Механические колебания

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.И. Мудрук, В.Ф. Попов 
 
 
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 
 
 
Методические указания к решению задач  
по курсу общей физики  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 53.534.01 
ББК 22.213 
М89 
Ре це нз е нт Б.С. Старшинов 

 
Мудрук, В.И. 
  
 
Механические колебания : метод. указания к решению задач по курсу общей физики / В.И. Мудрук, В.Ф. Попов. — М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 50, [2] с. : ил. 
 
Рассмотрена теория механических колебаний и изложены методы решения задач. 
Для школьников физико-математических классов, абитуриентов и преподавателей физики. 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией кафедры СУНЦ-2 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 53.534.01 
ББК 22.213 
 
 
 
 

Учебное издание 

Мудрук Владимир Иванович 
Попов Владимир Федорович 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 
 
Редактор О.М. Королева 
Корректор Е.К. Кошелева 
Компьютерная верстка С.А. Серебряковой 

Подписано в печать 22.11.2011. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 3,02. Тираж 300 экз. Изд. № 102. Заказ         . 
 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
 
 
 
 
 
 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

 М89

. 

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

Рассмотрим теорию механических колебаний на простейшем 
примере горизонтального пружинного маятника (далее — маятник, рис. 1.1). Пусть масса маятника m, жесткость пружины k, длина недеформированной пружины l0, трения нет.  
 

 

Рис. 1.1 
 
Начало системы отсчета свяжем с положением равновесия маятника, в котором пружина не деформирована. Если маятник вывести каким-нибудь образом из положения равновесия, то он начнет двигаться по некоторому закону x(t). Найдем его. 
Предположим, что в момент времени t маятник  находится на 
малом расстоянии x от начала координат. По закону Гука на него 
действует сила 

 
.
F
kx
= −



Запишем уравнение движения в проекции на ось 0x (второй закон Ньютона): 

 
,
ma
kx
= −
 

где a
x′′
=
 — ускорение, вторая производная координаты. Перепишем последнее уравнение в виде  

 
,
mx
kx
′′ = −
 

поделим обе части уравнения на m и перенесем все слагаемые в 
левую часть: 

 

0.
k
x
x
m
′′ +
=
 

Величина k/m существенно положительна, так как и k > 0, и 
m > 0. Обозначим ее квадратом некоторой величины 
2
0
ω , физический смысл которой выясним позже. Для неизвестной функции 
( )
x t  получим уравнение 

 

2
0
0,
x
x
′′ + ω
=
  
(1.1) 

здесь неизвестная функция ( )
x t  входит под знак второй производной. Такое уравнение называется дифференциальным.  
Нам пока не известны способы решения дифференциальных 
уравнений, поэтому отметим только то, что для решения такого 
уравнения достаточно угадать общий вид решения, т. е. функцию, 
удовлетворяющую ему. Из курса дифференциального исчисления 
решение известно: это гармоническая функция 

 
0
0
( )
cos(
),
x t
A
t
=
ω
+ ϕ
  
 (1.2) 

в чем легко убедиться, подставив уравнение (1.2) в уравнение 
(1.1). Для этого предварительно вычислим 
( )
x t
′
 и 
( ) :
x t
′′
 

 
 
0
0
0
( )
sin(
);
x t
A
t
′
= −ω
ω
+ ϕ
  
 (1.3) 

 
 
2
0
0
0
( )
cos(
).
x t
A
t
′′
= −ω
ω
+ ϕ
  
(1.4) 

Подставим теперь уравнения (1.2) и (1.4) в уравнение (1.1) и 
получим тождество 

 
2
2
0
0
0
0
cos(
)
cos(
)
0.
A
t
A
t
−ω
ω
+ ϕ
+ ω
ω
+ ϕ
=
 

Таким образом, функция (1.2) действительно является решением уравнения (1.1), следовательно, маятник будет двигаться по 
гармоническому закону. По этой причине уравнение (1.1) называют уравнением гармонических колебаний, а его решение (1.2) — 
гармоническим колебанием.  

Теперь становится понятным физический смысл величины ω0. 
Это круговая, или циклическая, частота собственных колебаний 
данной механической системы (собственных потому, что она зависит только от собственных характеристик системы m и k и не зависит от внешних условий, т. е. от того, каким образом вывели маятник из состояния покоя): 

 
0
.
k
m
ω =
 

В этом состоит отличие циклической частоты собственных колебаний ω0 от обычной частоты ν, равной числу колебаний в секунду.  
Период колебаний 

 

0

2
2
.
m
T
k
π
=
= π
ω
 

Частота колебаний 
1/T
ν =
 измеряется в герцах; период колебаний Т — в секундах, круговая частота собственных колебаний 
системы ω0 — в секундах в минус первой степени. 
Величина A в (1.2) — амплитуда гармонических колебаний. 
Выражение  

 
 Ф
0
0
( )t
t
= ω
+ ϕ  

называют фазой гармонического колебания, а выражение 
0
ϕ = 
= Ф(0) — начальной фазой гармонического колебания. Фаза измеряется в радианах. 
Поскольку 
скорость 
маятника 
( )
( )
v t
x t
′
=
, 
ускорение 
( )
( )
a t
x t
′′
=
, то из уравнений (1.3) и (1.4) следует, что их максимальные значения соответственно равны: 

 
max
0 ;
v
A
= ω
 

 

2
max
0
.
a
A
= ω
 

Отметим, что амплитуда А и начальная фаза φ0 гармонического 
колебания в отличие от круговой частоты собственных колебаний 
ω0 определяются тем, каким образом маятник был выведен из положения равновесия, т. е. начальными условиями 

0

0

(0)
;

(0)
,

x
x

x
v

=
⎧
⎨ ′
=
⎩
 

где 
0x  и 
0v  — соответственно координата и скорость маятника в 
начальный момент времени 
0.
t =
  
Подставим 
0
t =
 в уравнения (1.2) и (1.3): 

 

0
0

2
0
0
0

cos
;

sin
,

A
x

A
v

ϕ =
⎧⎪⎨−ω
ϕ =
⎪⎩
 

т. е. получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: A и 
ϕ0. Ее можно решить, например, поделив второе уравнение на первое: 

 

0
0
0 0
tg
v

x
ϕ = − ω
 ⇒  
0
0
0
0
arctg
.
v

x
ϕ = −
ω
 

Из первого уравнения системы получим 

 

2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0 0
0
1
tg
1
.
cos

x
v
v
A
x
x
x
x
x
=
=
+
ϕ =
+
=
+
ϕ
ω
ω
 

Действительно, и амплитуда гармонических колебаний А, и 
начальная фаза гармонических колебаний ϕ0 определяются координатой 
0x  и скоростью маятника в начальный момент времени 

0v , т. е. начальными условиями. 
Необходимо отметить, что уравнение гармонических колебаний (1.1) можно получить и из закона сохранения полной механической энергии 

 

2
2
const.
2
2
mx
kx
E
′
=
+
=
  
(1.5) 

Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия маятника (v = x′ ), 
второе слагаемое — потенциальная энергия деформированной 
пружины.  
Поскольку 
const,
E =
 то 
/
0.
dE dt =
 Продифференцируем 
уравнение (1.5) по времени: