Свободные колебания консервативных нелинейных систем с одной степенью свободы

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

А.М. Гуськов, С.В. Яресько 

 
 
 
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 
КОНСЕРВАТИВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 

 
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2 0 0 9  

УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213 
Г968 
Рецензенты: Г.Я. Пановко, А.А. Головин  

 
Гуськов А.М., Яресько С.В. 
 
Ч 24 
        Свободные колебания консервативных нелинейных 
систем с одной степенью свободы: Учеб. пособие. — М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 44 с.: ил.  

ISBN 978-5-7038-3242-4   
Представлены системы с зазорами и системы с упругими элементами, имеющими начальные напряжения. Подробно рассмотрено построение кусочно-линейной силовой характеристики таких 
систем. Даны методы получения зависимости частоты от амплитуды 
колебаний на основе как точного решения по методу припасовывания, так и приближенного решения с помощью прямой линеаризации силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного  
и приближенного решений позволяет оценить возможности широко 
применяемых на практике методов линеаризации нелинейных  
систем. 
Для студентов 3-го курса механических специальностей, изучающих первую часть курсов «Аналитическая динамика и теория 
колебаний» и «Теория механических колебаний». 
 
УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7038-3242-4 
  
 
     © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

 
Г968 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Представленное учебное пособие по теории нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы предназначено для студентов механических специальностей. По традиции этот раздел 
относится к первой части курсов «Аналитическая динамика и теория колебаний» и «Теория механических колебаний», изучаемых 
после освоения полного курса «Теоретическая механика». 
В результате изучения свободных колебаний консервативных 
систем с кусочно-линейной силовой характеристикой студенты 
должны достичь понимания ангармонизма колебаний нелинейных 
систем. 
Учебные задачи, включенные в пособие, предполагают обязательную выработку навыков вывода уравнений нелинейных силовых характеристик для комбинированных упругих систем. В 
пособии рассмотрены системы с зазорами и системы с упругими 
элементами, имеющими начальные напряжения. Зависимость 
частоты от амплитуды колебаний необходимо вычислить как на 
основе анализа точного решения, полученного методом припасовывания, так и приближенно, применяя метод прямой линеаризации силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного и приближенного решений позволяет оценить возможности 
широко применяемых на практике методов линеаризации нелинейных систем. 
Для более полного изучения теории нелинейных колебаний 
можно рекомендовать учебники и монографии, приведенные в 
списке литературы [1 – 8]. 

ВВЕДЕНИЕ 

В пособии рассматриваются механические системы, имеющие 
лагранжиан и уравнение движения соответственно 

 
2
1
( )
( , )
( )
,
2
U q
L q q
mq
U q
m q
q
∂
=
−
⇒
= −
∂

(1) 

где  q и m — обобщенные координата и масса системы; 
/
.
q
dq dt
=

Зависимость F(q) = ∂U(q) / ∂q называется силовой характеристикой упругого элемента, если потенциальная энергия U(q) есть 
энергия деформации конструкции, удерживающей обобщенную 
массу m. (В специальной литературе часто употребляют неудачный термин «упругая характеристика», чтобы подчеркнуть, что 
речь идет об упругом элементе.) 
Предполагается, что в состоянии {
0 ,
0}
q
q
=
=
система находится в устойчивом положении равновесия: 

 

2

2
0
0

( )
( )
0,
0.

q
q

U q
U q
q
q
=
=

∂
∂
=
>
∂
∂
 
(2) 

Следовательно, свободные движения вблизи положения равновесия имеют колебательный характер и фазовые траектории 
( )
q q

являются замкнутыми. 
Один оборот по траектории осуществляется за время, называемое периодом колебаний Т. Первый интеграл рассматриваемых 
систем имеет смысл полной энергии  

 
2
0
1
( , )
( )
,
2
E q q
mq
U q
E
=
+
=

(3) 

т. е. для движений, удовлетворяющих уравнению (1), 
( , )/
dE q q
dt ≡

0
≡
. Постоянная интегрирования Е0 определяется начальными условиями. Если упругая характеристика симметричная, т. е. 
U(q)  = U(–q) и F(q)  =  –F(–q), фазовые траектории имеют симметричный вид относительно осей {
}
,
q q— рис. 1. 
 

 

Рис. 1. Фазовые траектории консервативной системы  
вблизи положения устойчивого равновесия {q = 0, qq. = 0}; E02 > E01 

 
Проинтегрируем вдоль четверти полного оборота (от точки 1 
до точки 2, см. рис. 1), уравнение (3), которое на этом участке 

можно представить в виде 
[
]
0
2
( )
dt
dq
m E
U q
=−
−
. Так как в 

точке 1 при t = 0 имеем Е0 = U(A),  

 

[
]
0

2
( )
4
;
( )
,
( )
2
( )
( )

A
dq
T A
A
T A
U A
U q
m

π
=
ω
=

−
∫
 
(4) 

при этом наибольшее отклонение называется амплитудой колебания A =  max(q): 
(
) (
)
{
}
,
(0)
,
(0)
0
(
2)
,
(
2)
0
.
q
A q
q T
A q T
=
=
= −
=

Если известна силовая характеристика F(q), то потенциальная 
энергия определяется как 

 

0
( )
(0)
( )
( )
( )
( )
.

q
A

q
U q
U
F x dx
U A
U q
F x dx
=
+
⇒
−
=
∫
∫
 
(5) 

Интеграл (4) в общем случае находится численно. Для линейных систем F(q)=cq, U(q) = c q2/ 2 + C и возможно интегрирование