
является плоским. Для определения числа степеней подвижности 
механизма применяют формулу П.Л. Чебышева: 

 
н
в
1
2
3(
1)
2
1
3
2
1
,
W
k
p
p
n
p
p







 

где k — число всех звеньев, включая стойку; n — число подвижных звеньев; 
н
1
p
p

 — число низших одноподвижных (вращательных или поступательных) кинематических пар; 
в
2
p
p

 — 
число высших двухподвижных кинематических пар (в рычажных 
механизмах их нет).  
Полученное число степеней подвижности механизма соответствует числу начальных звеньев с заданными кинематическими 
параметрами, так как только в этом случае остальные звенья будут 
двигаться вполне определенным образом относительно стойки. 
Если же на расположение осей кинематических пар не наложены ограничения, то механизм является пространственным и в нем 
появляются избыточные связи. Число избыточных связей в механизме находят по формуле Л.Н. Решетова: 

 
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
,
q
W
n
p
p
p
p
p







 

где 
3,
p
 
4,
p
 
5
p  — число трех-, четырех- и пятиподвижных кинематических пар. 

При изучении характера движения звеньев и вида кинематических пар особое внимание следует обратить на сложное 
движение: относительное поступательное движение сочетается 
с переносным вращательным.  
3. Провести структурный анализ плоского механизма по 
Л.В. Ассуру, согласно теории которого любой плоский механизм 
с 
1
W   состоит из первичного механизма (начальное звено и 
стойка, соединенные вращательной или поступательной кинематической парой) с заданным законом движения начального 
звена и одной или нескольких структурных групп (незамкнутая 
кинематическая цепь, которая при замыкании со стойкой обращается в неподвижную систему и у которой 
0).

W
 В заданиях (см. разд. 4) встречаются, как правило, двухповодковые 
группы, состоящие из двух звеньев и трех кинематических пар.  
Структурный анализ начинают с установления первичного механизма, закон движения которого задан. Затем выделяют ту 
структурную группу, которая была присоединена к механизму последней, и далее — оставшуюся структурную группу, примыкающую к первичному механизму (для механизмов, имеющих по две 
структурные группы). Механизм расчленяют на структурные 
группы так, чтобы после удаления из него очередной группы не 
нарушался закон движения оставшихся звеньев механизма и число 
его степеней подвижности оставалось прежним.  
Структурный анализ пространственного механизма проводят в 
той же последовательности, что и структурный анализ плоского 
механизма. Рассматривая пространственный механизм, для каждой 
структурной группы по формуле Решетова находят число избыточных связей, устраняют их увеличением подвижностей кинематических пар и составляют схему самоустанавливающегося механизма.  
4. Построить планы линейных скоростей и ускорений точек 
звеньев и определить угловые скорости   и ускорения   звеньев.  
Построение планов скоростей начинают с входного звена, закон движения которого задан. Определяют скорость точки этого 
звена; составляют векторное уравнение, связывающее эту скорость 
со скоростями точек смежного звена, и устанавливают, какие век

торы известны по величине, какие по величине и направлению, 
какие только по направлению. Рекомендуется векторы, известные 
по величине и направлению, подчеркивать двумя чертами, а известные только по величине или только по направлению — одной 
чертой. Отмечают буквами направления векторов. Если в векторном уравнении только два неизвестных, то оно решается, и его 
графическим решением будет план скоростей. Стрелки векторов 
на плане проставляют в строгом соответствии с записанным уравнением, соблюдая правило векторного суммирования; при этом 
относительные скорости проходят вне полюса, а начала векторов 
абсолютных скоростей всегда расположены в полюсе. Из построенного плана находят отрезки, пропорциональные скоростям точек, и, зная масштаб 
,
v

 определяют модули векторов скорости, а 
их направления известны из плана. 
Абсолютную скорость третьей точки звена, не лежащей на 
одной прямой с двумя другими его точками, скорости которых 
известны, определяют методом подобия. Для этого на плане скоростей на отрезке известной относительной скорости строят треугольник, подобный тому, который имеется на схеме механизма, 
соблюдая одинаковое направление прочтения в вершинах треугольника на плане скоростей и схеме механизма. Стороны подобных 
треугольников взаимно перпендикулярны. В результате построения 
получается треугольник, составленный концами векторов относительных скоростей. Соединяя построенную вершину треугольника с 
полюсом, находят отрезок искомой абсолютной скорости. 
Если известны абсолютные скорости двух точек какоголибо звена, то скорость третьей точки, лежащей с ними на одной прямой, находят пропорциональным делением. Метод 
пропорционального деления является частным случаем метода подобия. На плане скоростей отрезок относительной скорости делят 
искомой точкой в том же соотношении, в котором соответствующая точка делит реальное звено на схеме механизма. Длину искомого отрезка определяют из пропорции (отношение длин на звене 
механизма равно отношению отрезков на плане скоростей). Соединяя полученную точку с полюсом, находят отрезок искомой 
абсолютной скорости. 

