Расчет балок и рам методом сил в комплексе Mathcad

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 

 
Г. В. Мартьянова,  
О. А. Одинцов, Т. Б. Подкопаева  
 
Расчет балок и рам  
методом сил 
в комплексе Mathcad 
 
 
 
Методические указания к выполнению домашних заданий  
по курсу «Сопротивление материалов» 
 
 
 
Под редакцией А. Е. Белкина 

 

 
 
Москва  

2014 

УДК 531.21 (519.67) 
ББК 30.121 
М29 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book92.html 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 

Кафедра «Прикладная механика» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Робототехника и комплексная  
автоматизация» МГТУ им. Н. Э. Баумана 

Рец ен зен т д-р техн. наук, профессор Б. С. Сарбаев 

 
Мартьянова Г. В. 
  
 
Расчет балок и рам методом сил в комплексе Mathcad : 
метод. указания к выполнению домашних заданий по курсу «Сопротивление материалов» / Г. В. Мартьянова, О. А. Одинцов,  
Т. Б. Подкопаева ; под ред. А. Е. Белкина. — М. : Изд-во МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2014. — 51, [5] c. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3926-3 

Рассмотрена общая процедура расчета балок и рам методом сил, описана работа в комплексе Mathcad. Дано решение 
ряда статически неопределимых задач курса «Сопротивление 
материалов» с использованием метода сил в классической постановке и привлечением современных вычислительных 
средств. В приложениях приведены листинги расчетов в комплексе Mathcad для рассмотренных примеров. 
Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, изучающих курс 
«Сопротивление материалов».  
 
УДК 531.21 (519.67) 
ББК 30.121 
 
 
 
 

 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3926-3  
 
 
       МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

 М29

ВВЕДЕНИЕ 

Как известно из курса «Сопротивление материалов», решение 
статически неопределимой задачи статики методом сил приводит к 
системе линейных уравнений c коэффициентами, имеющими 
смысл податливостей и определяемыми, в соответствии с теоремой Кастилиано, путем вычисления интегралов Мора. 
Традиционно для вычисления интегралов Мора используется 
правило Верещагина, позволяющее избежать представления подынтегральных функций в аналитическом виде, что было бы крайне неудобно при ручном счете. Однако современные вычислительные 
системы способны устранить основные трудности расчета громоздких выражений и во многих случаях упрощают решение подобных 
задач, сохраняя при этом точность аналитических вычислений в результате использования средств символьной математики. Применение вычислительных комплексов также позволяет значительно 
упростить решение самой системы уравнений метода сил. 
В методических указаниях приведено описание решения ряда 
статически неопределимых задач по курсу «Сопротивление материалов», в которых используется метод сил в классической постановке, но с привлечением современных вычислительных средств. 
При составлении канонической системы уравнений метода сил 
используются аналитические выражения для внутренних моментов, получаемые как результат применения метода сечений. Формирование подынтегральных выражений, выполнение интегрирования и решение канонической системы уравнений выполняется с 
использованием широко распространенной системы компьютерной алгебры Mathcad. Методические указания будут полезны для 
студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов» и желающих расширить свои познания в области современных вычислительных комплексов компьютерной алгебры. 

 
 

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА СИЛ 

Статически неопределимыми стержневыми системами называют системы, внутренние силовые факторы в которых нельзя 
определить только с помощью уравнений равновесия (статики). 
Для решения таких систем широко применяется метод сил. 
Суть метода сил заключается в том, что заданную статически 
неопределимую систему освобождают от дополнительных связей, 
как внешних, так и взаимных, а их действие заменяют неизвестными силовыми факторами, где n — степень статической неопределимости. Значения этих силовых факторов находят из условия 
равенства нулю перемещений в направлении отброшенных лишних связей. Математически эти условия выражаются системой линейных алгебраических уравнений, так называемых канонических 
уравнений метода сил: 

 

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

1
1
2
2
1

 
 0; 

 0;

.............................................................
 
