Надежность механических систем

Надежность механических систем

Учебно-методическое пособие

М.Н. Захаров, П.А. Ларюшкин

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 62-192 
ББК 34.41 
З-38 
 
Издание доступно в электронном виде по адресу 

ebooks.bmstu.press/catalog/283/book1949.html 

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Основы конструирования машин» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 

 
 
 
Захаров, М. Н.  
                     Надежность механических систем : учебно-методическое 
пособие / М. Н. Захаров, П. А. Ларюшкин. — Москва : Изда- 
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 40, [4] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-5029-9 

 
Приведены основные сведения о количественных критериях надеж-
ности восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, законах рас-
пределения срока их службы, способах резервирования и надежности 
конструкций и отдельных типов деталей машин. Для каждой темы рас-
смотрены типовые задачи и их решения. Представлены задачи для само-
стоятельного решения, имеющие различный уровень сложности.  
Для студентов, изучающих дисциплину «Надежность механических 
систем», обучающихся по направлению подготовки 15.04.01 «Машино-
строение» в МГТУ им. Н. Э. Баумана. 
 
 
УДК 62-192 
ББК 34.41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
  
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-5029-9                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

З-38 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Дисциплина «Надежность механических систем» является од-
ной из основных дисциплин, предназначенных для формирования 
общих знаний о работоспособности и отказах оборудования в раз-
личных областях техники, в том числе машиностроении. Цель осво-
ения студентами данной дисциплины в рамках образовательной 
программы магистратуры по направлению подготовки 15.04.01 
«Машиностроение» — приобретение знаний об основных положе-
ниях вероятностной теории надежности и освоение основных прин-
ципов прочностных расчетов при вероятностной постановке задач. 
Полученные знания и навыки могут быть применены при проекти-
ровании и эксплуатации объектов общего машиностроения. 
Настоящее учебно-методическое пособие структурировано в 
соответствии с рабочей программой данной дисциплины, читае-
мой студентам магистратуры кафедры РК-3 «Основы конструи-
рования машин». Каждый из пяти разделов соответствует опре-
деленной теме, изучаемой в течение нескольких семинаров, и 
включает в себя: 
 теоретические сведения, представляющие собой выдержки 
из лекционного курса и материала основной литературы, необхо-
димые для решения задач; 
 пример типовой задачи с решением, демонстрирующий спо-
соб применения изложенных в теоретической части расчетных 
методик и зависимостей; 
 задачи для самостоятельного решения, в том числе повы-
шенной сложности (отмечены звездочкой). Для задач нормальной 
сложности в конце методических указаний приведены ответы; 
 контрольные вопросы для проверки базовых теоретических 
знаний по изучаемой теме. 
Материал учебно-методического пособия может быть исполь-
зован как при самостоятельной подготовке к семинарским заня-
тиям по дисциплине, так и в качестве справочного материала 
непосредственно на самих занятиях. Контрольные вопросы и за-
дачи нормальной сложности позволяют сформировать понимание 
о содержании, логике и сложности вопросов (заданий) текущего 
контроля и промежуточной аттестации по дисциплине. Приве-
денные в конце пособия ответы к задачам помогают провести 
самопроверку. Задачи повышенной сложности при необходимо-
сти могут быть использованы для таких отдельных видов само-
стоятельной работы, как текущие домашние задания. 

1. ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ 

Надежность — свойство объекта сохранять во времени спо-
собность выполнять требуемые функции в заданных режимах  
и условиях применения, технического обслуживания, хранения и 
транспортирования. Надежность является комплексным свой-
ством и в зависимости от типа объекта и требований к нему мо-
жет включать в себя такие понятия, как [1]: 
 безотказность — свойство объекта непрерывно сохранять 
способность выполнять требуемые функции в течение некото-
рого времени или наработки в заданных режимах и условиях 
применения; 
 ремонтопригодность — свойство объекта, заключающееся в 
его приспособленности к поддержанию и восстановлению состо-
яния, в котором объект способен выполнять требуемые функции, 
путем технического обслуживания и ремонта; 
 восстанавливаемость — свойство объекта, заключающееся в 
его способности восстанавливаться после отказа без ремонта; 
 долговечность — свойство объекта, заключающееся в его 
способности выполнять требуемые функции в заданных режимах 
и условиях использования, технического обслуживания и ремон-
та до достижения предельного состояния; 
 сохраняемость — свойство объекта сохранять способность к 
выполнению требуемых функций после хранения и (или) транс-
портирования при заданных сроках и условиях хранения и (или) 
транспортирования; 
 готовность — свойство объекта, заключающееся в его спо-
собности находиться в состоянии, в котором он может выполнять 
требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, 
технического обслуживания и ремонта в предположении, что все 
необходимые внешние ресурсы обеспечены. 
Количественная оценка надежности объекта проводится, как 
правило, путем расчета значений показателей, перечисленных 
ниже [2]. 
Вероятность безотказной работы P(t) — вероятность того, что 
в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет [1]. 
Определяется следующим соотношением: 

