Решение задач теории упругости методом конечных элементов

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
А.В. Котович, И.В. Станкевич 
 
 
 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
 
Рекомендовано  
Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2012 

УДК 519.3(075.8) 
ББК  22.161.8 
   К73 
 
Рецензенты: С.А. Агафонов, Ю.М. Темис 

 
 
Котович А.В. 
Решение задач теории упругости методом конечных 
элементов : учеб. пособие / А.В. Котович, И.В. Станкевич.  
– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 106, [6] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3567-8 

Приведены формулировки квазистационарных краевых задач 
теории упругости. Рассмотрены основные особенности построения 
численного решения этих задач с помощью метода конечных элементов. 
Для студентов 4-го курса факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Основы сеточных методов» и выполняющих курсовой проект по дисциплине «Математические модели 
технических систем». Может быть полезным студентам старших 
курсов других факультетов, изучающим численные методы решения краевых задач. 
Работа выполнена по гранту поддержки ведущих научных 
школ № НШ-4046.2010.8. 

УДК 519.3(075.8) 
           ББК 22.161.8 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3567-8                
 
   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 

К73 

ВВЕДЕНИЕ 

Математическое моделирование в настоящее время интенсивно 
развивается. Строятся усовершенствованные модели сложных физических явлений и процессов, конструируются новые численные 
алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты: поисковые, диагностические, оптимизационные. Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов 
деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики, поскольку открывает новые возможности развития всех основных разделов в такой важнейшей предметной области, как механика деформируемого твердого тела, значительно 
расширяет перспективы создания и практического использования 
систем автоматизированного проектирования.  
Велика роль математического моделирования и при решении 
прикладных задач теории упругости. Это особенно важно, поскольку математические построения и алгоритмические особенности, лежащие в основе решения задач теории упругости, при соответствующей модификации могут быть положены в основу решения сложных нелинейных задач деформирования, открывающих 
перспективы для проведения более полного и тонкого анализа 
напряженно-деформированного состояния ответственных узлов и 
элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому 
нагружению, и, таким образом, при получении данных для существенного уточнения оценки их реального ресурса и эксплуатационно-функциональных возможностей конструкций в целом. Указанные обстоятельства являются важнейшими для модификации 
существующей техники и технологии и создания их новейших образцов.  
Одним из основных инструментов математического моделирования, используемых для решения широкого круга разнообразных 
прикладных задач теории упругости, является метод конечных 
элементов (МКЭ) [1–5]. Широкому и успешному применению 
МКЭ способствовали его основные конструктивные свойства, 

например, такие, как естественность, простота, доступность, универсальность и высокая технологичность. Этот метод позволяет 
проводить численный анализ напряженно-деформированного состояния конструкций, имеющих сложную геометрическую форму, 
учитывать особенности граничных условий, теплофизических и 
физико-механических свойств материалов расчетных схем. Характерной особенностью МКЭ является прозрачность основных вычислительных процедур, что дает возможность эффективно контролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически 
и программно весьма удобен для его объединения с современными 
методами и средствами компьютерной графики. 
В данном учебном пособии приведены основные формулировки одномерных, двухмерных, осесимметричных и трехмерных задач теории упругости и рассмотрены особенности построения 
матричных выражений при решении указанных задач с помощью 
МКЭ. Материал учебного пособия изложен на примере использования линейных конечных элементов. 
В учебном пособии наряду с обычным обозначением векторов 
и матриц полужирным шрифтом использовано и матричное. Фигурными скобками обозначены вектор-столбцы, например 

 
{ }

1

2

3

;
p
P
p
p

⎧
⎫

⎪
⎪
=
= ⎨
⎬

⎪
⎪
⎩
⎭

P
 

квадратными скобками — вектор-строки, например  

[ ] [
]
1
2
3 ,
N
N
N
N
=
=
N
  

и матрицы размером 
,
m
n
×
 например 

[
]
11
12
13

21
22
23
=
;
h
h
h
H
h
h
h

⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎣
⎦
H
 

cимволом ( )T — операция транспонирования матричного выражения, стоящего в скобках. 
При этом известно, что каждому симметричному тензору 2-го 
ранга 
ij
i
j
T
t
=
⊗
e
e  (рассматривается декартова прямоугольная система координат; по повторяющимся латинским индексам прово

дится суммирование от 1 до 3, а по греческим — нет) можно поставить в соответствие шестимерный вектор 
.
i
i
p
=
P
e  Такое соответствие можно установить с помощью замены пар индексов ij  
(
)
,
1, 3
i j =
 одним индексом α  (
)
1, 6
α =
 согласно следующему 

