Модели финансовой математики

Министерство науки и высшего образования  
Российской Федерации

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Б. И. Ананьев, Н. В. Гредасова

Модели финансовой  

МатеМатики

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета  
для студентов вуза, обучающихся по направлению  
подготовки 01.03.04 — Прикладная математика

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 336.6:519.6(075.8)
ББК 65.261+22.1я73
          А64
Рецензенты: 
кафедра «Естественнонаучные дисциплины» УрГУПС  
(завкафедрой — д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева);

старш. науч. сотр. ИММ УрО РАН, канд. физ.-мат. наук,  
доц. В. Л. Розенберг

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

 
Ананьев, Б. И.
А64   Модели финансовой математики : учебное пособие / Б. И. Анань- 
ев, Н. В. Гредасова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 
108 с.

ISBN 978-5-7996-2637-2

Пособие подготовлено на основании опыта чтения лекций и ведения 
практических занятий по моделям финансовой математики. Используется 
подход, основанный на понятиях теории вероятности. Приводятся примеры  
и упражнения для самостоятельного решения. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика».
Библиогр.: 11 назв. Рис. 3.

УДК 336.6:519.6(075.8)
ББК 65.261+22.1я73

ISBN 978-5-7996-2637-2 
© Уральский федеральный

 
     университет, 2019

Оглавление

Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1.
Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.
Зависимость между случайными величинами . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
9
1.2.
Линейная однофакторная регрессия. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
9

Глава 2.
Портфели ценных бумаг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.
Статический портфель ценных бумаг и его характеристики . . . . . . .. . . . . . . . . 12
2.2.
Влияние корреляции разных ценных бумаг . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .
12
2.3.
Влияние полной прямой и обратной корреляции . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . 13
2.4.
Оптимальные портфели Марковица . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13
2.5.
Оптимальные портфели Тобина . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14
2.6.
Учёт неотрицательности долей вложения . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .
16
2.7.
Формирование портфеля с помощью ведущего фактора рынка . . . . . . . . . . . .. 17
2.8.
Оптимальный портфель в зависимости от ведущего фактора... . . . . . . . . . . .. 19

Глава 3.
Динамические одношаговые портфели. Арбитраж . . . . . . . . . . . .
21
3.1.
Одношаговые рынки. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 21
3.2.
Отсутствие арбитража и мартингальная мера. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . 22
3.3.
Достижимые выплаты и норма прибыли . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . 25
3.4.
О безарбитражности рынка с бесконечным числом активов . . . . . . . . .. . . . . . .
26
3.5.
Геометрическая интерпретация безарбитражности . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . 27

Глава 4.
Производные ценные бумаги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1.
Безарбитражные цены . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29
4.2.
Модели полного рынка . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .
32
4.3.
Случай двухточечного вероятностного пространства. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . 33

Глава 5.
Динамические многошаговые портфели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.1.
Многошаговая модель рынка . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 35
5.2.
Арбитраж и мартингальные меры. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . 36
5.3.
Дополнения и упражнения . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
42
5.4.
Европейские платёжные обязательства.. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 45
5.5.
Полные рынки . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 50
5.6.
Примеры безарбитражных рынков . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .
52
5.6.1. Биномиальный рынок. . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . 52
5.6.2. Гауссовский рынок . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 55

Глава 6.
Американские платёжные обязательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.1.
Изучение с точки зрения продавца . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . 57
6.2.
Стратегии остановки для покупателя . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
59
6.3.
Безарбитражные цены . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 65
6.4.
Дополнения и упражнения . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
68

Глава 7.
Суперхеджирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

Оглавление

7.1.
P-супермартингалы. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . 74
7.2.
Суперхеджирование для американских и европейских обязательств . . . .. . . . 75
7.3.
Об эффективном хеджировании . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 78

Глава 8.
Сходимость к цене Блэка — Шоулса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.1.
Обоснование сходимости. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 82
8.2.
Экзотические опционы и случайное блуждание . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 90
8.3.
Аппроксимация цены непрерывного барьерного опциона. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . 95

Глава 9.
Основные приёмы работы в системе MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9.1.
Командное окно. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 97
9.2.
Символьные вычисления . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
98
9.3.
Функции пользователя.. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . 99
9.4.
Элементарная графика . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
99

Список библиографических ссылок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Задания для курсовой работы.. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 103
Цели и задачи курсовой работы . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . 103
Требования к содержанию и оформлению пояснительной записки к курсовой
работе.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . 103
Задача 1 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104
Задача 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104
Задача 3 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104
Задача 4 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104
Задача 5 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104
Задача 6 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 105