раб( )
( )
n
t
P t
N

, 

где nраб(t) — число изделий, сохранивших свою работоспособ-
ность к моменту времени t; N — общее число изделий, постав-
ленных на испытания. 
Смежным понятием является вероятность отказа Q(t): 

отк( )
( )
,
n
t
Q t
N

 

где nотк(t) — число изделий, отказавших моменту времени t, при 
этом 
( )
( )
1;
P t
Q t


 

отк( )
( )
.
n
t
Q t
N

 

С точки зрения теории вероятностей Q(t) представляет собой 
функцию распределения случайной величины (времени работы 
изделия до наступления отказа), т. е. характеризует вероятность 
того, что отказ наступит в момент времени t или раньше. 
Частоту отказов f(t) рассчитывают следующим образом: 

отк( )
( )
,
n
t
f t
N t



 

где Δnотк(t) — число изделий, отказавших за временной интервал 
Δt, при этом Δt = [t – 0,5Δt; t + 0,5Δt].  
При уменьшении величины рассматриваемого интервала, т. е. 
при Δt → 0, в пределе получим 

отк
отк

0
( )
( )
( )
( )
lim
t
n
t
dn
t
dQ t
f t
N
t
N dt
dt
 






. 

Таким образом, с точки зрения теории вероятностей частота 
отказов представляет собой плотность вероятности для распреде-
ления случайной величины — времени работы изделия до 
наступления отказа. 

Следующим количественным показателем надежности является 
интенсивность отказов λ(t): 

отк

раб

( )
( )
.
( )
n
t
t
n
t
t




 

Умножив числитель и знаменатель этой формулы на общее число 
деталей N и перейдя к пределу при Δt → 0, получим 

отк
отк

0
раб
раб

( )
( )
( )
( )
lim
.
( )
( )
( )
t
n
t
dn
t
N
N
f t
t
n
t
t N
Ndt
n
t
P t
 






 

Согласно ГОСТ 27.002–2015 [1], интенсивность отказов определяется 
как условная плотность вероятности возникновения отказа 
объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого 
момента времени отказ не возник. 
Еще одним типовым показателем надежности является средняя 
наработка до отказа, т. е. математическое ожидание наработки 
до отказа [1] T̅ : 

отк
1

1
,

N

i
i
T
t
N



 

где tоткi — время безотказной работы i-го изделия.  
Если время отказа изделия характеризуется не конкретным 
моментом времени, а интервалами Δtk, количество которых равно 
m (k = 1…m), то формула для определения средней наработки до 
отказа имеет следующий вид: 

отк
1

1
,
m

k k
k
T
n
t
N




 

где Δnоткk — число изделий, отказавших за k-й временной интервал; 
tk — середина этого интервала. 
Для восстанавливаемых (ремонтопригодных) изделий исполь-
зуется показатель средней наработки между отказами T̅ , представляющей 
собой математическое ожидание наработки объекта 
между отказами [1]: 

1
1

отк
1

отк
N

ij
i
j
N

i
i

i
n
t

T
n







 



. 

Здесь nоткi — число отказов i-го изделия за весь период испытаний, 
tij — время исправной работы i-го изделия между (j – 1)-м и 
j-м отказами. 
Близким по смыслу является понятие гамма-процентной наработки 
до отказа (или между отказами), т. е. наработки, в течение 
которой отказ объекта не возникнет с вероятностью γ, выраженной 
в процентах [1]. Иными словами, за указанное время вероятность 
безотказной работы объекта снизится до значения γ. 

Пример типовой задачи 

На испытании находится 2000 однотипных невосстанавливаемых 
изделий, из которых за первые 5000 ч отказало 800 шт. За 
последующие 500 ч отказало еще 100 шт., а на интервале 5500 – 
6000 ч. — еще 300 шт. Определить для интервала 5500 – 6000 ч. 
вероятность безотказной работы P(t) на его границах, частоту f(t) 
и интенсивность λ(t) отказов, а также оценить среднюю наработку 
до отказа T̅ .  
Решение. Вероятность безотказной работы в моменты времени 
5500 ч и 6000 ч равна количеству работоспособных изделий  
в соответствующий момент, отнесенному к общему числу испы-
туемых изделий: 





раб 5500
2000
800
100
5500
0,55;
2000

n
P
N





 





раб 6000
2000
800
100
300
6000
0,4
2000

n
P
N






. 

Если требуется рассчитать вероятность безотказной работы для 
середины интервала и при этом отсутствуют сведения о распреде-
лении отказов в этом интервале, то допустимо принять, что в пре-

делах указанного интервала отказы происходят равномерно, т. е. 
считать, что в момент времени, соответствующий середине интер-
вала, отказала ровно половина изделий, вышедших из строя за этот 
временной интервал. Например, для рассматриваемой задачи 





раб
300
2000
800
100
5550
2
5550
0,475.
2000

n
P
N







 

Определим частоту отказов для рассматриваемого интерва-
ла. При этом расчетным моментом времени считаем его середи-
ну t = 5550 ч: 





4
отк 5550
300
5550
3 10
2000 500
n
f
N t









 отк./ч. 

