Определение внутренних сил в стержневых системах

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 
 
 
 
 
 
 
Н. Н. Бобровникова, Г. П. Клюева, Г. П. Шадрина  
 
 
 
Определение внутренних сил  
в стержневых системах  
 
 
Методические указания  по выполнению расчетно-графических 
работ по курсу «Сопротивление материалов» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 539.4.01 
ББК 30.121 
Б72 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book1397.html 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Прикладная механика» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Рецензент 
канд. техн. наук, доцент Н.А. Сухова 
 
Бобровникова, Н. Н. 
Определение внутренних сил в стержневых системах : методи-
ческие указания / Н. Н. Бобровникова, Г. П. Клюева, Г. П. Шадри-
на. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 54, 
[2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4353-6  

Изложена методика определения внутренних сил в стержневых си-
стемах при различных видах нагружения и построения эпюр для них с ис-
пользованием метода сечений. Рассмотрены конкретные задачи, их реше-
ния приведены с соответствующими пояснениями. 
Для студентов машиностроительных специальностей, изучающих 
курс «Сопротивление материалов». 
 
УДК 539.4.01 
ББК 30.121 
 
 
 
 
 
 

 
 
 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016 
 Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4353-6   
 
   МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016 

Б72 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Созданию любой новой конструкции или машины всегда 
предшествует ее проектирование, так как конструктор должен 
установить рациональную форму, выбрать размеры и материал 
каждой детали объекта. Для этого необходимо выполнить различ-
ные расчеты, включая расчеты на прочность, жесткость и устойчи-
вость элементов конструкции. Разработка методов таких расчетов 
является основной задачей курса «Сопротивление материалов». 
Теоретические положения курса опираются на законы и тео-
ремы общей механики и, в первую очередь, на законы статики. 
Для освоения курса «Сопротивление материалов» необходимы ба-
зовые знания курсов «Теоретическая механика», «Математический 
анализ», «Дифференциальные уравнения». 
Для решения вопроса о прочности деталей необходимо уметь 
определять внутренние силы в этой детали при приложении к ней 
заданной внешней нагрузки. Такую задачу решают с помощью 
приема, именуемого методом сечений, который изложен в данном 
пособии. 
Методические указания содержат необходимый теоретический 
материал, представленный в четырех темах, и примеры решений 
типовых задач. 

ВВЕДЕНИЕ 

МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ 
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ 

Приступая к выполнению задания, студент должен прежде все-
го изучить по конспектам лекций и учебнику теоретический мате-
риал соответствующего раздела курса, затем детально разобрать 
примеры и задачи, решенные на лекциях и семинарах. После этого 
ему следует проанализировать условие домашней задачи и наметить 
план ее решения, затем произвести исходные выкладки — постро-
ить вспомогательные системы, записать формулы и уравнения рав-
новесия для решения именно этой задачи. 
Расчеты рекомендуется вести в общем виде, производя про-
межуточные выкладки в обыкновенных дробях. В расчетах следу-
ет использовать принятую государственным стандартом Между-
народную систему единиц (СИ).  
Результаты расчетов для большей наглядности изображают  
в виде графиков, называемых эпюрами. Для этого студент, исполь-
зуя знания и навыки, полученные в курсе математики, должен выбрать 
масштаб по координатным осям, а затем по необходимому 
числу точек четко построить эпюры. При выборе масштаба следует 
стремиться к наибольшей наглядности результатов расчетов  
и обеспечить возможность сопоставления этих результатов. На координатных 
осях должны быть проставлены обозначения соответствующего 
параметра и его размерность.  
Любой расчет теряет смысл, если в ходе его допускаются 
ошибки в выкладках. Поэтому следует, с одной стороны, внимательно 
и ответственно выполнять все математические операции, 
включая элементарные, а с другой — использовать возможность 
проверить результаты счета. Пренебрежение «арифметикой» со 
стороны инженера недопустимо ни в малейшей степени. 

ОФОРМЛЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО 
ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 

Задание оформляется в тетради в клетку (как правило, в 12 листов). 
Сохранив обложку, на первой странице тетради (будущий 
титульный лист) следует вычертить рамку и сделать справа внизу 
основную надпись (штамп), образец которого представлен в приложении. 