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Обозначения

X ∩ Y, X ∪ Y — пересечение и объединение множеств X и Y .
x ∈ X ⊂ Y — элемент x подмножества X множества Y .
Ac = Ω \ A — дополнение множества A.
¯X, int X — замыкание и внутренность множества X.
∂X = ¯X \ int X — граница множества X.
f : X → Y — отображение f множества X в множество Y .
N — множество натуральных чисел, N0 = N ∪ {0}.
R — поле действительных чисел; C – поле комплексных чисел.
Rn — линейное пространство вектор-столбцов с элементами из R.
′ — знак транспонирования.
x · y = x′y — скалярное произведение векторов x, y ∈ Rn.
∥x∥ — норма вектора x в банаховом пространстве; например, ∥x∥ =
= max{|x1|, . . . , |xn|}, если x ∈ Rn.
d(x, A) = inf {∥x − y∥ : y ∈ A} — отклонение точки x от множества A в
банаховом пространстве.
J — промежуток в R, т. е. связное выпуклое множество вида [a, b], (a, b),
[a, b) или (a, b], где a < b. Если a ̸∈ J и/или b ̸∈ J, то допускается, чтобы
a = −∞ и/или b = +∞.
fxi = ∂f(x1, . . . , xn)/∂xi – частная производная функции f(x1, . . . , xn).
Аналогичное обозначение используется и для вектор-функций f.
Функция f с непрерывными частными производными до второго порядка
включительно называется гладкой.
∃; ∀ – существует; для всякого.
E — математическое ожидание, D — дисперсия.
□ — конец доказательства.

Предисловие

Предмет «Финансовая математика» возник сравнительно недавно, в последней трети XX века. Математический аппарат предмета составляют понятия теории вероятностей и теории случайных процессов в непрерывном
и дискретном времени. Предполагается, что студенты знакомы с основами
этих дисциплин. Однако для полноты изложения некоторые необходимые
сведения напоминаются в пособии, с доказательствами или без них. Для
более полного понимания читателям рекомендуется обращаться к учебникам [1–5].
Главной задачей авторов было изложение достаточно широкого круга
вопросов и конкретных моделей, связанных с финансовой математикой,
для студентов-математиков. Большинство динамических моделей представляется в дискретном времени. Это связано с тем, что математически корректное изложение моделей с непрерывным временем требует рассмотрения понятий броуновского движения и стохастических дифференциальных
уравнений. Это потребовало бы существенного увеличения объёма пособия.
Следует отметить, что во многих университетах США и Европы существуют специальности «финансовая математика» и «финансовая инженерия».
Как правило, данные специальности принадлежат математическим факультетам. Выпускники специальностей успешно работают в научных учреждениях, банках, страховых и иных финансовых организациях. В России
существует Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Москва). При нём имеется два варианта магистратуры по профилю «Финансовая математика и анализ рынков». Основная специальность
обучения — «Финансы и кредит». Таким образом, выпускники университета являются скорее экономистами, чем математиками широкого профиля.
Математические аспекты теории разрабатывались в России и продолжают
разрабатываться А.Н. Ширяевым и его учениками. Монография [6] завоевала широкую известность среди специалистов в мире.
Обычно центральным местом дискретной финансовой теории является
динамическая теория арбитража. Данная теория выделяет из всей совокупности финансовых рынков « справедливо» устроенные рынки, на которых отсутствуют арбитражные возможности. Основные понятия вначале
излагаются на одношаговой модели, а затем обобщаются на многошаговый
случай. В науке о финансах особенно важна оценка действующим лицом
(инвестором, участником рынка и т. п.) дохода и риска финансовой операции. Следует иметь в виду, что финансы являются лишь частью экономики.

