Колебания систем с одной степенью свободы

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

А.А. Ципилев

Колебания систем 

с одной степенью свободы 

Учебно-методическое пособие

УДК 629.3.027.3
ББК 39.336
 
Ц67

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6846/

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Многоцелевые гусеничные машины и мобильные роботы»

Рекомендовано Научно-методическим советом 

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Ципилев, А. А.

Колебания систем с одной степенью свободы : учебно- 

методическое пособие / А. А. Ципилев. — Москва : Издатель-
ство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 21, [7] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5403-7

Пособие предназначено для выполнения домашнего задания «Коле-

бания систем с одной степенью свободы» по первому модулю дисциплин 
«Динамика транспортных средств» и «Динамика механических систем». 
Приведен пример выполнения домашнего задания, представлены кон-
трольные вопросы для подготовки к защите домашнего задания, крите-
рии качества его выполнения, а также варианты домашнего задания.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специ-

альностям 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» и 
23.05.02 «Транспортные средства специального назначения».

УДК 629.3.027.3
ББК 39.336

Ц67

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство

ISBN 978-5-7038-5403-7 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Дисциплины «Динамика транспортных средств» и «Динамика 

механических систем», читаемые для студентов специальностей со-
ответственно 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические 
средства» и 23.05.02 «Транспортные средства специального назна-
чения», включают в себя три модуля, изучаемых последовательно в 
течение одного семестра. 

Пособие предназначено для того, чтобы помочь студентам вы-

полнить домашнее задание «Колебания систем с одной степенью 
свободы» по первому модулю указанных дисциплин. Этот модуль 
посвящен основам теории колебаний, а именно изучению источни-
ков колебательных процессов в транспортных машинах, типов ко-
лебаний и колебательных систем, внешних и внутренних сил, прин-
ципов решения задач, а также получению практических навыков 
составления физических и математических моделей, их реализации 
в программной среде MATLAB Simulink и аналитического решения. 

Цель учебно-методического пособия — помощь студентам в при-

обретении предусмотренных программой курса компетенций, заклю-
чающихся в практических навыках определения типа колебательной 
системы, составления физической и математической моделей, опре-
деления законов движения в различных режимах работы системы.

В пособии приведены основные теоретические положения, по-

зволяющие выполнить домашнее задание; пример его выполнения; 
требования к оформлению; контрольные вопросы, позволяющие 
самостоятельно подготовиться к защите домашнего задания; кри-
терии качества выполнения домашнего задания; варианты задания.

Ниже приведены источники, которые помогут студенту расши-

рить знания в области теории колебаний механических систем:

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: 

Наука, 1991. 256 с.

Харитонов С.А., Ципилев А.А. Динамика механических систем: 

учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. 198 с.

Основные обозначения

 
a — обобщенная масса системы

 
b — обобщенный коэффициент трения системы

 
С0 — аэродинамический коэффициент сопротивления

 
c — обобщенный коэффициент жесткости системы

 
F — восстанавливающая сила

 
g — ускорение свободного падения

 
H — амплитуда вынуждающей силы

 
k — собственная частота системы

 k1, k2  — частота свободных затухающих колебаний системы с трением  
 
 
 
при малом и большом сопротивлении соответственно

 
l — длина подвеса

 
m — масса

 
P — вынуждающая сила

 
p — частота вынуждающей силы

 
Q — обобщенная сила, действующая на систему

 
q — обобщенная координата системы

 
q— обобщенная скорость системы

 
q— обобщенное ускорение системы

 
R — сила трения

 
T — кинетическая энергия системы; период колебаний

 
t — время

 
U — потенциальная энергия системы

 
α — угловое смещение центра масс

 
φϕ — угол отклонения системы от положения равновесия

 
ψ — коэффициент затухания

1. Теоретическая часть

1.1. Основные типы колебательных систем

В теории колебаний существует несколько способов класси-

фикации колебательных систем. Первый — классификация по 
числу степеней свободы. В соответствии с ним выделяют колеба-
тельные системы с одной степенью свободы, с конечным числом 
степеней свободы и с бесконечным числом степеней свободы (их 
также называют системами с распределенными параметрами). Су-
ществует классификация по способу возбуждения колебаний.  
В соответствии с ней анализируют свободные, вынужденные, па-
раметрические и автоколебания. Отдельно рассматривают ударный 
способ возбуждения колебаний. Кроме того, колебательные си-
стемы подразделяют на консервативные и неконсервативные,  
а также на линейные и нелинейные.

Каждый из способов классификации дополняет другой, так что 

система с любым числом степеней свободы может иметь любой 
способ возбуждения колебаний и при этом быть или не быть кон-
сервативной.

