Сборник олимпиадных задач по теоретической механике

Московский государственный технический университет
 имени Н.Э. Баумана

Сборник олимпиадных задач
по теоретической механике

Под редакцией В.В. Дубинина

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 531.2+531.8(076.1)
ББК 22.21
       С23
Рецензенты: К.И. Романов, Т.И. Чуканова

Сборник олимпиадных задач по теоретической механике:
Учеб. пособие / В.В. Дубинин, Г.М. Тушева, Н.Л. Нарская и др.;
Под ред. В.В. Дубинина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2006. – 56 с.: ил.
ISBN 5-7038-2882-1
Приведены условия и решения типовых задач, представленных на
олимпиадах по теоретической механике. Задачи охватывают все основные
разделы механики (статика, кинематика и динамика). В последнем разделе
рассмотрены задачи по динамике точки и механической системы.
Для аспирантов, студентов, участников олимпиад по теоретической
механике и преподавателей кафедр теоретической механики.
Ил. 50. Библиогр. 4 назв.
УДК 537.2+531.8(076.1)
                                                  ББК 22.21

Учебное издание

Владимир Валентинович Дубинин
Галина Михайловна Тушева
Наталия Лазаревна Нарская
Галина Ивановна Дубровина
Юрий Сергеевич Саратов

СБОРНИК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Редактор А.В. Сахарова
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка  Е.В. Зимакова

Подписано в печать 20.07.2006. Формат  60х84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26.  Уч.-изд. л. 2,95. Тираж 300 экз.
Изд № 127. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5

ISBN 5-7038-2882-1                
        
©
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

С23

В данном сборнике приведены условия и решения типовых
задач, 
представленных 
на 
внутренних 
олимпиадах 
МГТУ
им. Н.Э. Баумана, московских олимпиадах, проведенных в последние годы МГТУ им. Н.Э. Баумана, и олимпиадах Уральского государственного технического университета (УГТУ–УПИ). Использованы задачи из сборника [1]. Задачи охватывают все основные
разделы механики: статика, кинематика и динамика. В последнем
разделе рассмотрены задачи по динамике точки и механической
системы.
Особый интерес представляют задачи по теории ньютоновского удара, так как в учебных курсах этому разделу механики
уделено незаслуженно мало времени. В приведенных задачах
рассматривается удар в механической системе. При определении
скоростей после удара используют общие теоремы динамики, а
также общее уравнение механики и уравнение Лагранжа второго
рода при ударе.

1. СТАТИКА

При решении задач статики прежде всего надо выбрать тело
или систему тел, равновесие которых рассматриваем. Затем необходимо определить, является ли задача статически определимой.
Необходимым условием статической определимости является
равенство нулю числа степеней свободы S. Число степеней свободы определяется формулой

1
,
N

i
i
S
k
m
n

=

=
−
−
∑

где N – число составляющих тел; ki – число независимых уравнений равновесия для каждого тела в зависимости от вида системы
сил, действующих на тело; m, n – число неизвестных составляющих реакций внешних и внутренних связей, наложенных на систему тел соответственно. Если S > 0, то механическая система является механизмом; при S < 0 задача статически неопределима.
В задачах статики прежде всего необходимо понять, каким методом будет решаться задача, – методом геометрической (посредством уравнений равновесия для систем сил) или аналитической
(принципом возможных перемещений) статики.
Основой метода геометрической статики являются расчетные
схемы, на которых показаны тела или совокупности тел, освобожденные от связей. В олимпиадных задачах обычно не требуется
определять все неизвестные реакции или уравновешивающие силы, поэтому высокой оценки могут заслуживать решения, в которых минимальным числом действий определены только указанные
в условии искомые величины. При решении задачи, применив аксиому о затвердевании, можно рассматривать систему тел или
равновесие одного из тел, не составляя при этом лишних уравнений равновесия. Выбирая удачным образом точку или ось для составления уравнения моментов и ось для уравнения проекций сил,
можно получить минимальное число уравнений для решения задачи. При действии на тело уравновешенной плоской системы трех
непараллельных сил можно применить теорему о трех силах.
Очень внимательно нужно относиться к арифметическим вычислениям и тригонометрическим преобразованиям.

Если систему сил, приложенных к телу, удается свести к трем,
эффектное решение достигается путем применения теоремы о трех
силах.
Основой аналитической статики является принцип возможных
перемещений (принцип Лагранжа), позволяющий из одного уравнения определить неизвестную величину. Его применяют для систем, находящихся в равновесии, на которые наложены идеальные
связи. В статических конструкциях, число степеней свободы которых равно нулю, применяют прием последовательного снятия связей с добавлением в систему активных сил соответствующих реакций.
Особое внимание следует обратить на задачи с трением скольжения и качения. В этих задачах из уравнений предполагаемого
равновесия надо найти силу трения скольжения Fтр или момент
трения качения Мтр, используя при этом законы трения:

тр
трmax
тр
тр max
0
, 0
,
F
F
M
М
≤
≤
≤
≤

где 
 
тр max
тр max
; 
;
F
f N M
N
=
= δ
 N – нормальное давление на по
верхность в точке контакта; N > 0; Fтр – сила трения.
Подставляя значения Fтр, Мтр, найденные из уравнений равновесия, исследуем эти неравенства. При выполнении этих неравенств равновесие в какой-то области изменения исследуемых величин не нарушено, нет отрыва, скольжения или качения. Если эти
неравенства не выполняются, то равновесие тела невозможно.
Для плоских задач статики можно графически построить область равновесия: это геометрическое решение основано на том
условии, что полная реакция плоскости находится внутри конуса
трения.
С-1. (Космодемьянский В.А., МГТУ, 2001) Два однородных
стержня (рис. 1) одинаковой длины 2L, соединенные шарнирно,
расположены в вертикальной плоскости и проходят через шарнирно закрепленные на неподвижных опорах втулки А и В.
Найти симметричные формы равновесия системы при условии
АВ = L.
В положении равновесия точке О сообщается малая скорость
по вертикали ε  и система начинает движение. Дайте качественный анализ дальнейшего движения системы. Устойчива ли найденная форма равновесия?

Решение методом геометрической статики. Из условий равновесия системы (рис. 2, а) имеем

2
1
/cos .
N
N
N
P
=
=
=
α

Рис. 1

Из условий равновесия любого из стержней имеем

(
)
cos
0,
O
k
M
F
NOA
PL
=
−
α =
∑

где 
2
;
2 cos
.
2cos
L
OA
N
P
=
=
α
α

а

б
Рис. 2 (начало)