Предисловие
7

Лидерами экономики являются производители материальных ценностей и
услуг: автомобилей, магнитофонов, компьютеров и т. п. Именно в реальном секторе экономики происходит наполнение рынка, финансовая сфера
занимается лишь обслуживанием этого сектора. Вместе с тем к настоящему
времени в финансовой математике получены изящные, чисто математические результаты, с которыми авторы пособия постараются познакомить.
Основное внимание уделяется описанию и обоснованию моделей, а также
построению алгоритмов. Построенные алгоритмы чаще всего универсальны и не зависят от языков программирования и конкретных вычислительных систем.
В пособии мы попытались показать некоторые преимущества разработки алгоритмов в конкретной системе MatLab. Самостоятельная работа, решение достаточного количества задач и выполнение лабораторных работ
должны научить студентов основным приёмам финансового моделирования и применению соответствующих методик. Авторы старались включить
в пособие разнообразные примеры и описания моделей, а также иногда
и тексты программ на языке MatLab. Многие главы содержат задачи и
упражнения. Материал пособия соответствует программе курса «Модели
финансовой математики». Помимо системы MatLab, к настоящему времени
имеются хорошо разработанные интегрированные пакеты для ЭВМ типа
Mathematica, Maple и др., позволяющие численно и с высокой точностью
решать дифференциальные уравнения, проводить оптимизацию и т. д. Однако именно система MatLab завоевала наиболее широкую популярность во
многих приложениях благодаря своей универсальности и развитым средствам визуализации. В пособии содержится больше материала, чем можно
было бы изложить на лекциях за отведённое время. Некоторые вопросы
студенты могут изучить самостоятельно, а также написать по ним курсовую или дипломную работу. Для более углубленного изучения математических методов финансового моделирования и системы MatLab можно
рекомендовать книги [6,7,10,11,13–19]. В них же приведены многочисленные задачи и упражнения.
Материал данного пособия разбит на главы, пронумерованные параграфы и пункты. Внутри параграфа идут утверждения, леммы, теоремы, замечания, примеры и упражнения, относящиеся к данному параграфу.
Опишем кратко содержание пособия по главам. В первой главе напоминаются понятия, связанные со случайными величинами. Во второй главе рассматриваются статические портфели ценных бумаг, понимаемые как
конечные наборы неотрицательных случайных величин. Выделяются оптимальные портфели в смысле минимума среднего риска вложения или в

Предисловие

смысле максимума среднего дохода при ограничении на риск. Рассматривается учёт неотрицательности долей вложения и зависимость портфеля
от ведущего фактора рынка. В третьей главе для одношаговых рынков
вводятся фундаментальные понятия арбитража и устанавливается основная теорема о безарбитражности. Даётся геометрическая интерпретация
безарбитражности. Попутно приводятся некоторые необходимые сведения
из теории меры. В четвертой главе изучаются производные ценные бумаги (функции от случайных активов) и их безарбитражные цены. Здесь
же вводится понятие полных рынков. Пятая глава является центральной.
Водятся многошаговые модели рынка и портфели на них, именуемые также стратегиями инвестора. Особый интерес представляют самофинансируемые стратегии. Обобщается понятие безарбитражности рынка. Показано, что достаточно абстрактная теория мартингалов находит практическое
применение при исследовании финансовых рынков. В параграфе 5.4 изучаются европейские платёжные обязательства, предъявляемые к оплате в
конечный момент. В параграфе 5.5 даётся характеризация полных рынков,
вероятностное пространство которых по существу конечномерно. В заключение приводятся примеры биномиального и гауссовского рынков, первый
из которых полон. В шестой главе изучаются американские платёжные
обязательства, которые предъявляются к оплате в произвольный момент.
Рассматривается хеджирование таких обязательств с точки зрения как продавца, так и покупателя таких ценных бумаг. В седьмой главе исследуется
суперхеджирование, т. е. нахождение такой самофинансируемой стратегии
инвестора, которая покрывает все расходы, связанные с продажей американского платёжного обязательства. При этом европейские обязательства
являются частным случаем американских. Хотя мы и не рассматриваем
подробно непрерывный случай, в восьмой главе всё же даётся описание
сходимости дискретной схемы с одним рисковым активом к непрерывному случаю геометрического броуновского движения. При этом цены обязательства сходятся к цене Блэка — Шоулса. Обоснование этого процесса
основано на центральной предельной теореме. В параграфе 8.2 мы возвращаемся к биномиальному рынку и рассматриваем некоторые экзотические
опционы и их связь со случайным блужданием. В параграфе 8.3 даётся аппроксимация непрерывного барьерного опциона. Девятая глава посвящена
описанию некоторых приёмов работы в системе MatLab. В приложении
предлагаются примерные темы для курсовых работ.

Глава 1

Случайные величины

1.1. Зависимость между случайными величинами

Пусть случайные величины x, y имеют математические ожидания mx =
= Ex, my = Ey и дисперсии Dx = E(x − mx)2, Dy = E(y − my)2. Взаимная
ковариация Kx,y этих величин определяется как Kx,y = E(x−mx)(y −my).
Другие полезные характеристики — это среднеквадратичные отклонения
σx = √Dx, σy =
Dy и коэффициент корреляции или корреляционный
момент
kx,y = Kx,y

σxσy
.