Для оформления задания используют только лицевые стороны 
листов, т. е. правые страницы заполняют, а левые — оставляют 
чистыми. 
Оформление задачи следует начинать с полного текста условия, 
включая все числовые данные и чертеж заданной системы  
в выбранном масштабе. Никаких дополнительных построений, 
связанных с решением задачи, на этом чертеже быть не должно.  
Последующее оформление ведется в соответствии с планом 
решения конкретной задачи. Целесообразно все чертежи выполнять 
карандашом, а записи — ручкой.  
Построение эпюр следует вести после определения реакций  
в опорах (если это необходимо), переходя от заданной системы  
к вспомогательной. Надо избегать такого размещения материала, 
при котором часть эпюр оказывается на одной странице, а часть 
переходит на следующую страницу. Это затрудняет в дальнейшем 
анализ построенных эпюр.  
Все выкладки должны представлять собой стройную логическую 
цепочку и сопровождаться лаконичным пояснительным текстом. 

Метод сечений 

Основная задача изучающего курс «Сопротивление материалов» — 
освоить методы расчета на прочность, жесткость, устойчивость 
и долговечность типовых элементов конструкций. Про-
стейшими из них являются стержни. Стержень — это тело, один 
размер которого (длина) значительно больше размеров поперечного 
сечения. Стержень можно представить как тело, образуемое путем 
перемещения плоской фигуры, движущейся вдоль некоторой 
кривой, проходящей через центр тяжести этой фигуры и остающейся   
нормальной  к  ней  (рис. 1).  Эта   линия  называется  осью 

стержня, а плоская фигура — его поперечным 
сечением. 
Фигура в процессе движения может 
меняться (постепенно или ступенчато). 
Тогда стержень будет иметь переменное 
сечение. В зависимости от 
формы оси стержень может быть прямым, 
ломаным, кривым, плоским или пространственным. 
При расчете на прочность любой конструкции необходимо 
найти распределение внутренних сил в ее сечениях, выбрать опасное 
сечение и по внутренним силам в нем выполнить условие 
прочности. В любой задаче сопротивления материалов 80 % времени 
тратится на определение внутренних сил, остальные 20 % 
уходят на определение по ним неизвестных параметров конструкции. 

Под действием внешних сил в теле в связи с его деформацией 
возникают внутренние дополнительные силы взаимодействия между 
частицами тела, обеспечивающие его целостность. Внутренние 
силы, возникающие в стержне, выявляются только в том случае, если 
рассечь его мысленно на две части (рис. 2). Такой прием в сопротивлении 
материалов носит название метода сечений. 
Так как связи между частями A и B стержня устранены, необходимо 
действие правой части на левую и левой на правую заменить 
системой сил в сечении, т. е. ввести систему внутренних сил. 
Таким образом, внутренние силы определяют взаимодействие 
между частицами тела, расположенными по разные стороны от 
мысленно проведенного сечения. В различных сечениях возникают, 
естественно, различные внутренние силы.  
Внутренние силы по принципу действия и противодействия 
всегда взаимны. Правая часть действует на левую точно так же, 
как левая на правую, и система 
сил, возникающих в плоскости А, 
обратна по знаку системе сил, 
возникающих в плоскости В (см. 
рис. 2). 
Внутренние силы распределяются 
сложным образом по поверхности 
проведенного сечения, 
но во всех случаях они должны 

 

Рис. 1 

 

Рис. 2 

быть такими, чтобы удовлетворялись условия 
равновесия для правой и левой частей в от-
дельности. 
Воспользуемся правилами статики и при-
ведем систему внутренних сил к центру тяже-
сти сечения. В результате получим главный 
вектор R


 и главный момент М



 (рис. 3). 
Затем, воспользовавшись условиями рав-
новесия рассматриваемой части тела В, определяем R



 и 
,
M


 кото-
рые проецируем на направления трех взаимно перпендикулярных 
осей, одна из которых есть ось стержня и направлена в сторону 
внешней нормали к плоскости поперечного сечения (ось z), а две 
другие лежат в его плоскости (оси х и y) (рис. 4). 
Спроецировав R



 и M



 на оси x, y, z, получаем шесть состав-
ляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называются 
внутренними силовыми факторами в сечении стержня. 
Составляющая главного вектора внутренних сил 
,
R


 направлен-
ная по нормали к сечению N, называется нормальной силой; силы Qx 
и Qy — составляющие главного вектора R


 по осям х и у — называются 
поперечными силами. Состав-
ляющие вектора главного мо-
мента M


