Плоское движение твердого тела и сложное движение точки

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

А.В. Паншина  
 
 
 
Плоское движение твердого тела  
и сложное движение точки 

 
Конспект лекций  
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 531.01 
ББК 22.21 
         П16 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1434.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» имени профессора Н.Е. Жуковского 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

Рецензент 
 доц., канд. физ.-мат. наук А.Н. Темнов 
 
 Паншина, А. В. 
Плоское движение твердого тела и сложное движение точки : 
конспект лекций  / А. В. Паншина. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2016. — 43, [5] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4424-3 
 
Изложены предусмотренные учебным планом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
и традиционно рассматриваемые в курсе теоретической механики 
разделы: кинематика плоского движения твердого тела и кинематика 
сложного движения точки. Материал сформирован в виде лекций. Кроме 
теоретической части, включающей определения основных понятий, формулировки 
теорем и утверждений с доказательствами, учебное издание 
содержит примеры и задачи с решениями. Представлен глоссарий основ-
ных терминов. Сформулированы вопросы для самоконтроля по предше-
ствующим темам,  на которых строится рассмотренный здесь материал, и 
вопросы для самоконтроля по изложенному материалу.  
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей. 
 
    
УДК 531.01 
   ББК 22.21 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4424-3                              
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

П16 

Предисловие 

Учебное издание предназначено для организации самостоя-
тельной работы студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана при изучении 
дисциплины «Теоретическая механика». Цель издания заключает-
ся в оказании помощи студентам — инвалидам по слуху, которые 
испытывают определенные сложности при освоении материала, 
связанные с особенностями восприятия естественно-научной ин-
формации на слух. Издание призвано помочь обучающимся в са-
мостоятельной работе: при просмотре и проработке материала, в 
силу указанных выше причин неточно законспектированного в 
аудитории на лекциях, а значит, малопонятного. Сравнивая пред-
ложенный текст со своими конспектами, студенты смогут лучше 
освоить новые для них термины, понятия и словосочетания.  
После изучения этого материала студенты должны научиться:  
 составлять соотношения для определения скоростей и уско-
рений точек твердого тела, угловых скоростей и угловых ускоре-
ний тела при его плоскопараллельном движении;  

  строить многоугольники скоростей и ускорений для точек 
тела, мгновенные центры скоростей и ускорений тела при плоско-
параллельном движении;  

 раскладывать сложное движение точки на относительное и 
переносное движения и определять все составляющие скоростей и 
ускорений точки. 
Цель преподавания дисциплины состоит в содействии форми-
рованию общекультурных и профессиональных компетенций. 
Общекультурные компетенции включают в себя: 
 владение целостной системой научных знаний об окружаю-
щем мире; 

 способность использовать базовые положения теоретиче-
ской механики при решении профессиональных задач; 

 способность получать и обрабатывать информацию из раз-
личных источников, готовность интерпретировать, структуриро-
вать и оформлять ее в доступном виде; 

 владение культурой мышления, способность к обобщению, 
анализу, систематизации знаний, умение логически верно, аргу-
ментированно и ясно строить свою речь. 
В области научно-исследовательской деятельности профессио-
нальные компетенции заключаются в способности и готовности 
принимать участие в научно-исследовательских работах в качестве 
исполнителя, обрабатывать результаты этих работ, оформлять ма-
териалы для публикации научных статей и технических отчетов. 
Дисциплина «Теоретическая механика» для студентов МГТУ 
им. Н.Э. Баумана состоит из нескольких разделов. В настоящем 
издании рассмотрены два раздела: кинематика плоскопараллель-
ного (плоского) движения твердого тела и кинематика сложного 
движения точки.  
Материал сформирован в виде лекций. Лекции содержат теоре-
тическую часть с определениями, теоремами с выводами, а также 
примеры решения задач [3, 4, 7]. Перед основным материалом сту-
дентам предложен список вопросов для проверки знаний, полу-
ченных при изучении разделов курса «Теоретическая механика»: 
по кинематике точки и кинематике простейших движений твердо-
го тела, на которых строится рассматриваемый здесь материал. В 
конце учебного издания представлен глоссарий основных терми-
нов. Предлагаются также контрольные вопросы по теме данного 
учебного издания — кинематике плоского движения твердого тела 
и кине-матике сложного движения точки. 
Предполагается, что предшествующий раздел курса теоретиче-
ской механики — кинематика точки и кинематика простейших 
движений твердого тела [1, 2, 5, 6] освоен студентами и они могут 
пользоваться терминами и формулами по этой теме.  