Для расчета интенсивности отказов необходимо знать число 
работоспособных деталей в рассматриваемый момент времени. 
Поскольку в данном случае рассматривается временной интервал, 
то число работоспособных деталей можно определить для его 
середины в предположении, что отказы на этом интервале проис-
ходят равномерно. Тогда 








отк

раб

4

5550
5550
5550

300
6,32 10
отк./ч.
300
2000
800
100
500
2

n

n
t























 

Средняя наработка на отказ 

отк
1

1

5000
5000
5500
5500
6000
800
100
300
2
2
2
2125 ч.
2000

m

k k
k
T
n
t
N

















 

Задачи для самостоятельного решения 

1. За 2500 ч испытаний отказало 500 изделий из 1000. Далее 
на интервале 2500…3000 ч каждые 100 ч отказывало по 50 изде-
лий. Определить вероятность безотказной работы в момент вре-
мени 2800 ч. 
2. На испытании находится 10 000 изделий. За первые 1000 ч 
отказало 700 шт., на интервале 1000…2000 ч — еще 900 шт. 
Определить частоту и интенсивность отказов на интервале 
1000…2000 ч. 
3. Проведены испытания 10 однотипных невосстанавливае-
мых изделий. Время отказа каждого представлено в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Номер 
изделия 
tотк, ч 
Номер 
изделия 
tотк, ч 

1 
230 
6 
291 

2 
235 
7 
292 

3 
240 
8 
303 

4 
242 
9 
310 

5 
260 
10 
395 

 
Определить среднюю наработку до отказа, вероятность безотказ-
ной работы изделия в моменты времени 250 и 300 ч, а также ча-
стоту и интенсивность отказов на интервале 250…300 ч. 
4. Семь однотипных восстанавливаемых изделий испытывали 
на протяжении 5000 ч. При выходе из строя изделие ремонтировалось 
и снова ставилось на испытание. Приняв, что время ремонта 
пренебрежительно мало, рассчитать среднюю наработку 
между отказами для данного типа изделий. Момент времени 
t = 5000 ч в расчетах не учитывать. Сведения о времени наступления 
отказов каждого изделия приведены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Номер 
изделия 
tотк, ч 
Номер 
изделия 
tотк, ч 

1 
500, 1200 
5 
300, 1100, 1600, 4500 

2 
2000, 2500, 3300 
6 
3500, 4800 

3 
800 
7 
2200, 4200, 4600 

4 
4000, 4200 
 
 

5.* На испытании находится партия из N невосстанавливаемых 
изделий. В конце каждых суток (i) подсчитывается количество 
изделий, отказавших за эти сутки (Δnотк). Данные по отказам 
за первые 50 сут приведены в табл. 1.3. Варианты задания приведены 
в табл. 1.4. 
Таблица 1.3 

i 
Δnотк 
i 
Δnотк 
i 
Δnотк 
i 
Δnотк 
i 
Δnотк 

1 
50 
11 
11 
21 
12 
31 
11 
41 
25 

2 
35 
12 
12 
22 
8 
32 
9 
42 
28 

3 
28 
13 
10 
23 
14 
33 
12 
43 
30 

4 
22 
14 
11 
24 
12 
34 
10 
44 
35 

5 
16 
15 
11 
25 
13 
35 
11 
45 
40 

6 
16 
16 
11 
26 
11 
36 
13 
46 
41 

7 
14 
17 
12 
27 
10 
37 
14 
47 
43 

8 
13 
18 
9 
28 
10 
38 
16 
48 
42 

9 
14 
19 
11 
29 
12 
39 
19 
49 
45 

10 
13 
20 
12 
30 
9 
40 
21 
50 
48 

 
Рассчитать: 
а) значения вероятность безотказной работы к концу каждых 
суток в пределах интервала [t1; t2] и построить график изменения 
P(t) на данном интервале времени; 
б) частоту и интенсивность отказов (в размерности отк./ч) на 
интервале [t3; t4], построить графики изменения f(t) и λ(t) на дан-
ном интервале времени; 
в) среднюю наработку до первого отказа (в часах) T̅  по ре-
зультатам испытаний на моменты времени (сутки) t5, t6 и t7. 

Таблица 1.4 

Величина 
Номер варианта 

1 
2 
3 
4 
5 

N, шт. 
1000 
1200 
1500 
1300 
1100 

t1, сут 
1 
11 
21 
31 
41 

t2, сут 
10 
20 
30 
40 
50 

t3, сут 
21 
31 
41 
1 
11 

t4, сут 
30 
40 
50 
10 
20 

t5, сут 
10 
10 
20 
30 
30 

t6, сут 
30 
30 
35 
40 
40 

t7, сут 
50 
50 
50 
50 
50 

____________ 
* Задачи повышенной сложности (здесь и далее).