 по координатным 
осям Mx и My называются изги-
бающими моментами соответ-
ственно относительно осей х  
и у. Момент Mк (относительно 
оси z) называется крутящим 
моментом. 
При известных внешних 
силах все шесть внутренних 
силовых факторов определя-
ются из шести уравнений 
равновесия, которые могут 
быть составлены для отсечен-
ной части стержня, причем в 
каждое из них входит только 
один 
внутренний 
силовой 
фактор: 

 

Рис. 3 

n–1

В

 

Рис. 4 

вн
0;
z
N
F



      
вн
0;
x
x
M
M



 

вн
0;
x
x
Q
F



       
вн
0;
y
y
M
M



 

вн
0;
y
y
Q
F



       
вн
к
0,
z
M
M



 

где 
вн
iF

 — сумма проекций всех действующих на отсеченную 

часть внешних сил на соответствующую ось (i); 
вн
i
M

 — сумма 

моментов всех действующих на отсеченную часть внешних сил 
относительно соответствующей оси (i). 
Напомним основные правила составления уравнений равновесия. 
1. Проекция силы на ось равна произведению силы на косинус 
угла между направлением силы и положительным направлением 
оси. 
2. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось рав-
на нулю. 
3. Момент силы относи-
тельно оси равен произведе-
нию проекции этой силы на 
плоскость, перпендикулярную 
оси, на плечо h проекции этой 
силы (рис. 5). 
4. Момент силы относи-
тельно оси равен нулю, если си-
ла параллельна оси или линия 
действия силы пересекает ось. 
В общем случае нагруже-
ния стержня внутренние силовые факторы в его поперечных сече-
ниях меняются вдоль его оси. Поэтому для изучения напряженного 
и деформированного состояний стержня строят графики, показыва-
ющие закон изменения внутренних силовых факторов по длине 
стержня. Такие графики называются эпюрами. 
Необходимо свободно владеть навыками построения эпюр и 
правилами их проверки. Для этого нужно уметь строить эпюры 
вручную (без компьютера). 
Рассмотрим вопросы, связанные с определением внутренних 
силовых факторов и построением эпюр для каждого вида нагру-
жения отдельно. 

 

Рис. 5 

Тема 1. Растяжение-сжатие прямого стержня 

Растяжение-сжатие — такой вид нагружения, при котором  
в сечении из шести внутренних силовых факторов возникает толь-
ко нормальная сила N, а остальные внутренние силовые факторы 
обращаются в ноль.  
Правило знаков: нормальная сила называется растягивающей 
и считается положительной, если она направлена в сторону внеш-
ней нормали, т. е. от поперечного сечения (рис. 6, а); называется 
сжимающей и считается отрицательной, если она направлена про-
тив внешней нормали, т. е. к сечению (рис. 6, б). 

 

Рис. 6 
 
Пример 1.1. Для стержня, находящегося в равновесии и 
нагруженного так, как показано на рис. 7, построить эпюру нормальных 
сил N по его длине. 

Решение 

1. Определяем количество участков с постоянной нагрузкой,  
т. е. участков, по длине которых закон изменения внешней нагрузки 
постоянен. В нашем примере таких участков два. Для удобства 
расчетов на каждом участке вводим местную систему координат  
с началом отсчета в начале каждого следующего участка. 
Направление N выбираем, как правило, положительным. 
2. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых 
частей стержня, определяем внутренние силы по длине каждого 
из его участков. 

Первый участок: 0 ≤ z ≤ l; 

1
1
0;
2
0;
2 .
z
F
 N
F
 N
F  





 

Второй участок: 0 ≤ z ≤ l; 

2

2

0;
3
2
0;

.

z
F
N
F
F
 

N
F






 


 

Строим эпюру N (см. рис. 7). 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.2. Стержень длиной l, неподвижно закрепленный в 
левом сечении, нагружен равномерно распределенной нагрузкой 

интенсивностью 


Н/м
q
 и сосредоточенной силой 1
,
3 ql  приложенной 

на 
свободном 
торце 
стержня (рис. 8). Построить эпюру 
нормальных сил N вдоль оси 
стержня. 

Решение 

1. Стержень имеет один участок 
с постоянным законом изменения 
внешней нагрузки (q =  
= const). 
2. Заделку в левом сечении 
заменяем реакцией R, которую 
определяем из условия равновесия 
всего стержня: 

 

Рис. 7 

 

Рис. 8