 

Контрольные вопросы по кинематике точки  
и простейшим движениям твердого тела 

1. Какие существуют способы задания движения точки? 
2. Дайте определение скорости точки. 
3. Дайте определение ускорения точки. 
4. Что такое естественный трехгранник? 
5. Как вычисляется скорость точки в декартовых осях? 
6. Как вычисляется ускорение точки в декартовых осях? 
7. Как вычисляется скорость точки в естественных осях? 
8. Как вычисляется ускорение точки в естественных осях? 
9. Что такое касательное ускорение точки? 
10. Что такое нормальное ускорение точки? 
11. Дайте определение поступательного движения твердого 
тела. 
12. Дайте определение вращательного движения твердого тела 
вокруг неподвижной оси. 
13. Дайте определение угловой скорости тела. 
14. Дайте определение углового ускорения твердого тела. 
15. Как связаны между собой угловая скорость и угловое 
ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? 
16. Запишите формулу Эйлера для скорости точки твердого 
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. 
17. Запишите формулы для касательного и нормального ускоре-
ний точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. 
18.  Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух то-
чек твердого тела. 
19.  Продолжите равенства: 

 

2

2

2

2

,
,
,
,
,

,
,
,
,
,

,
,
.

y

z

dr
dr
dv
dv
dv
dt
dt
dt
dt
dt
dv
dr
dx
d x
d
dt
dt
dt
dt
dt

d
d
d
dt
dt
dt





















 

Лекция 1. Кинематика твердого тела.  
Плоскопараллельное движение твердого тела 

Определение и основные свойства плоского движения  
твердого тела 

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела — 
это такое движение твердого тела, при котором каждая его точка 
все время движется в одной и той же плоскости, параллельной не-
которой основной неподвижной плоскости. 
Примеры 
1. Движение бруса по прямой линии. 
2. Вращение тела вокруг неподвижной оси. 
3. Качение диска по прямолинейному рельсу. 
Пересечем твердое тело плоскостью 
,
Oxy  параллельной основной 
неподвижной плоскости 
.
П  Получим сечение тела S  (рис. 1.1). 

Рис. 1.1. Плоское движение твердого тела 
 
Любая прямая, перпендикулярная плоскости Oxy  и жестко 
связанная с телом, которое движется плоскопараллельно, движется 
поступательно [1, 2, 5, 6]. Следовательно, все точки этой прямой 

движутся одинаково. Поэтому для изучения движения этой прямой 
достаточно изучить движение только одной точки. Отсюда 
следует вывод, что для изучения плоского движения тела достаточно 
изучить движение только одного сечения S  тела плоскостью, 

параллельной 
основной 
неподвижной 
плоскости 
П 
(см. рис. 1.1), т. е. движение плоской фигуры в своей плоскости. 
Для определения положения плоской фигуры S  на плоскости 
достаточно задать положение некоторого отрезка 
,
АВ  связанного 
жестко с фигурой (рис. 1.2). Положение же отрезка можно задать 
координатой его точки А и направлением с помощью угла между 
отрезком АВ и осью, параллельной 
.
Ox  

Рис. 1.2. Положение плоской фигуры S на плоскости 

Итак, уравнения движения плоской фигуры в своей плоско- 
сти Oxy можно задать следующим образом: 

        
( ),
( ),
( ).
A
А
A
А
x
x
t
y
y
t
t


  
 

Следовательно, плоская фигура, движущаяся в своей плоскости, 
в общем случае имеет три степени свободы (
3).
n 
 
Теорема о разложении движения плоской фигуры. Любое 
движение плоской фигуры в ее плоскости может быть разложено 
на поступательное движение вместе с некоторой точкой фигуры, 
называемой полюсом, и на вращательное движение вокруг оси, 
проходящей через этот полюс, перпендикулярно плоскости. 

Доказательство 
Поскольку исследование движения плоской фигуры определяется 
движением принадлежащего ей отрезка АВ (рис. 1.3), сложим 
конечное перемещение сечения S  за время 
t
  из поступательного 
вместе с полюсом А и вращения вокруг оси 
,
Az  проходящей через 
полюс А. В поступательном движении отрезок АВ  займет положение 

1
1 (| |
).
А В
АВ

 Повернув отрезок 
1
1
А В вокруг оси 
1A z  на 
угол   до совмещения с отрезком 
1 1,
А В  получим конечное положение 
сечения .
S  

Рис. 1.3. Движение плоской фигуры S 
 
Аналогичный результат получается, если за полюс выбрать 
точку 
,
В  что видно на рис. 1.3.  
Теорема доказана. 
 
