Расчет балок и рам методом сил в комплексе Mathcad

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 

 
Г. В. Мартьянова,  
О. А. Одинцов, Т. Б. Подкопаева  
 
Расчет балок и рам  
методом сил 
в комплексе Mathcad 
 
 
 
Методические указания к выполнению домашних заданий  
по курсу «Сопротивление материалов» 
 
 
 
Под редакцией А. Е. Белкина 

 

 
 
Москва  

2014 

УДК 531.21 (519.67) 
ББК 30.121 
М29 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book92.html 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 

Кафедра «Прикладная механика» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Робототехника и комплексная  
автоматизация» МГТУ им. Н. Э. Баумана 

Рец ен зен т д-р техн. наук, профессор Б. С. Сарбаев 

 
Мартьянова Г. В. 
  
 
Расчет балок и рам методом сил в комплексе Mathcad : 
метод. указания к выполнению домашних заданий по курсу «Со-
противление материалов» / Г. В. Мартьянова, О. А. Одинцов,  
Т. Б. Подкопаева ; под ред. А. Е. Белкина. — М. : Изд-во МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2014. — 51, [5] c. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3926-3 

Рассмотрена общая процедура расчета балок и рам мето-
дом сил, описана работа в комплексе Mathcad. Дано решение 
ряда статически неопределимых задач курса «Сопротивление 
материалов» с использованием метода сил в классической по-
становке и привлечением современных вычислительных 
средств. В приложениях приведены листинги расчетов в ком-
плексе Mathcad для рассмотренных примеров. 
Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, изучающих курс 
«Сопротивление материалов».  
 
УДК 531.21 (519.67) 
ББК 30.121 
 
 
 
 

 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3926-3  
 
 
       МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

 М29

ВВЕДЕНИЕ 

Как известно из курса «Сопротивление материалов», решение 
статически неопределимой задачи статики методом сил приводит к 
системе линейных уравнений c коэффициентами, имеющими 
смысл податливостей и определяемыми, в соответствии с теоре-
мой Кастилиано, путем вычисления интегралов Мора. 
Традиционно для вычисления интегралов Мора используется 
правило Верещагина, позволяющее избежать представления подын-
тегральных функций в аналитическом виде, что было бы крайне не-
удобно при ручном счете. Однако современные вычислительные 
системы способны устранить основные трудности расчета громозд-
ких выражений и во многих случаях упрощают решение подобных 
задач, сохраняя при этом точность аналитических вычислений в ре-
зультате использования средств символьной математики. Примене-
ние вычислительных комплексов также позволяет значительно 
упростить решение самой системы уравнений метода сил. 
В методических указаниях приведено описание решения ряда 
статически неопределимых задач по курсу «Сопротивление мате-
риалов», в которых используется метод сил в классической поста-
новке, но с привлечением современных вычислительных средств. 
При составлении канонической системы уравнений метода сил 
используются аналитические выражения для внутренних момен-
тов, получаемые как результат применения метода сечений. Фор-
мирование подынтегральных выражений, выполнение интегриро-
вания и решение канонической системы уравнений выполняется с 
использованием широко распространенной системы компьютер-
ной алгебры Mathcad. Методические указания будут полезны для 
студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов» и жела-
ющих расширить свои познания в области современных вычисли-
тельных комплексов компьютерной алгебры. 

 
 

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА СИЛ 

Статически неопределимыми стержневыми системами назы-
вают системы, внутренние силовые факторы в которых нельзя 
определить только с помощью уравнений равновесия (статики). 
Для решения таких систем широко применяется метод сил. 
Суть метода сил заключается в том, что заданную статически 
неопределимую систему освобождают от дополнительных связей, 
как внешних, так и взаимных, а их действие заменяют неизвест-
ными силовыми факторами, где n — степень статической неопре-
делимости. Значения этих силовых факторов находят из условия 
равенства нулю перемещений в направлении отброшенных лиш-
них связей. Математически эти условия выражаются системой ли-
нейных алгебраических уравнений, так называемых канонических 
уравнений метода сил: 

 

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

1
1
2
2
1

 
 0; 

 0;

.............................................................
 
