Решение задач теории упругости методом конечных элементов

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
А.В. Котович, И.В. Станкевич 
 
 
 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
 
Рекомендовано  
Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2012 

УДК 519.3(075.8) 
ББК  22.161.8 
   К73 
 
Рецензенты: С.А. Агафонов, Ю.М. Темис 

 
 
Котович А.В. 
Решение задач теории упругости методом конечных 
элементов : учеб. пособие / А.В. Котович, И.В. Станкевич.  
– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 106, [6] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3567-8 

Приведены формулировки квазистационарных краевых задач 
теории упругости. Рассмотрены основные особенности построения 
численного решения этих задач с помощью метода конечных элементов. 

Для студентов 4-го курса факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
изучающих курс «Основы сеточных методов» и выполняющих 
курсовой проект по дисциплине «Математические модели 
технических систем». Может быть полезным студентам старших 
курсов других факультетов, изучающим численные методы решения 
краевых задач. 
Работа выполнена по гранту поддержки ведущих научных 
школ № НШ-4046.2010.8. 

УДК 519.3(075.8) 
           ББК 22.161.8 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3567-8                
 
   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 

К73 

ВВЕДЕНИЕ 

Математическое моделирование в настоящее время интенсивно 
развивается. Строятся усовершенствованные модели сложных физических 
явлений и процессов, конструируются новые численные 
алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты: 
поисковые, диагностические, оптимизационные. Дальнейшее 
интенсивное развитие методов математического моделирования 
как эффективного средства исследования сложных процессов 
деформирования является одной из актуальных проблем прикладной 
математики, поскольку открывает новые возможности развития 
всех основных разделов в такой важнейшей предметной области, 
как механика деформируемого твердого тела, значительно 
расширяет перспективы создания и практического использования 
систем автоматизированного проектирования.  
Велика роль математического моделирования и при решении 
прикладных задач теории упругости. Это особенно важно, поскольку 
математические построения и алгоритмические особенно-
сти, лежащие в основе решения задач теории упругости, при соот-
ветствующей модификации могут быть положены в основу реше-
ния сложных нелинейных задач деформирования, открывающих 
перспективы для проведения более полного и тонкого анализа 
напряженно-деформированного состояния ответственных узлов и 
элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому 
нагружению, и, таким образом, при получении данных для суще-
ственного уточнения оценки их реального ресурса и эксплуатаци-
онно-функциональных возможностей конструкций в целом. Ука-
занные обстоятельства являются важнейшими для модификации 
существующей техники и технологии и создания их новейших об-
разцов.  
Одним из основных инструментов математического моделиро-
вания, используемых для решения широкого круга разнообразных 
прикладных задач теории упругости, является метод конечных 
элементов (МКЭ) [1–5]. Широкому и успешному применению 
МКЭ способствовали его основные конструктивные свойства, 

например, такие, как естественность, простота, доступность, уни-
версальность и высокая технологичность. Этот метод позволяет 
проводить численный анализ напряженно-деформированного со-
стояния конструкций, имеющих сложную геометрическую форму, 
учитывать особенности граничных условий, теплофизических и 
физико-механических свойств материалов расчетных схем. Харак-
терной особенностью МКЭ является прозрачность основных вы-
числительных процедур, что дает возможность эффективно кон-
тролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически 
и программно весьма удобен для его объединения с современными 
методами и средствами компьютерной графики. 
В данном учебном пособии приведены основные формулиров-
ки одномерных, двухмерных, осесимметричных и трехмерных за-
дач теории упругости и рассмотрены особенности построения 
матричных выражений при решении указанных задач с помощью 
МКЭ. Материал учебного пособия изложен на примере использо-
вания линейных конечных элементов. 
В учебном пособии наряду с обычным обозначением векторов 
и матриц полужирным шрифтом использовано и матричное. Фи-
гурными скобками обозначены вектор-столбцы, например 

 
{ }

1

2

3

;
p
P
p
p

⎧
⎫

⎪
⎪
=
= ⎨
⎬

⎪
⎪
⎩
⎭

P
 

квадратными скобками — вектор-строки, например  

[ ] [
]
1
2
3 ,
N
N
N
N
=
=
N
  

и матрицы размером 
,
m
n
×
 например 

[
]
11
12
13

21
22
23
=
;
h
h
h
H
h
h
h

⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎣
⎦
H
 

cимволом ( )T — операция транспонирования матричного выраже-
ния, стоящего в скобках. 
При этом известно, что каждому симметричному тензору 2-го 
ранга 
ij
i
j
T
t
=
⊗
e
e  (рассматривается декартова прямоугольная си-
стема координат; по повторяющимся латинским индексам прово-