Замечание. При доказательстве теоремы попутно было показано, что 
в качестве полюса плоской фигуры можно выбирать любую удобную 
точку фигуры. Поступательная часть движения фигуры будет зависеть от 
движения выбранного полюса.  
Вращательная часть движения плоской фигуры не зависит от выбора 
полюса. Следовательно, угловая скорость и угловое ускорение враща-
тельного движения фигуры не зависят от выбора полюса. Поэтому векто-
ры угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры являются 
свободными векторами, перпендикулярными плоскости фигуры. 

 

Скорости точек плоской фигуры 

Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Скорость лю-
бой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полю-
са фигуры и скорости, которую точка получает за счет вращения 
фигуры вокруг полюса: 
 
M
A
MA
v
v
v


.  
(1.1) 

Доказательство 
Пусть точка А плоской фигуры 
выбрана в качестве полюса. Введем 
систему координат 
1 1
Аx y , дви-  
жущуюся поступательно вместе с 
полюсом (т. е. оси 
1
Ax  и 
1
Ay  все 
время параллельны соответственно 
осям Ox и Oy ) (рис. 1.4). 
Выберем произвольную точ- 
ку M  фигуры. Радиус-вектор точ-
ки M относительно точки O  пред-
ставим в виде 
                    
.
M
A
M
r
r

 
 

Продифференцируем по времени это выражение: 
.
M
A
M
r
r

 


  
Согласно определению скорости точки [1, 2, 5, 6], имеем 

  
,
M
A
MA
v
v
v


 

где 
MA
М
M
v
 
 

—  скорость точки 
,
M которую она получает 
при вращении фигуры вокруг полюса А с угловой скоростью   
(формула Эйлера) [1, 2, 5, 6]. 
Значение скорости 
MA
v
  
.
АМ
 
 Вектор 
MA
v
АМ

 и 
направлен в соответствии с ду-
говой стрелкой .
  
Итак, скорость любой точки 
плоской фигуры равна вектор-
ной сумме скорости полюса фи-
гуры и скорости точки за счет 
вращения фигуры вокруг полю-

Рис. 1.4. Радиусы-векторы точек
              плоской фигуры 

Рис. 1.5. Разложение вектора ско-
рости точки М на два составляю-
                    щих вектора 

са (т. е. вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно 
плоскости фигуры) (рис. 1.5). 

Пример 1. Стержень АВ скользит своими концами вдоль вза-
имно ортогональных направляющих. Длина 
стержня 
0,5 м.
АB
l
 
 В положении стерж-
ня, изображенном на рис. 1.6, скорость точки 
А равна 
0,4 м/с.
A
v 
 Определить скорость 
точки В  и угловую скорость стержня в этом 
положении. 
Решение 
Движение стержня является плоским, так 
как все его точки во время движения остают-
ся в одной и той же плоскости — плоскости 
рисунка. Скорость точки А известна, поэто-
му выберем точку А в качестве полюса 
стержня. Тогда по формуле (1.1) распишем скорость точки 
:
В  

 
 
В
ВA
A
v
v
v


.  
(1.2) 

В векторном уравнении (1.2) вектор 
A
v  известен и по значе-
нию, и по направлению. Принято подчеркивать вектор в этом слу-
чае двумя прямыми линиями. Вектор 
В
v  не известен по величине, 
но известна прямая, на которой он лежит, т. к. известна траектория 
точки В  — вертикальная прямая. Поэтому вектор 
В
v  подчеркнем 
одной прямой линией. Вектор 
ВА
v
 
не известен по значению, так как 
,
ВА
v
АВ
 
 но угловая скорость 
стержня   не известна. Знаем, что 

,
ВА
v
АВ

 поэтому известна пря-
мая, на которой лежит этот вектор. 
Подчеркнем вектор 
ВА
v
 одной 
прямой. 
Следовательно, в векторном 
уравнении имеем две неизвестные 
величины. Строим треугольник скоростей (рис. 1.7). 
Теперь решаем построенный треугольник, который оказался 
прямоугольным треугольником: 

Рис. 1.6. Условие к  
            примеру 1 

Рис. 1.7. Треугольник скоростей