 0,

n
n
P

n
n
P

n
n
nn
n
P

X
X
X

X
X
X

X
X
X

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

Δ
+ Δ
+ …+Δ
+ Δ
=

 
(1.1) 

где 
 
ij
Δ
 — перемещение в направлении силового фактора 
i
X , воз-

никающее под воздействием j-го единичного фактора (коэффици-
ент податливости), причем 
  
ij
ji
Δ
= Δ ; 
iP
Δ
 — перемещение в 

направлении силового фактора Xi, возникающее под воздействием 
внешней нагрузки. 
Очевидно, что число уравнений, входящих в систему (1.1), равно 
степени статической неопределимости n рассматриваемой задачи. 
Коэффициенты податливости 
ij
Δ
 будем вычислять с помощью 

интегралов Мора: 

к
к

к

                       
, 

i
j
xi
xj
yi
yj
ij
x
y

i
j
x
xi
xj
y
yi
yj

M M dZ
M M dZ
M M dZ

GI
EI
EI

N N dZ
k Q Q dZ
k Q Q dZ

EA
GA
GA

=
Δ
+
+
+

+
+
+

∫
∫
∫

∫
∫
∫

 

(1.2)

 

где 
к , 
, . . . 
i
xi
M
M
 — внутренние моменты и силы, возникающие 
под воздействием i-го единичного фактора; 
к , 
,  . . .
j
xj
M
M
 — внутренние 
моменты и силы, возникающие под воздействием j-го единичного 
фактора; 
к , 
,  . . .    
P
xP
M
M
— внутренние моменты и силы, 
возникающие от внешней нагрузки. 
В методических указаниях даны примеры расчета стержневых 
систем, работающих на изгиб и кручение. Перемещения, связанные 
с изгибом и кручением элементов рассматриваемых систем, 
значительно превышают перемещения растяжения и сдвига, поэтому 
в выражении (1.2) последними тремя интегралами будем 
пренебрегать. 
Интегралы Мора, входящие в выражения для подсчета коэффициентов 
канонических уравнений вида (1.2), будем рассчитывать 
с использованием вычислительного комплекса символьной 
математики Mathcad. 
Заметим, что для балок и плоских рам при определении неизвестных 
из системы (1.1) жесткость сечения на изгиб 
,
x
EI
 входящая 
в коэффициенты (1.2), может быть опущена.  Что же касается 
расчета плоскопространственных рам, то при вычислении коэффициентов (
1.2) канонических уравнений достаточно найти связь 
между жесткостями поперечного сечения на кручение 
к
GI  и изгиб 
,
x
EI
 а именно 

 
к
кр
.
x

GI
a
EI
=
 

В методических указаниях рассматриваются стержневые системы, 
которые находятся в условиях простого нагружения, т. е. 
все внешние нагрузки прямо пропорциональны одному параметру 
(например, q). При численной реализации этот параметр можно 
принять равным единице. Полученные при раскрытии статической 

неопределимости искомые неизвестные будут прямо пропорциональны 
этому параметру. 
Особенности решения, связанные с расчетом балок, плоских и 
плоскопространственных рам, будут рассмотрены на примерах. 