правилу:  

1
11,
p
t
=
 
2
22,
p
t
=
 
3
33,
p
t
=
 
4
12,
p
t
=
 
5
13,
p
t
=
 
6
23.
p
t
=
 
 

1. ПОНЯТИЕ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА 

Прежде всего определим понятие конечного элемента. Под конечным элементом будем понимать объект ( ),
e  характеризуемый 
занимаемой им в евклидовом пространстве Ε  замкнутой областью 

( ),
e
V
 координатами узлов 
( )
( )
e
e
p
V
∈
x
 и интерполяционными функциями вида 

 
( )
( )
{
}

( )
( )
( )
( )
( )
( )

1
,

e
M
e
e
e
e
e
p
p
p
N
N

=
⎡
⎤
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
⎣
⎦
∑
x
x
  
     (1.1) 

где 
( )
( )
e
ϕ
x  — интерполируемая в замкнутой области 
( )
e
V
Ε
⊂
 

функция; ( )
e  — идентификационная метка конечного элемента; 

( )
e
M
 — число узлов конечного элемента ( );
e
 p  — номер (ло
кальный) узла конечного элемента ( );
e
( )
( )
e
p
N
x – достаточно гладкие линейно независимые функции, везде далее называемые функциями формы конечного элемента ( );
e
( )
e
p
ϕ
– значения функции в 

узлах конечного элемента ( ),
e
 

(
)
( )
( )
( )
;
e
e
e
p
p
ϕ
= ϕ
x
{
}

( )

( )
1
( )
2
( )

( )
e

e

e
e

e
M

⎧
⎫
ϕ

⎪
⎪

⎪
⎪
ϕ
ϕ
= ⎨
⎬

⎪
⎪

⎪
⎪
ϕ
⎩
⎭

 

– вектор-столбец, составленный из узловых значений 
( );
e
p
ϕ
 
( )
e
N
⎡
⎤
⎣
⎦  — 

матрица (строка), составленная из значений функций формы 
(
)

( )
( ) .
e
e
p
N
x
 

Из формулы (1.1) следуют очевидные свойства функций формы: 

1) 
(
)
( )
( )
1,
;  
0,
,

e
e
p
q
q
p
N
q
p

=
⎧
= ⎨
≠
⎩
x
 

( )
( )
( )
,
1,
;
;
e
e
e
q
p q
M
V
∀
=
∈
x
 

2) 
( )

( )
( )
( )

1
1  
.

e
M
e
e
p
p
N
V

=
=
∀ ∈
∑
x
x
 

Из 
свойства 
2 
следует, 
что 
( )
1,
 и 
e
E
i
r
V
∀ =
∀ ∈
x
 

( )
(
)

( )
( )

1
,
= 0,

e
M
e
p
i
p
N

=∑
x
 где Er  — размерность пространства 
;
Ε  запя
той с индексом обозначена операция дифференцирования по пространственным координатам 
.ix  

Аналитическая конструкция функций формы 
( )
( )
e
p
N
x  зависит 

от геометрии замкнутой области 
( ),
e
V
 числа узлов 
( )
e
M
 и их рас
положения, т. е. от координат 
( ).
e
p
x
 Конструкции функций формы 
некоторых простейших конечных элементов, которые часто используют для решения задач теории упругости, рассмотрены в 
разд. 2. 
В зависимости от решаемой задачи в качестве евклидова пространства Ε  могут рассматриваться пространства 
1,

2
и 
3.

Замкнутые области 
( ),
e
V
 на которых определяются конечные 
элементы, представляют собой, как правило, простейшие геометрические фигуры и тела: отрезки линий, треугольники, четырехугольники, тетраэдры, пирамиды, призмы, параллелепипеды и т. п. 
с прямыми или криволинейными сторонами (ребрами), а также 
тороидальные тела, образованные вращением вокруг заданной оси 
простейших геометрических фигур: треугольников, четырехугольников с прямыми или криволинейными сторонами.  
В литературе очень часто замкнутые области 
( )
e
V
 называют конечными элементами, при этом учитываются и расположение узлов 
в замкнутых областях 
( ),
e
V
 и тип заданных на них интерполяционных функций. Далее будем отождествлять замкнутую область 
( )
e
V
 
и определенный на ней конечный элемент ( ),
e  если это не  

не будет приводить к противоречию. На 
рис. 1.1 представлены типы простейших 
конечных элементов, рассмотренных 
ниже применительно к решению задач 
теории упругости. 
Аппроксимируем замкнутую область 
G
E
⊂
 