Наиболее простой задачей является анализ свободных колеба-

ний линейной консервативной системы с одной степенью свобо-
ды. Как правило, введение в теорию колебаний начинается с по-
становки задачи именно в такой форме. Консервативные системы, 
т. е. системы без внутренних потерь (без трения), являются в опре-
деленном смысле идеализированным объектом, однако именно 
они позволяют в полной мере осознать особенности протекания 
колебательных процессов во всем их многообразии.

1.2. Составление физической и математической моделей

Составление физической модели — это выбор расчетной схемы, 
т. е. переход от реальной механической системы к упрощенной, 
но дающей достаточную для решения задачи точность. Например, 
качающегося на качелях человека условно можно представить 

как математический маятник, если масса подвеса незначительна в 
сравнении с массой человека. Если длина подвеса велика, а углы 
отклонения незначительны, то колебания можно представить малыми, 
а систему — линейной. Такой выбор упрощает физическую 
модель и в конечном счете значительно облегчает составление математической 
модели и ее последующее решение.

В свою очередь, математическая модель представляет собой 

математическое описание поведения физической модели, выраженное 
алгебраическими и дифференциальными уравнениями. 
Таким образом, математическая модель всегда описывает реальную 
систему с определенными допущениями, т. е. имеет некоторую 
погрешность.

Основной критерий составления физической и математической 

моделей — сохранение приемлемой точности при максимальной 
простоте расчетной схемы.

При составлении математической модели применимы два мето-

да. Первый основан на использовании уравнения Лагранжа 2-го рода 
и рекомендуется для большинства задач. В общем виде для систе-
мы с i степенями свободы уравнение можно записать так:

d
dt

T
q

T
q

U
q
Q

i
i
i

i

∂
∂





 − ∂

∂
+ ∂

∂
=
,

где t — текущее время; Т — кинетическая энергия системы, опре-
деляемая как обобщенными координатами, так и обобщенными 
скоростями; qi, 
iq  — обобщенные скорости и координаты системы; 

U — потенциальная энергия системы, определяемая только обоб-
щенными координатами;  Qi — обобщенная сила, действующая в 
направлении обобщенной координаты и определяемая обобщен-
ными координатами, скоростями и временем.

Второй — квазистатический метод, основанный на использо-

вании принципа Д’Аламбера. В этом случае рассматривают равно-
весие системы с приложенными к ней силами инерции:

m q
F
i i
ij

j

i

=

=∑

1

, 

где mi — масса; qi  — обобщенное ускорение i-й массы системы; 
Fij — j-я сила, приложенная к i-й массе системы. 

Квазистатический метод следует применять только в тех случа-

ях, когда известны абсолютно все силы, действующие на систему.

1.3. Решение задачи колебаний 

Под решением задачи колебаний подразумевают расчет часто-

ты и амплитуды колебаний, определение устойчивости колебатель-
ного процесса, нахождение закона движения колебательной системы. 
Закон движения можно найти только решением дифференциального 
уравнения, для получения остальных свойств уравнение достаточно 
лишь проанализировать. В общем виде дифференциальное урав-
нение колебаний для системы с одной степенью свободы можно 
записать так:

aq
R q
F q
Q t
+
+
=
( )
( )
( ),

где a — обобщенная масса системы; q  — обобщенное ускорение 
системы; R q
( )— сила трения; F q
( ) — восстанавливающая сила; 

Q(t) — обобщенная сила, действующая на систему.

В случае линейной системы при гармоническом внешнем воз-

действии уравнение упрощается и принимает вид

aq
bq
cq
H
pt
+
+
=
sin
,

где b — обобщенный коэффициент трения; c — обобщенный ко-
эффициент жесткости системы; H — амплитуда вынуждающей си-
лы; p — частота вынуждающей силы.

Зная вид уравнения, можно определить собственную частоту 

системы k:

k
c a
=
,  

частоту свободных затухающих колебаний при малом

k
k
n
1

2
2
=
−
,  n = b/(2a)

и большом сопротивлении

k
n
k
2

2
2
=
−
,

амплитуду свободных колебаний консервативной системы

A
q
q
k
=
+
0
2
0
2

2
и системы с вязким трением

(
)
2

0
0
2
0
2
1

,
q
nq
A
q
k

+
=
+

амплитуду установившихся вынужденных колебаний консервативной 
системы

A
h

k
p
n p

=

−
(
) +
2
2 2
2
2
4

,

где h = H/a — приведенная амплитуда колебаний.