2. РАБОТА В КОМПЛЕКСЕ MATHCAD 

Программный комплекс Mathcad представляет собой систему 
компьютерной алгебры, ориентированную на начинающих поль-
зователей ЭВМ. Особенностью этой системы является использо-
вание графического режима ввода выражений, позволяющего при-
близить их внешний вид к традиционной математической форме 
записи. Mathcad удобен в тех случаях, когда не требуется выпол-
нение сложных символьных преобразований, что делает его при-
годным для решения задач по курсу «Сопротивление материалов». 
Кроме комплекса Mathcad возможно использование и других ком-
плексов компьютерной алгебры, таких как Maple, Matlab, Maxima. 
Решение задачи в комплексе Mathcad осуществляется путем 
ввода выражений на рабочем листе комплекса. Положение начала 
ввода текущего выражения указывается красным крестиком. Вве-
денные выражения вычисляются слева направо и сверху вниз. В 
случае если автоматическое вычисление выражений отключено 
(например, для ресурсоемких расчетов), обновить значение вве-
денного выражения можно нажатием клавиши F9, а обновить все 
введенные на рабочем листе выражения — нажатием сочетания 
клавиш Ctrl + F9. 
Параметры задачи указываются в виде переменных, задавае-
мых в виде одной или нескольких букв (латинских или греческих). 
Для ввода греческой буквы можно либо использовать палитру гре-
ческих символов, либо ввести латинскую букву, а затем нажать 
комбинацию клавиш Ctrl + G. Например, введя букву «a» и нажав 
комбинацию клавиш Ctrl + G, получают греческую букву α. При-
сваивание переменной значения выполняется вводом двоеточия 
сразу после ее имени, при этом на экране двоеточие автоматически 
заменяется на сочетание «:=» и подсвечивается поле ввода значе-
ния (либо выражения, содержащего, возможно, другие ранее опре-
деленные переменные). При вводе выражения, содержащего дро-

би, переключение точки ввода значения (числитель / знамена-
тель / следующее выражение) выполняется клавишами стрелок и 
клавишей пробела. Просмотр значения переменной выполняется 
аналогично вводу ее значения, но вместо двоеточия необходимо 
нажать клавишу «=». Для присваивания значения «глобальной» 
переменной (т. е. переменной, постоянной для всего рабочего ли-
ста) можно использовать символ «~» (тильда), который автомати-
чески заменяется на символ «≡». Такое выражение вычисляется до 
начала вычисления всех других выражений и может быть распо-
ложено в любом месте листа. 
Для удобства работы, у параметров задачи можно указывать 
размерность (вводится сразу после ввода числа), либо можно ре-
шать задачу в безразмерном виде. В случае указания размерности 
(в латинской транскрипции), комплекс автоматически выполняет 
преобразование размерностей с учетом обозначений системы СИ, 
например: 

 
F := 10N             M := 5kg                  
 

Список всех доступных единиц измерений можно просмотреть 
нажатием сочетания клавиш Ctrl + U. 
Функции вводятся аналогично обычным параметрам, при этом 
сразу после имени функции (перед двоеточием) необходимо в 
круглых скобках, через запятые, указать ее аргументы. Эти аргу-
менты можно использовать далее в выражении, определяющем 
функцию. При подстановке на место аргументов конкретных зна-
чений (или вычисляемых значений других выражений или функ-
ций) выполняется вычисление значения функции с учетом выпол-
ненной подстановки, например: 

 
Mom(Frc, len) := Frc · len            
 

Кроме функций, создаваемых в процессе решения задачи, ком-
плекс Mathcad содержит богатую библиотеку встроенных функ-
ций, просмотр полного списка которых возможен путем нажатия 
сочетания клавиш Ctrl + E. Из всей библиотеки функций нам далее 
потребуется функция Хэвисайда Ф(x) (Ф — прописная греческая 
буква «Фи», вводится как F, Ctrl + G). 

F
m

2m s 2
−
⋅
=

Mom 10 3
2

, 
⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

15
=

Для построения графика функции необходимо выбрать соот-
ветствующий пункт меню либо ввести символ «@». В появившей-
ся области нужно задать имя функции и ее аргумент, а также вве-
сти диапазон изменения аргумента и, если это необходимо, 
функции, например, как это показано на рис. 2.1. 
 

 
 
Рис. 2.1. Построение графика функции в Mathcad 
 
При выполнении большого числа однотипных расчетов имеет 
смысл использовать средства векторно-матричных операций. Ввод 
матрицы или вектора-столбца на месте текущего выражения вы-
полняется нажатием сочетания клавиш Ctrl + M или выбором со-
ответствующего пункта меню. Далее необходимо указать единицы 
измерения вводимого объекта и значения его элементов. Выбор 
вводимого элемента матрицы выполняется клавишами стрелок, 
завершение ввода — клавишей пробела. 
После присваивания переменной значения вектора или матри-
цы она может быть использована в матрично-векторных операциях 
(умножение, сложение, вычисление обратной матрицы и т. п.). Для 
получения значения элемента вектора или матрицы необходимо 
ввести ее имя, нажать клавишу «[» и указать индекс элемента 
(строка, столбец). Важно помнить, что по умолчанию в комплексе 