Если два звена образуют поступательную кинематическую 
пару, то для определения абсолютной скорости точки одного 
из этих звеньев, геометрически совпадающей в данный момент 
с точкой другого звена (скорость которой известна), используют 
векторное уравнение сложного движения. Абсолютная скорость 
искомой точки складывается из переносной и относительной составляющих; вектор переносной скорости обычно известен. 
Зная линейные скорости точек, определяют угловые скорости 
звеньев по величине и направлению. 
План ускорений строят на основе векторных уравнений в той 
же последовательности, что и план скоростей. Каждый из векторов 
представляют нормальной 
n
a  и касательной a  составляющими. 
При этом нормальное ускорение известно по величине (так как 
план скоростей построен) и направлению (к центру относительного вращения), а касательное — перпендикулярно ему и неизвестно 
по величине. В этих уравнениях также дважды подчеркивают снизу векторы, известные по величине и направлению. Так, для вектора 
,
n
CB
a
 направленного от точки С к точке В (центр относительно
го вращения), внизу записывают С  В. 
На плане ускорений начало вектора абсолютного ускорения 
всегда находится в полюсе, а вектор относительного ускорения в 
общем случае проходит вне полюса. 
Метод подобия (как и частный его случай — метод пропорционального деления) применяют только для полных относительных 
ускорений. При этом подобную фигуру следует строить на плане 
по трем сторонам, величина одной из которых известна, а две другие определяют из соответствующих пропорций, соблюдая одинаковое направление обхода при чтении букв по вершинам фигуры, 
составленной из полных относительных ускорений плана, и фигуры на звене механизма. 
Полное ускорение точки, совершающей сложное движение, состоит из переносного, относительного и кориолисова ускорений. 
Последнее обусловлено тем, что звенья, имеющие линейную относительную скорость 
отн,
v
 совершают вращательное движение с 
угловой скоростью 
пер

 вокруг мгновенного центра вращения. 

Для плоского механизма 
к
пер отн
2
,
a
v
 
 так как в этом случае 




пер
отн
sin
,
1.


v
 Направление находят по правилу Жуковского 

поворотом вектора 
отн
v
 на 90 в направлении угловой скорости 

пер.

 Определив из плана касательные ускорения, подсчитывают 
значения угловых ускорений   звеньев и определяют их направления. 
Кинематические передаточные функции скоростей точек и звеньев механизма (первая производная от функции положения по 
1)

 
являются характеристиками только геометрии самого механизма и 
не зависят от закона движения начального звена. Это позволяет использовать их для оценки кинематических возможностей механизма 
при изучении его динамики. Значения передаточных функций скоростей могут быть определены через отрезки плана скоростей и 
длины звеньев. Например, 


н
н
1
н
в
q
AB
AB
v
v
v
v
l
l
ph pb

 

 или 

3
31
3
1
,
CD
CD
AB
q
B
AB
CD

v
l
l
pc
u
v
l
l
pb


 
 

 где 
31
u
 — передаточное от
ношение (передаточная функция угловой скорости). 
Силовой расчет механизма основан на решении прямой (первой) задачи динамики: по заданному закону движения определить 
действующие силы. 
1. Закон движения начальных (или начального) звеньев считается заданным. 
2. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма, считаются заданными. 
3. Подлежат определению только реакции в кинематических 
парах. 
Иногда внешние силы, приложенные к начальным звеньям, 
считают неизвестными, тогда в силовой анализ входит определение таких значений этих сил, при которых выполняются принятые 
законы движения начальных звеньев. 
При решении обеих задач используется принцип Д’Аламбера, 
согласно которому звено механизма может рассматриваться как 
находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам, действующим на него, добавить силы инерции. 
Учет ускоренного движения звеньев выполним методом кинетостатики, условно приложив к каждому подвижному звену меха

низма главный вектор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции. 
Тогда для каждого звена можно записать три уравнения: 

 
0;
 


ix
ix
i
F
 
 (1.1) 

 
0;
 


iy
iy
i
F
 
 (1.2) 

 
0
0
( )
(
)
0.



 




i
i
i
i
i
M
F
M
M
M
 
 (1.3) 

Уравнения равновесия звеньев в этом случае называют уравнениями кинетостатики. 
Два алгебраических уравнения (1.1) и (1.2) могут быть заменены одним эквивалентным векторным уравнением сил 

0.
  

i
i
i
F
 

Главный вектор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции 
звена i определяются по уравнениям 

 
;
  
i
i
Si
m a
   
.
  

i
iS
i
M
J
 
 (1.4) 

Уравнение   
i
i
Si
m a  предполагает, что главный вектор сил 
инерции i  приложен к центру масс 
.iS  
Следует подчеркнуть, что никакой силы i  и никакой пары 
сил 
i
M
 к звену i в действительности не приложено. Главный вектор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции не имеют никакого 
физического содержания и в расчетных уравнениях (1.1)–(1.3) выполняют роль не более чем чисто математических величин, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения 
звеньев. 
Силы в кинематических парах, являющиеся искомыми, определяют из уравнений (1.1)–(1.3), в которых они содержатся в составе сумм 
,

x

i

F
 
,

y
i

F
 
0( ).

i

M
F
 Поскольку значения 
,
ix  
,
iy  

i
M
 зависят от ускорений, искомые силы также зависят от ускорений. Следовательно, для проведения силового расчета надо 
знать закон движения механизма.