Поскольку в силу неравенства Коши — Шварца из математического анализа [1, 2] получаем, что |Kx,y| ⩽ √Dx
Dy = σxσy, то |kx,y| ⩽ 1. Из того
же соотношения Коши — Шварца следует, что равенство |kx,y| = 1 эквивалентно линейной зависимости между величинами x, y. Сформулируем эти
факты в виде утверждения.

Утверждение 1.1. Коэффициент корреляции между случайными величинами x, y удовлетворяет неравенству |kx,y| ⩽ 1. Равенство |kx,y| = 1
возможно тогда и только тогда, когда x − mx = a(y − my), причём
x − mx ̸= 0, y − my ̸= 0, a = const.

Если kx,y = 1, то говорят, что между величинами x, y имеется полная
прямая корреляция. Если же kx,y = −1, то между величинами имеется
полная обратная корреляция. В первом случае в утверждении 1.1 число
a = σx/σy, а во втором a = −σx/σy. Если Kx,y = 0, то величины x, y
некоррелированы. Это более слабое свойство, чем независимость величин,
когда P(x < a, y < b) = P(x < a)P(y < b) для любых чисел a, b ∈ R [4].

1.2. Линейная однофакторная регрессия

Пусть x, y — случайные величины с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями. На практике случайные величины, возникающие
в результате многократно проводимого эксперимента, могут быть ненаблюдаемыми. Приблизим ненаблюдаемую величину x с помощью линейной
комбинации наблюдаемой y, составив функцию F(a, b) = E(x − a − by)2

и решив задачу
F(a, b) → min
a,b .

Гл. 1. Случайные величины

Преобразуем F(a, b) = b2Dy−2bKx,y+Dx+(a−mx+bmy)2. Приравнивая
к нулю частные производные Fb, Fa, получаем:

Fb = 2bDy − 2Kx,y + 2(a − mx + bmy)my = 0, Fa = 2(a − mx + bmy) = 0.

Отсюда однозначно определяются оптимальные числа a∗ = mx − bmy b∗ =
= Kx,y/Dy, и

min
a,b F(a, b) = Dx − K2
x,y/Dy = σ2
x(1 − k2
x,y).

Величина a∗ + b∗y = mx + Kx,y(y − my)/Dy является наилучшим приближением к x. В случае некоррелированности наилучшим приближением
будет математическое ожидание mx.
На практике совместное распределение величин x, y, как правило, неизвестно. Поэтому всё считают по имеющимся реализациям случайных величин. Пусть X = [x1; . . . ; xN], Y = [y1; . . . ; yN] — выборки-столбцы объёма
N. Средние выборок — это числа ¯X = xi/N и ¯Y = yi/N. Взаимная
выборочная ковариация определяется как
ˆKX,Y = (X − ¯X) · (Y − ¯Y )/N =
(xi − ¯X)(yi − ¯Y )/N.

Здесь и далее используются обозначения из MatLab, где сложение скаляра с вектором означает сложение скаляра с каждым элементом вектора.
Число ˆKX,X — это выборочная дисперсия ˆDX, а ˆσX =
ˆDX — это выборочное среднеквадратичное отклонение. Выборочный коэффициент корреляции определяется так же, как и выше,

ˆkX,Y =
ˆKX,Y
ˆσX ˆσY
.

Для этого коэффициента дословно выполняется утверждение 1.1 c понятными изменениями в обозначениях. Если рассмотреть задачу наилучшего приближения выборки X с помощью линейной комбинации выборки
Y , то наилучшим приближением будет величина ¯X + ˆKX,Y (Y − ¯Y )/ ˆDY .
В случае некоррелированности наилучшим приближением будет векторстолбец [ ¯X; . . .; ¯X] из средних. В дальнейшем символом [x1; . . .; xn] может также обозначаться произвольный упорядоченный набор произвольных элементов {xi}. При этом {x1, . . . , xn} означает само множество, т. е.
неупорядоченный набор. Для чисел символ [x1, . . . , xn] — это вектор-строка. Для двух элементов, как правило, [a, b] ⊂ R — это сегмент, если не
оговорено другое.

Упражнение 1.2. Найти вид функции F(a, b), минимум которой в
задаче наилучшего линейного приближения выборки будет равен ˆDX−
− ˆK2
X,Y / ˆDY = ˆσ2
X(1 − ˆk2
X,Y ).