Закон движения в общем виде может быть записан следующим 

образом:

1) для свободных колебаний консервативной системы

q
q
kt
q
k
kt
=
+
0

0
cos
sin
;
2) для вынужденных колебаний консервативной системы при 

гармоническом воздействии

q
q
kt
q
k
kt
hp

k k
p
kt
h

k
p
pt
=
+
−
−
(
)

+
−

0

0

2
2
2
2
cos
sin
sin
sin
;
3) для свободных колебаний системы с линейным трением

q
q
k t
q
q n

k
k t
nt
=
+
+






−
e
0
1

0
0

1

1
cos
sin
;
4) для вынужденных колебаний системы с линейным трением 

при гармоническом воздействии

q
q
k t
q
nq

k
k t

A
k t
n

nt

nt

=
+
+




 +

+
+

−

−

e

 e

0
1

0
0

1

1

1

cos
sin

sin cos
si

θ
n
cos
sin

sin
,
,

θ
θ

θ
θ

−




 +

+
−
(
)
=
−

=

−

p

k
k t

A
pt
np

k
p

A
h

k
p

1

1

2
2

2
2

2
 
tg

(
) +
2
2
2
4n p

;

5) для свободных колебаний системы с сухим трением

q

d
q
kt
q
k
kt
q

d
q
kt
q
k
kt
q

=

+
+
<

−
+
+
>

0

0

0

0

0

0

cos
sin
;

cos
sin
;

при

при










6) для вынужденных колебаний линейной системы при дей-

ствии произвольно изменяющейся силы

q
ak
Q t
k d

t

=
=
−
∫

1

0

(
)sin
.
ϑ
ϑ ϑ

Данная зависимость описывает закон движения системы при ну-
левых начальных условиях. В случае ненулевых начальных условий 
к этому выражению добавляются слагаемые, соответствующие сво-
бодным колебаниям системы.

2. Структура и пример выполнения домашнего 

задания

2.1. Задание и исходные данные

Некое существо массой m качается на качелях с подвесом дли-

ной l. Начальное отклонение от положения равновесия составля-
ет x (в проекции центра масс существа на горизонтальную ось). 
При качании положение центра масс существа периодически сме-
щается от оси, совпадающей с осью подвеса. Закон изменения по-
ложения центра масс — α(t). Центр масс в невозмущенном поло-
жении расположен на расстоянии 0,34 м от нижнего края подвеса 
в направлении шарнира подвеса. В шарнире подвеса качелей дей-
ствует сила трения, такая, что за один период амплитуда свобод-
ных колебаний системы уменьшается на 5 %. Спустя время t1 от 
начала колебаний начинает действовать сила сухого трения R, ко-
торая возникает в диапазоне перемещений [−x/3; x/3]. В момент 
времени t2 существо прекращает раскачиваться, а в момент време-
ни t3 решает спрыгнуть с качелей. Для заданных условий выпол-
нить следующее.

1. Составить дифференциальные уравнения линейной и нели-

нейной колебательных систем. 

2. Определить собственную частоту колебаний консервативной 

системы.

3. Вычислить обобщенный коэффициент трения системы.
4. Рассчитать частоту свободных колебаний системы с трением.
5. Определить максимальное отклонение системы от положе-

ния равновесия. 

6. Составить имитационные математические модели движения 

существа на качелях и после прыжка с качелей, исследовать по-
ведение системы после прыжка до момента приземления. Считать, 
что вся масса существа сосредоточена в центре масс. Расстояние 
от точки подвеса качелей до земли z0. Аэродинамический коэф-
фициент сопротивления тела существа C0. Площадь лобового со-
противления тела S, отрыв происходит без изменения мгновенной 
скорости.

7. Определить, получит ли существо повреждения при призем-

лении. Существо может погасить энергию, накапливаемую при 
свободном падении с высоты h. Существо повреждается, если его 
кинетическая энергия в момент касания земли больше допустимой.

Исходные числовые данные для расчетов представлены ниже:
m, кг ............................ 300
l, м ............................... 40
x, м .............................. –4,4
t1, мин ......................... 5,1
t2, мин ......................... 3
t3, мин .......................... 7,4

R, H .............................. 100
z0, м .............................. 6
C0  ................................. 1,6
S, м2 .............................. 5,0
h, м ............................... 8,4
α0, град ......................... 10

Закон изменения положения центра масс имеет вид

α
α

α
( )
;

.
t
t
T

T
t
T
= −
≤ <

≤ <





0

0

0
2

2

при

  
при

Если x < 0, то следует принять начальный момент времени  

t = 0; в противном случае  t = T/2 (т. е. в начальный момент времени 
угол α всегда увеличивает отклонение от положения равновесия).

2.2. Структура домашнего задания

Домашнее задание состоит из двух взаимосвязанных частей. 
В первой необходимо составить дифференциальное уравнение 

колебаний системы, анализ которого позволяет рассчитать частоту 
собственных колебаний консервативной системы, обобщенный 
коэффициент трения системы и частоту свободных затухающих 
колебаний системы с трением, для которой рассчитывается соот-
ветствующий ей период. Эти данные будут служить исходными и