замкнутой 
областью 

,
h
G
E
⊂
 состоящей из объединения 
конечных элементов замкнутой области 
( ).
e
V
 При этом должны выполняться следующие условия: 

1) 
( )

1
,

e
K
e
h
e
G
V
=
=∪
 

где 
e
K  — число конечных элементов; 

2) 
( )
mes(
)
0,
i
V
G ≠
∩
  

1,
e
i
K
∀ =
 
( )
( )
int
;
i
i
V
V
=
  

( )
( )
mes(
)
0,
i
j
V
V
=
∩
,
1,
;
;
e
i j
K
i
j
∀
=
≠
 

3) 
( )
( )
( ),
i
j
ij
V
V
S
= ∅ ∨
∩
 

где 
( )i
V
и 
( )j
V
 — замкнутые области 

размерности ,r  где 
0,
r =
 если 
( )
ij
S
 — 

общая вершина; 
1,
r =
 если 
( )
ij
S
 — об
щее ребро; 
2,
r =
 если 
( )
ij
S
 — общая 

грань; ∅  — пустое множество; 
( )
ij
S
 — общая грань (вершина, ребро) 
для конечных элементов;  
4) узлы соседних конечных элементов совместны, т. е. если для 
элементов с номерами ( )i  и ( )j
( )
,
ij
S
∃
≠ ∅  то 
( )
( )
,
:
,
i
j
p
q
p q
∃
=
x
x
 

где 
{
}
( )
1, ...,
i
p
M
∈
 и 
{
}
( )
1,...,
j
q
M
∈
 — локальные номера узлов 

элементов с номерами соответственно ( )i  и ( );
j
 
5) 
узловые 
параметры 
соседних 
конечных 
элементов   
совместны, т. е. если для элементов с номерами 
( )i  и 

( )j
( )
( )
( )
,
:
,
i
j
ij
p
q
p q
S
∃
=
∈
x
x
 где 
{
}
( )
1, ...,
i
p
M
∈
 и 
{
}
( )
1, ...,
,
j
q
M
∈
 

Рис. 1.1. Типы конечных 
элементов:  
а – одномерный; б – двухмерный; в – трехмерный 

а 

б 

в 

то 
(
)
(
)
( )
( )
i
j
p
p
q
q
ϕ = ϕ
= ϕ
= ϕ
x
x
 и 
( )
ij
S
∀ ∈
x
 
( )
( )

( )
( )

1

i
M
i
p
p
p
N
=

ϕ
=
ϕ =
∑
x
x
 

( )

( )
( )

1
.

j
M
j
q
q
q
N

=
=
ϕ
∑
x
 

Выполнение условия 5 обеспечивает непрерывность интерполяционных соотношений (1.1) при переходе через общую грань 
соседних конечных элементов. 
Локальная нумерация узлов предполагает нумерацию (или 
обозначение буквами) только в пределах множества узлов, принадлежащих данному рассматриваемому элементу ( ),
e  в отличие 
от глобальной нумерации узлов, при которой нумеруются все узлы 
конечно-элементной модели, причем совместные узлы элементов 
нумеруются только один раз. Например, на рис. 1.1–1.3 в качестве 
локальной нумерации использовано обозначение узлов латинскими буквами, на рис. 1.2 и 1.3 приведены примеры глобальной нумерации узлов конечно-элементных моделей (номера конечных 
элементов обозначены цифрами в скобках). 

Рис. 1.2. Триангуляция прямоугольника 
 

Совокупность всех конечных элементов составляет конечноэлементную модель, или сетку конечных элементов области 
.
G  
 

Рис. 1.3. Разбиение параллелепипеда на пять конечных элементов 
 
Если замкнутая область G  имеет каноническую форму, то 
геометрическую аппроксимацию можно построить таким образом, 
что 
.
h
G
G
=
 В тех случаях, когда G  имеет криволинейную границу, из геометрических соображений следует очевидное асимптотическое соотношение 

 
 mes ((
) \ (
))
0,
h
h
G
G
G
G
→
∪
∩
        
 (1.2) 

если 
(
)
( )

1,
max mes
0
e

e

e
K
V
=
→
 при 
.
e
K → ∞  Это соотношение означает, 

что измельчение сетки конечных элементов позволит получить 
сколь угодно хорошую геометрическую аппроксимацию G  с помощью 
.
h
G   

3

5

6
7

8

3

3

6

6

6
7

5

8

8

3
8

1

2

3

4

6

8

5

3

k

k

k

k

k
l

l

l

l

l

O

1
x

2
x

3
x