дится суммирование от 1 до 3, а по греческим — нет) можно по-
ставить в соответствие шестимерный вектор 
.
i
i
p
=
P
e  Такое соот-
ветствие можно установить с помощью замены пар индексов ij  
(
)
,
1, 3
i j =
 одним индексом α  (
)
1, 6
α =
 согласно следующему 

правилу:  

1
11,
p
t
=
 
2
22,
p
t
=
 
3
33,
p
t
=
 
4
12,
p
t
=
 
5
13,
p
t
=
 
6
23.
p
t
=
 
 

1. ПОНЯТИЕ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА 

Прежде всего определим понятие конечного элемента. Под ко-
нечным элементом будем понимать объект ( ),
e  характеризуемый 
занимаемой им в евклидовом пространстве Ε  замкнутой областью 

( ),
e
V
 координатами узлов 
( )
( )
e
e
p
V
∈
x
 и интерполяционными функ-
циями вида 

 
( )
( )
{
}

( )
( )
( )
( )
( )
( )

1
,

e
M
e
e
e
e
e
p
p
p
N
N

=
⎡
⎤
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
⎣
⎦
∑
x
x
  
     (1.1) 

где 
( )
( )
e
ϕ
x  — интерполируемая в замкнутой области 
( )
e
V
Ε
⊂
 

функция; ( )
e  — идентификационная метка конечного элемента; 

( )
e
M
 — число узлов конечного элемента ( );
e
 p  — номер (ло-

кальный) узла конечного элемента ( );
e
( )
( )
e
p
N
x – достаточно глад-
кие линейно независимые функции, везде далее называемые функ-
циями формы конечного элемента ( );
e
( )
e
p
ϕ
– значения функции в 

узлах конечного элемента ( ),
e
 

(
)
( )
( )
( )
;
e
e
e
p
p
ϕ
= ϕ
x
{
}

( )

( )
1
( )
2
( )

( )
e

e

e
e

e
M

⎧
⎫
ϕ

⎪
⎪

⎪
⎪
ϕ
ϕ
= ⎨
⎬

⎪
⎪

⎪
⎪
ϕ
⎩
⎭

 

– вектор-столбец, составленный из узловых значений 
( );
e
p
ϕ
 
( )
e
N
⎡
⎤
⎣
⎦  — 

матрица (строка), составленная из значений функций формы 
(
)

( )
( ) .
e
e
p
N
x
 

Из формулы (1.1) следуют очевидные свойства функций формы: 

1) 
(
)
( )
( )
1,
;  
0,
,

e
e
p
q
q
p
N
q
p

=
⎧
= ⎨
≠
⎩
x
 

( )
( )
( )
,
1,
;
;
e
e
e
q
p q
M
V
∀
=
∈
x
 

2) 
( )

( )
( )
( )

1
1  
.

e
M
e
e
p
p
N
V

=
=
∀ ∈
∑
x
x
 

Из 
свойства 
2 
следует, 
что 
( )
1,
 и 
e
E
i
r
V
∀ =
∀ ∈
x
 

( )
(
)

( )
( )

1
,
= 0,

e
M
e
p
i
p
N

=∑
x
 где Er  — размерность пространства 
;
Ε  запя-

той с индексом обозначена операция дифференцирования по про-
странственным координатам 
.ix  

Аналитическая конструкция функций формы 
( )
( )
e
p
N
x  зависит 

от геометрии замкнутой области 
( ),
e
V
 числа узлов 
( )
e
M
 и их рас-

положения, т. е. от координат 
( ).
e
p
x
 Конструкции функций формы 
некоторых простейших конечных элементов, которые часто ис-
пользуют для решения задач теории упругости, рассмотрены в 
разд. 2. 
В зависимости от решаемой задачи в качестве евклидова про-
странства Ε  могут рассматриваться пространства 
1,

2
и 
3.

Замкнутые области 
( ),
e
V
 на которых определяются конечные 
элементы, представляют собой, как правило, простейшие геомет-
рические фигуры и тела: отрезки линий, треугольники, четырех-
угольники, тетраэдры, пирамиды, призмы, параллелепипеды и т. п. 
с прямыми или криволинейными сторонами (ребрами), а также 
тороидальные тела, образованные вращением вокруг заданной оси 
простейших геометрических фигур: треугольников, четырехуголь-
ников с прямыми или криволинейными сторонами.  
В литературе очень часто замкнутые области 
( )
e
V
 называют ко-
нечными элементами, при этом учитываются и расположение узлов 
в замкнутых областях 
( ),
e
V
 и тип заданных на них интерполяцион-
ных функций. Далее будем отождествлять замкнутую область 
( )
e
V
 
и определенный на ней конечный элемент ( ),
e  если это не  

не будет приводить к противоречию. На 
рис. 1.1 представлены типы простейших 
конечных элементов, рассмотренных 
ниже применительно к решению задач 
теории упругости. 
Аппроксимируем замкнутую об-
ласть 
G
E
⊂
 