 0,

n
n
P

n
n
P

n
n
nn
n
P

X
X
X

X
X
X

X
X
X

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

 
(1.1) 

где 
 
ij
Δ
 — перемещение в направлении силового фактора 
i
X , воз
никающее под воздействием j-го единичного фактора (коэффициент податливости), причем 
  
ij
ji
Δ
= Δ ; 
iP
Δ
 — перемещение в 

направлении силового фактора Xi, возникающее под воздействием 
внешней нагрузки. 
Очевидно, что число уравнений, входящих в систему (1.1), равно 
степени статической неопределимости n рассматриваемой задачи. 
Коэффициенты податливости 
ij
Δ
 будем вычислять с помощью 

интегралов Мора: 

к
к

к

                       
, 

i
j
xi
xj
yi
yj
ij
x
y

i
j
x
xi
xj
y
yi
yj

M M dZ
M M dZ
M M dZ

GI
EI
EI

N N dZ
k Q Q dZ
k Q Q dZ

EA
GA
GA

=
Δ
+
+
+

+
+
+

∫
∫
∫

∫
∫
∫

 

(1.2)

 

где 
к , 
, . . . 
i
xi
M
M
 — внутренние моменты и силы, возникающие 
под воздействием i-го единичного фактора; 
к , 
,  . . .
j
xj
M
M
 — внут
ренние моменты и силы, возникающие под воздействием j-го единичного фактора; 
к , 
,  . . .    
P
xP
M
M
— внутренние моменты и силы, 
возникающие от внешней нагрузки. 
В методических указаниях даны примеры расчета стержневых 
систем, работающих на изгиб и кручение. Перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рассматриваемых систем, 
значительно превышают перемещения растяжения и сдвига, поэтому в выражении (1.2) последними тремя интегралами будем 
пренебрегать. 
Интегралы Мора, входящие в выражения для подсчета коэффициентов канонических уравнений вида (1.2), будем рассчитывать с использованием вычислительного комплекса символьной 
математики Mathcad. 
Заметим, что для балок и плоских рам при определении неизвестных из системы (1.1) жесткость сечения на изгиб 
,
x
EI
 входящая в коэффициенты (1.2), может быть опущена.  Что же касается 
расчета плоскопространственных рам, то при вычислении коэффициентов (1.2) канонических уравнений достаточно найти связь 
между жесткостями поперечного сечения на кручение 
к
GI  и изгиб 
,
x
EI
 а именно 

 
к
кр
.
x

GI
a
EI
=
 

В методических указаниях рассматриваются стержневые системы, которые находятся в условиях простого нагружения, т. е. 
все внешние нагрузки прямо пропорциональны одному параметру 
(например, q). При численной реализации этот параметр можно 
принять равным единице. Полученные при раскрытии статической 

неопределимости искомые неизвестные будут прямо пропорциональны этому параметру. 
Особенности решения, связанные с расчетом балок, плоских и 
плоскопространственных рам, будут рассмотрены на примерах. 

2. РАБОТА В КОМПЛЕКСЕ MATHCAD 

Программный комплекс Mathcad представляет собой систему 
компьютерной алгебры, ориентированную на начинающих пользователей ЭВМ. Особенностью этой системы является использование графического режима ввода выражений, позволяющего приблизить их внешний вид к традиционной математической форме 
записи. Mathcad удобен в тех случаях, когда не требуется выполнение сложных символьных преобразований, что делает его пригодным для решения задач по курсу «Сопротивление материалов». 
Кроме комплекса Mathcad возможно использование и других комплексов компьютерной алгебры, таких как Maple, Matlab, Maxima. 
Решение задачи в комплексе Mathcad осуществляется путем 
ввода выражений на рабочем листе комплекса. Положение начала 
ввода текущего выражения указывается красным крестиком. Введенные выражения вычисляются слева направо и сверху вниз. В 
случае если автоматическое вычисление выражений отключено 
(например, для ресурсоемких расчетов), обновить значение введенного выражения можно нажатием клавиши F9, а обновить все 
введенные на рабочем листе выражения — нажатием сочетания 
клавиш Ctrl + F9. 
Параметры задачи указываются в виде переменных, задаваемых в виде одной или нескольких букв (латинских или греческих). 
Для ввода греческой буквы можно либо использовать палитру греческих символов, либо ввести латинскую букву, а затем нажать 
комбинацию клавиш Ctrl + G. Например, введя букву «a» и нажав 
комбинацию клавиш Ctrl + G, получают греческую букву α. Присваивание переменной значения выполняется вводом двоеточия 
сразу после ее имени, при этом на экране двоеточие автоматически 
заменяется на сочетание «:=» и подсвечивается поле ввода значения (либо выражения, содержащего, возможно, другие ранее определенные переменные). При вводе выражения, содержащего дро