Исследование операций и принятие решений в экономике

ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÎÏÅÐÀÖÈÉ
È ÏÐÈÍßÒÈÅ ÐÅØÅÍÈÉ
 ÝÊÎÍÎÌÈÊÅ

Ðåêîìåíäîâàíî ÓÌÎ ïî îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ôèíàíñîâ, ó÷åòà
è ìèðîâîé ýêîíîìèêè â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ
(óðîâåíü ïîäãîòîâêè — áàêàëàâð)

ÑÁÎÐÍÈÊ ÇÀÄÀ× È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÉ

Â.Ï. Íåâåæèí, Ñ.È. Êðóæèëîâ,
Þ.Â. Íåâåæèí

2020
38.03.01 «Экономика»

сква: о-

Введение

Современный экономист должен не только хорошо разбираться в
вопросах моделирования экономических ситуаций, явлений и процессов, протекающих в реальных условиях, но и своевременно принимать оптимальные управленческие решения. В настоящее время в
российских экономических вузах достаточно много имеется дисциплин, в том числе и по выбору, в которых в основном теоретически
рассматриваются вопросы принятия решений. Но рынок труда сегодня требует не только и не столько теоретических знаний от окончивших вуз, а больше практических навыков в области математики и
экономики, навыками построения экономикоматематических моделей, знания компьютерных технологий, подходов и методов к решению задач. Тем самым в процессе обучения в вузе студенту необходимо приобрести практические навыки по постановке экономической
задачи, переводу ее на математический язык, освоить и понять ее решение общеизвестными методами, провести анализ получаемых решений и принять решение по применению того или иного метода или
выбрать соответствующее решение по применению полученных результатов.
Предлагаемый сборник задач как раз и ориентирован на получение практических навыков в изучении вопросов принятия решений. В
нем каждый из рассматриваемых разделов сопровождается краткими
теоретическими сведениями, подробным разбором примеров, а затем
перечнем заданий для самостоятельного решения. В конце сборника
приведены результаты решения большей части представленных в нем
задач, что позволяет студентам самостоятельно провести проверку полученного результата решения и дать самооценку своим знаниям. Это
особенно важно, так как в последнее время во многих экономических
вузах большое внимание стало уделяться самостоятельной работе студентов, и данный сборник может оказать в этом огромную помощь не
только студентам, но преподавателям, ведущим теоретические и практические занятия со студентами.

Предложенная структура сборника задач позволяет эффективно
использовать его в качестве методического пособия не только для
студентов, обучающихся по очной и очнозаочной (вечерней) формам обучения, но и для заочной и дистанционной.
Большое число примеров и заданий для самостоятельной работы
преследует цель выработать у студентов навыки практической работы
с моделями для генерирования обоснованных управленческих решений, предполагающих целенаправленное воздействие на развитие исследуемой экономической системы.
В сборнике задач подобраны и систематизированы примеры и задачи по таким разделам курса, как линейному, нелинейному и динамическому программированию; системам массового обслуживания;
теории игр и принятию решений; балансовым методам; сетевому моделированию; моделям управления запасами и др.
Сборник задач подготовлен авторским коллективом преподавателей кафедры «Математическое моделирование экономических процессов» Финансового университета при Правительстве Российской
Федерации.

Авторы выражают глубокую благодарность проф. А.П. Еремееву и
доценту С.А. Посашкову за рецензирование рукописи и сделанные
ими замечания.

4
Введение

Глава 1
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1.1. Общая постановка задачи линейного
программирования

В общем виде оптимизационная задача записывается как

Z = F(X) → max (min); X ∈U,
(1.1.1)

где Х = (x1, x2, ..., xn);
U — область допустимых значений переменных x1, x2, ..., xn;
F(X) — целевая функция.
Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее
оптимальное решение X *, т. е. указать X *∈U такое, что F(X *) ≥ F(X)
при любом Х ∈U.
Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не
имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция F(X) не ограничена сверху на
допустимом множестве U.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида
целевой функции F(X), так и от строения допустимого множества U.
Если целевая функция в задаче является функцией п переменных,
то методы решения называют методами математического программирования.
В математическом программировании выделяют следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции F(X) и от области U:

• задачи линейного программирования (ЗЛП), если F(X ) и ограничения линейны;

• задачи целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП),
если ставится условие целочисленности переменных x1, x2, ...,
xn;

• задачи нелинейного программирования, если форма F(X) носит
нелинейный характер.
Задача линейного программирования имеет вид:

F X
c x
j
j

n

j
(
)
max(min)
=
→

=∑
1
;
(1.1.2)

a x
b
ij
j

n

j
i
=∑
=

1
,
i = k + 1, k + 2, ..., m;
k ≤ m;
(1.1.3)

a x
b
ij
j

n

j
i
=∑
≤

1
,
i = 1, 2, ..., k;
(1.1.4)

xj ≥ 0,
j = 1, ..., n.
(1.1.5)

При этом система линейных уравнений (1.1.3) и неравенств
(1.1.4)—(1.1.5), определяющая допустимое множество решений задачи U, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция F(X) называется целевой функцией, или
критерием оптимальности.

1.2. Задачи на построение математической модели ЗЛП

Построение экономикоматематических моделей задач линейного программирования рассмотрим на конкретных примерах.

1.2.1. Задача на определение оптимального ассортимента
продукции

Пример 1. Предприятие изготавливает два вида продукции — П1
и П2, которая поступает в продажу. Для производства продукции используются два вида ресурсов (сырья) — А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 10 и 15 единиц, соответственно.
Расход сырья на единицу каждой продукции приведен в табл. 1.2.1.

6
Глава 1. Линейное программирование

Известно также, что суточный спрос на продукцию П1 никогда
не превышает спроса на продукцию П2 более чем на 2 ед., а спрос на
продукцию П2 никогда не превышает 3 ед. в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равны: 4 д. е. — для П1, и
5 д. е. для П2.
Какое количество продукции каждого вида должно производить
предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы.
1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т. е. как идентифицировать переменные данной задачи?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные,
чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?
Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так: фирме требуется определить объемы
производства каждого вида продукции в у.е., максимизирующие доход в д. е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и
расход исходных продуктов.
Для построения математической модели необходимо идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.
Обозначим через х1 количество единиц продукции П1, а через х2 — соответственно единиц продукции П2, которые производит
предприятие. Так как производство продукции П1 и П2 ограничено
имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и
спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество из1.2. Задачи на построение математической модели ЗЛП
7

Таблица 1.2.1

Ресурсы
Расходы сырья на 1 ед. продукции
Запас сырья, ед.
П1
П2

А
1
2
10

В
3
2
15

готовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

x1 + 2x2 ≤ 10;

3х1 + 2х2 ≤ 15;

x1 − x2 ≤ 2;

x2 ≤ 3;

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

Доход от реализации x1 единиц продукции П1 и x2 единиц продукции П2 составит F = 4x1 + 5x2.
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных
неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает
максимальное значение.
Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в них могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.

Пример 2. Для выпуска трех видов продукции требуются затраты
сырья, электроэнергии и оборудования. Исходные данные приведены
в табл. 1.2.2.

Таблица 1.2.2

Тип ресурсов
Расход ресурсов на 1 ед. продукции
Наличие
ресурсов
1
2
3

Сырье
3
2
2
60

Электроэнергия
10
15
20
80

Оборудование
5
3
4
50

Выручка от реализации единицы
продукции
15
12
10

Необходимо определить, какое количество каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая выручка от реализации выпускаемой продукции была максимальной.

8
Глава 1. Линейное программирование

Для построения модели введем обозначения: х1 — количество изделий продукции 1, х2 — количество изделий продукции 2, х3 — количество изделий продукции 3.
Зная количество каждого ресурса, необходимое для изготовления
одной единицы продукции, и запасы этих ресурсов, можем составить
систему ограничений, определяющую область возможных значений
х1, х2 и х3.

3х1 + 2х2 + 2х3 ≤ 60;

10х1 + 15х2 + 20х3 ≤ 80;

5х1 + 3х2 + 4х3 ≤ 50.

Исходя из физического смысла на переменные налагаются дополнительные ограничения, требующие неотрицательности их значений (х1 = 0, х2 = 0 и х3 = 0, если соответствующая продукция не выпускается):

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0.

Тогда доход, получаемый предприятием от реализации х1 единиц
продукции 1, х2 единиц продукции 2 и х3 единиц продукции 3, составит:

F = 15х1 + 12х2 + 10х3.

В общем случае математическая модель такой задачи имеет следующий вид.
Найти вектор Х = (х1, х2, ..., хn), максимизирующий функцию

F = c1x1 + c2x2 + ... + cn xn
(1.2.1)

при ограничениях:

а11x1 + а12x2 + ..... + а1nxn ≤ b1;

а21x1 + а22x2 + ..... + а2nxn ≤ b2;
(1.2.2)

...............................................

am1x1 + аm2x2 + ..... + аmnxn ≤ bm;

xj ≥ 0, j = 1, ... , n.
(1.2.3).

1.2. Задачи на построение математической модели ЗЛП
9

1.2.2. Задача на использование мощностей оборудования

Предприятие имеет т моделей машин различных мощностей.
Задан план по времени и номенклатуре: Тi — время работы каждой
машины; продукции jго вида должно быть выпущено не менее Nj
единиц.
Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы
обеспечить минимальные затраты на производство, если известны
производительность каждой iй машины по выпуску jго вида продукции bij и стоимость единицы времени, затрачиваемого iй машиной на выпуск jго вида продукции cij. Тем самым требуется определить время работы iй машины по выпуску jго вида продукции xij,
обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин Т и заданному
количеству продукции Nj.
Так как требуется определить минимальные затраты на производство, целевая функция будет:

Z
c x
ij
j

n

ij
i

m
=
→

=
= ∑
∑
1
1
min.
(1.2.4)

Так как по условию задачи машины работают заданное время Т,
то данное ограничение можно записать в виде:

x
T
i
m
ij
j

n

i
=∑
=
=

1
1 2
,
,
, ...,
.
(1.2.5)

Ограничение по заданному количеству продукции будет записано
в виде:

b x
N
j
n
ij
ij
i

m

j
=∑
≥
=

1
1 2
,
,
, ...,
.
(1.2.6)

Пример 1. Предприятие должно за время Т выполнить план по
производству двух видов изделий Р1 и Р2. При этом для производства
каждого вида изделий может быть использовано оборудование двух
групп A1 и А2 (т = 2). Производительность каждого вида оборудования различна и задается величиной aij, стоимость единицы времени
работы оборудования при изготовлении одной единицы продукции
выражается величиной bij, i = 1, 2; j = 1, 2.
Требуется составить оптимальный план работы групп оборудования, при котором будет выполнен план выпуска продукции с мини10
Глава 1. Линейное программирование