замкнутой 
областью 

,
h
G
E
⊂
 состоящей из объединения 
конечных элементов замкнутой обла-
сти 
( ).
e
V
 При этом должны выполнять-
ся следующие условия: 

1) 
( )

1
,

e
K
e
h
e
G
V
=
=∪
 

где 
e
K  — число конечных элементов; 

2) 
( )
mes(
)
0,
i
V
G ≠
∩
  

1,
e
i
K
∀ =
 
( )
( )
int
;
i
i
V
V
=
  

( )
( )
mes(
)
0,
i
j
V
V
=
∩
,
1,
;
;
e
i j
K
i
j
∀
=
≠
 

3) 
( )
( )
( ),
i
j
ij
V
V
S
= ∅ ∨
∩
 

где 
( )i
V
и 
( )j
V
 — замкнутые области 

размерности ,r  где 
0,
r =
 если 
( )
ij
S
 — 

общая вершина; 
1,
r =
 если 
( )
ij
S
 — об-

щее ребро; 
2,
r =
 если 
( )
ij
S
 — общая 

грань; ∅  — пустое множество; 
( )
ij
S
 — общая грань (вершина, ребро) 
для конечных элементов;  
4) узлы соседних конечных элементов совместны, т. е. если для 
элементов с номерами ( )i  и ( )j
( )
,
ij
S
∃
≠ ∅  то 
( )
( )
,
:
,
i
j
p
q
p q
∃
=
x
x
 

где 
{
}
( )
1, ...,
i
p
M
∈
 и 
{
}
( )
1,...,
j
q
M
∈
 — локальные номера узлов 

элементов с номерами соответственно ( )i  и ( );
j
 
5) 
узловые 
параметры 
соседних 
конечных 
элементов   
совместны, т. е. если для элементов с номерами 
( )i  и 

( )j
( )
( )
( )
,
:
,
i
j
ij
p
q
p q
S
∃
=
∈
x
x
 где 
{
}
( )
1, ...,
i
p
M
∈
 и 
{
}
( )
1, ...,
,
j
q
M
∈
 

Рис. 1.1. Типы конечных 
элементов:  
а – одномерный; б – двухмер-
ный; в – трехмерный 

а 

б 

в 

то 
(
)
(
)
( )
( )
i
j
p
p
q
q
ϕ = ϕ
= ϕ
= ϕ
x
x
 и 
( )
ij
S
∀ ∈
x
 
( )
( )

( )
( )

1

i
M
i
p
p
p
N
=

ϕ
=
ϕ =
∑
x
x
 

( )

( )
( )

1
.

j
M
j
q
q
q
N

=
=
ϕ
∑
x
 

Выполнение условия 5 обеспечивает непрерывность интерпо-
ляционных соотношений (1.1) при переходе через общую грань 
соседних конечных элементов. 
Локальная нумерация узлов предполагает нумерацию (или 
обозначение буквами) только в пределах множества узлов, при-
надлежащих данному рассматриваемому элементу ( ),
e  в отличие 
от глобальной нумерации узлов, при которой нумеруются все узлы 
конечно-элементной модели, причем совместные узлы элементов 
нумеруются только один раз. Например, на рис. 1.1–1.3 в качестве 
локальной нумерации использовано обозначение узлов латински-
ми буквами, на рис. 1.2 и 1.3 приведены примеры глобальной ну-
мерации узлов конечно-элементных моделей (номера конечных 
элементов обозначены цифрами в скобках). 

Рис. 1.2. Триангуляция прямоугольника 
 

Совокупность всех конечных элементов составляет конечно-
элементную модель, или сетку конечных элементов области 
.
G  
 

Рис. 1.3. Разбиение параллелепипеда на пять конечных элементов 
 
Если замкнутая область G  имеет каноническую форму, то 
геометрическую аппроксимацию можно построить таким образом, 
что 
.
h
G
G
=
 В тех случаях, когда G  имеет криволинейную грани-
цу, из геометрических соображений следует очевидное асимпто-
тическое соотношение 

 
 mes ((
) \ (
))
0,
h
h
G
G
G
G
→
∪
∩
        
 (1.2) 

если 
(
)
( )

1,
max mes
0
e

e

e
K
V
=
→
 при 
.
e
K → ∞  Это соотношение означает, 

что измельчение сетки конечных элементов позволит получить 
сколь угодно хорошую геометрическую аппроксимацию G  с по-
мощью 
.
h
G   

3

5

6
7

8

3

3

6

6

6
7

5

8

8

3
8

1

2

3

4

6

8

5

3

k

k

k

k

k
l

l

l

l

l

O

1
x

2
x

3
x