Mathcad элементы нумеруются, начиная с нуля. Для изменения 
начального индекса элемента необходимо перед вычислениями 
присвоить значение системной переменной ORIGIN, например, 
установив его равным единице, как это принято в математике, вве-
дя строку «ORIGIN~1». 
Кроме функций непосредственного вычисления выражений 
комплекс Mathcad содержит небольшое число функций символь-
ных вычислений. Особенностью данных функций является то, что 
результатом их применения к указанному выражению может быть 
новое выражение, сконструированное автоматически в соответ-
ствии с видом использованной функции, а не число, как это проис-
ходит в обычном случае. 
Например, вычисление производной функции f(x):=sin(x)/x2 
осуществляется следующим образом: 
1) вводим выражение, описывающее функцию f(x) (возведение 
в степень указывается с помощью символа «^»); 
2) вводим оператор дифференцирования с помощью символа 
«?» и указываем в качестве переменной дифференцирования сим-
вол «x», а в качестве дифференцируемой функции — «f(x)»; 
3) не прерывая ввод выражения, вводим оператор символьного 
вычисления нажатием сочетания клавиш Ctrl+. после чего на месте 
курсора возникает символ стрелки; 
4) ожидаем вычисления полученного выражения, в результате 
чего получаем 

 
.
 
Символьные вычисления могут быть использованы даже в тех 
случаях, когда один или несколько коэффициентов выражения не 
имеют заданных значений. В такой ситуации они остаются неиз-
вестными константами, сохраняя свои имена. Прочие функции 
символьных вычислений доступны с использованием соответ-
ствующей панели инструментов. 
Результаты вычислений могут быть перенесены в документ 
Microsoft Word (или аналогичный) с использованием обычных 
операций копирования/вставки через буфер обмена. Для того что-
бы дополнить выражения текстовыми комментариями, можно ис-

x
f x
( )
d
d

cos x
( )

x2

2 sin x
( )
⋅

x3
−
→

пользовать символ " (двойная кавычка). Выделение блоков для ко-
пирования осуществляется нажатием левой кнопки мыши; отме-
нить выделение отдельных блоков можно щелчком левой кнопки 
мыши при нажатой клавише Shift. 
Этих предварительных сведений о комплексе Mathcad доста-
точно для решения задач, рассматриваемых далее. 

3. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ БАЛОК МЕТОДОМ СИЛ 

3.1. Общая процедура расчета 

Ниже приведен порядок раскрытия статической неопределимо-
сти балок согласно методу сил.  
1. Определяем степень статической неопределимости балки. 
2. Выбираем основную систему. Основная система — это ста-
тически определимая и кинематически неизменяемая система, по-
лученная из заданной системы путем удаления лишних связей и 
снятия внешней нагрузки. 
3. В соответствии с выбранной основной системой приводим 
эквивалентную систему. Для этого нагружаем основную систему 
внешними силами и неизвестными реактивными факторами. 
4. Записываем систему канонических уравнений метода сил (1.1). 
Для вычисления коэффициентов канонических уравнений ме-
тода сил 
ij
Δ  и 
iP
Δ  необходимо рассмотреть состояние балки, вы-

званное действием внешней нагрузки (назовем его состояние P) и 
n состояний, возникающих от единичной нагрузки, приложенной в 
направлении неизвестных силовых факторов 
i
X  (назовем эти со-
стояния единичными состояниями )i . 
5. Рассматриваем состояние P. Нагружаем основную систему 
внешними силами. 
Основным силовым фактором, определяющим прочность и 
жесткость балки, является изгибающий момент Mx. Вводим еди-
ную систему отсчета координаты Z. Начало отсчета координаты Z 
помещаем в крайнем левом сечении (на левом торце). В случае 
отсчета координаты Z  от правого торца следует сменить знак в