Расчет плоских рам методом перемещений

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 
 
 

 

 
А.Е. Белкин, Н.Л. Нарская 

 

 

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ  

МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

по дисциплинам «Сопротивление материалов»,  

«Строительная механика машин» 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2013 

УДК 539.3(075.8) 
ББК 30.121 
        Б43 

Рецензенты: В.И. Усюкин, В.П. Чирков 

Белкин А. Е. 
Б43 
Расчет плоских рам методом перемещений : учеб. пособие /  

 
А. Е. Белкин, Н. Л. Нарская. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, 2013. – 29, [3] с.  : ил. 

ISBN 978-5-7038-3750-4 

Изложены основные положения метода перемещений, подроб-
но рассмотрено применение этого метода к расчету плоских рам, 
приведены примеры расчета рам. 
Для студентов машиностроительных специальностей, изуча-
ющих дисциплины «Сопротивление материалов», «Строительная 
механика машин». 
УДК 539.3(075.8) 
                                                                                        ББК 30.121 

Учебное издание 
 
Белкин Александр Ефимович 
Нарская Наталия Лазаревна 
 

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ  

МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

Редактор  С.А. Серебрякова 
Корректор О.Ю. Соколова 
Компьютерная верстка  А.Ю. Ураловой 

Подписано в печать 20.08.2013. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Изд. № 127. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская  ул., д. 5, стр. 1. 

ISBN 978-5-7038-3750-4 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 

ВВЕДЕНИЕ 

В курсе «Сопротивление материалов» традиционно излагается 
метод сил как универсальный способ расчета статически неопре-
делимых стержневых систем. Признавая важность изучения мето-
да сил в формировании представлений будущего инженера о рас-
четах конструкций на прочность, необходимо учитывать, что в 
современной расчетной практике доминирует альтернативный 
подход, называемый методом перемещений. Именно метод пере-
мещений стал историческим предшественником наиболее мощно-
го современного метода анализа напряженного состояния кон-
струкций – метода конечных элементов (МКЭ). Применению 
МКЭ способствует широкое распространение индустриальных 
программных комплексов, реализующих этот метод. Студенты 
старших курсов инженерных вузов, выполняя расчетные работы 
по специальным дисциплинам, часто используют программы 
МКЭ и поэтому испытывают потребность в знании основ этого 
метода.  
По мнению авторов учебного пособия, одним из наилучших 
способов раннего ознакомления с идеями МКЭ и подготовки к его 
применению является изучение расчета стержневых систем методом 
перемещений. 
В пособии изложение метода перемещений ограничено задачей 
изгиба плоских рам, однако читателю, изучившему основные 
положения и технику применения этого метода, весьма легко распространить 
знания на другие задачи расчета стержневых систем. 
Плоские рамы являются наиболее подходящим объектом для иллюстрации 
идей метода перемещений, поскольку в случае сложных 
рамных конструкций преимущества метода становятся особенно 
очевидными. Это обстоятельство повышает интерес и мотивацию 
к освоению метода перемещений. 

Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных 
специальностей, изучающих дисциплины «Сопротивление 
материалов», «Строительная механика машин». 

1. ИДЕЯ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ  
МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

В методе сил в качестве основных неизвестных, через которые 
выражаются все искомые величины, принимают или реакции 
связей, или внутренние силы в некоторых сечениях конструкции. 
Для расчета сложных (много раз статически неопределимых) си-
стем разработан альтернативный подход, называемый методом 
перемещений. В методе перемещений за основные неизвестные 
принимают перемещения характерных сечений или узлов кон-
струкции. Эти перемещения выбирают так, чтобы через них мож-
но было выразить все искомые величины: деформации, внутрен-
ние силы, напряжения во всем объеме конструкции. 
Рассмотрим идею и технику метода перемещений на примере 
расчета плоских рам. Так же, как в методе сил, будем пренебре-
гать изменением длин стержней, считая их нерастяжимыми. Рас-
смотрим простейший пример (рис.1).  

Рис. 1 

Деформированное состояние рамы определяется одним углом 
поворота 
1u . Если угол поворота 
1u  определен, то известны про-

гибы стержней и, следовательно, внутренние силы. Чтобы рассчи-
тать раму, достаточно предварительно решить вспомогательную 
задачу о деформациях балки при принудительном повороте тор-
цевого сечения на угол, равный единице (рис. 2).  
Момент, необходимый для со-
здания единичного угла поворота 
торца, обозначим 
11
k . В дальней-
шем коэффициент 
11
k , значение 
которого зависит от параметров 
балки, будем называть жестко-
стью балки при перемещении по направлению 1. 
Используя свойство линейности упругой системы, запишем 
очевидное уравнение 

 


(1)
(2)
(3)
1
11
11
11
,
u
M
k
k
k



 
(1) 

из которого определяется угол поворота. Верхний индекс коэф-
фициентов 
11
k  указывает номер балки. 
Рассмотренный пример особенно прост потому, что нагрузка 
приложена к узлу рамы. 
Рассмотрим чуть более сложную задачу (рис. 3). Теперь на 
раму действует внеузловая нагрузка. 

Рис. 3 

Деформированное состояние каждой балки определяется су-
перпозицией двух состояний. Первое состояние – это прогибы 
балки, обусловленные перемещениями ее концевых сечений  

 

Рис. 2 

(в рассматриваемой задаче – углом поворота 
1u ). Второе состоя-
ние – это прогибы от внешней нагрузки, приложенной непосред-
ственно к балке, при отсутствии перемещений концевых сечений. 
Таким образом, приходим к необходимости решения второй 
вспомогательной задачи о деформациях балки с жестко защем-
ленными торцами при действии внешней силы (рис. 4). 
Возникает вопрос: как фор-
мализовать процедуру расчета? 
Для формализации вводится по-
нятие основной системы метода 
перемещений.  
Основная система метода 
перемещений образуется из за-
данной путем введения дополнительных связей, устраняющих 
подвижности узлов.  
Запретим поворот узла рамы, поставив заделку (рис. 5). Эту 
заделку будем называть «плавающей». «Плавающая» заделка за-
прещает поворот, не ограничивая линейных перемещений. При 
необходимости линейные перемещения узлов устраняются путем 
установки катков.  

Рис. 5 

Теперь рама поделена на три балки одного типа: балки с за-
делками по торцам, которые не взаимодействуют друг с другом. 
Балку с жестко защемленными торцами будем называть типовым 
элементом плоских рам. Различные виды деформации типового 
элемента могут быть изучены заранее до расчета рассматриваемой 
рамы. 

 

Рис. 4 

Предположим, что вспомогательные задачи о деформациях 
типового элемента решены. 
Рассмотрим состояние основной системы под действием 
внешних сил (рис. 6). Это состояние условно будем называть со-
стоянием F. 

Рис. 6 

Основываясь на решении задачи, схема которой показана на 
рис. 4, найдем реактивный момент в дополнительной заделке: 

 
(1)
(2)
1
1
1 ,
F
F
F
k
k
k


 
 (2) 

где 
(1)
1F
k
, 
(2)
1F
k
 – моменты, возникающие в заделке при нагружении 
соответственно первой и второй балок.  
Реакцию дополнительной связи будем считать положитель-
ной, если ее направление совпадает с направлением положитель-
ного перемещения. Таким образом, положительные направления 
узловых перемещений и узловых реакций согласованы. 
Очевидно, что для рамы, показанной на рис. 6, 1
0
F
k

. 
Далее рассмотрим состояние основной системы при повороте 
плавающей заделки на угол, равный единице (рис. 7). Это состоя-
ние назовем 1.  
Вычислим реактивный момент в заделке или, что то же самое, 
момент, приложенный к узлу для получения единичного угла по-
ворота. Этот момент определяется сложением моментов для от-
дельных балок: 

 
(1)
(2)
(3)
11
11
11
11 .
k
k
k
k



 
 (3) 

Рис. 7 

В линейно упругих системах внутренние силы и реакции свя-
зей пропорциональны перемещениям, поэтому при угле поворота 

1u  момент будет равен 
11 1
k u . 
Составим выражение для полного реактивного момента в до-
полнительной заделке, складывая его значения в двух рассмот-
ренных состояниях. Полный реактивный момент равен нулю, так 
как в действительности дополнительная связь отсутствует: 

 
11 1
1
0.
F
k u
k


 
(4) 

Уравнение (4) называется каноническим уравнением метода 
перемещений. Еще раз подчеркнем, что смысл этого уравнения – 
отсутствие реакции дополнительной связи. Иначе говоря, это 
условие равновесия моментов в узле рамы, выраженное через пе-
ремещение. 
Из уравнения (4) определяется угол поворота 
1u , а далее все 
внутренние силовые факторы в раме. 
Ниже рассматривается более сложная для расчета рама (рис. 8), 
степень кинематической неопределимости которой равна двум. 
Искомыми являются углы поворота 
1u , 
2
u  двух узлов рамы. 
Образуем основную систему метода перемещений (рис. 9), за-
претив повороты путем жесткого защемления узлов.  
Чтобы составить канонические уравнения метода перемещений, 
последовательно рассмотрим три состояния основной системы: 
 состояние F (рис. 10), возникающее при действии заданных 
внешних сил; 
 состояние 1 (рис. 11), возникающее при единичном угле по-
ворота первого узла; 

 состояние 2 (рис. 12), возникающее при единичном угле по-
ворота второго узла. 
 

 

Рис. 8 
Рис. 9 

Для каждого состояния вычислим реакции дополнительных 
связей. 
 

 

Рис. 10 
Рис. 11 

Реакции 
сопровождаются 
двумя индексами. Первый индекс 
указывает номер дополнительной 
связи или, что то же 
самое, номер направления реакции (
номер запрещенного узлового 
перемещения или степени 
свободы). Второй индекс указывает 
причину появления реакции. 

Реакции 
при 
действии 
внешних сил обозначаются 
1F
k
, 

2F
k
 и т.д. Реакции при единичных 
перемещениях узлов обозначаются 
,

i j
k
 где индекс j указывает направление единичного 

перемещения. Таким образом, 
i j
k
 – реакция i-й связи (в направлении 
i) при единичном перемещении j-й связи (в направлении j). 
Реакции 
i j
k
 называют коэффициентами жесткости конструкции.  

Подчеркнем, что конкретное определение реакций 
iF
k
, 
i j
k
 

основано на предварительном решении ряда вспомогательных 
задач для типового элемента рам (см. рис. 2, 4), которые будут 
рассмотрены ниже. 
Используя принцип суперпозиции, составим выражения для 
истинных значений реакций дополнительных связей: 

 
11 1
12 2
1

21 1
22 2
2

0;

0.

F

F

k u
k u
k

k u
k u
k








 
(5) 

Канонические уравнения метода перемещений (5) целесообразно 
записывать в матричной форме: 

 
[
]{ } {
}
0,
F
K
u
K


 
 (6) 

где [
]
[
]
i j
K
k

 – квадратная матрица жесткости конструкции, 

{ }
{
}
j
u
u

 – матрица-столбец (вектор) искомых узловых перемещений; {
}
{
}

F
iF
K
k

 – матрица-столбец реакций от внешних сил. 

 
Рис. 12