Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы

А.А. Пожалостин, А.В. Паншина

Колебания механических систем 
с конечным числом 
степеней свободы

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213
 
П46

Издание доступно в электронном виде по адресу 

 https://bmstu.press/catalog/item/6735/

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Теоретическая механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Пожалостин, А. А.
П46  
Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы : учебное пособие / А. А. Пожалостин, А. В. Паншина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 29, [3] с. : ил. 

ISBN 978­5­7038­5398­6
Рассмотрены вопросы, связанные с малыми свободными колебаниями консервативных систем и систем с вязким сопротивлением и 
конечным числом степеней свободы. Приведены контрольные вопросы 
и задания.
Для  студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей, изучающих дисциплину «Теория колебаний».

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

  
© Оформление. Издательство
ISBN 978­5­7038­5398­6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана при изучении дисциплины 
«Теория колебаний», которая входит в основную образовательную 
программу подготовки магистров по профилю «Технологическое 
обеспечение качества изделий» (направление «Технологические машины и оборудование») и соответствует новым образовательным 
стандартам МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Цель пособия — ознакомить студентов с основами теории колебаний. 
В издании рассмотрены малые свободные колебания консервативных систем и систем с линейно­вязким сопротивлением с одной 
и двумя степенями свободы. Для консервативных систем при составлении дифференциальных уравнений движения используются 
принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода, для неконсервативных систем — уравнения Лагранжа II рода. Рассмотрены частотные уравнения и различные случаи их корней, коэффициенты форм 
собственных колебаний, нормальные координаты, парциальные 
системы и парциальные частоты. Приведен пример использования 
«обратного метода» (который практикуется в курсе сопротивления 
материалов) для составления дифференциальных уравнений движения системы.
Материал учебного издания сформирован в виде пяти лекций. 
Лекции содержат теоретическую часть с выводами основных уравнений и соотношений и примеры решения задач. Материал снабжен иллюстрациями. Приведены контрольные вопросы и задания 
для самопроверки, рассчитанные на разный уровень подготовки 
студентов. Представлен список литературы.

Основные условные обозначения

 Т  
— кинетическая энергия системы
 П  
— потенциальная энергия системы

 S  
— функционал действия

 t  
— время
 q(t)  
— обобщенная координата

q t( ) 
— обобщенная скорость

L q q
( , )   
— функция Лагранжа 

 dq 
— возможное перемещение

 m 
— масса
 k  
— жесткость пружины

 x, y, z  
— декартовы координаты

 m  
— коэффициент вязкого сопротивления

Φ( )q   
— функция Рэлея

 n  
— коэффициент затухания
 w  
— собственная частота системы с одной степенью сво- 

  
 
боды

rk   
— радиус-вектор k-й материальной точки системы
 ail  
— приведенные коэффициенты инерции системы

 cil  
— приведенные коэффициенты жесткости системы

 l1, l2  
— коэффициенты распределения амплитуд (коэффици- 

  
 
енты форм собственных колебаний)

 h, x  
— нормальные координаты

 D  
— определитель матрицы

 w1, w2  
— собственные частоты системы с двумя степенями сво- 

  
 
боды

′
′
ω
ω
1
2
,
  
— парциальные частоты системы с двумя степенями 

  
 
свободы

 GJp  
— крутильная жесткость вала

 EJ0  
— погонная изгибная жесткость балки

 j, y  
— угловые координаты системы

 A, B, a, b — постоянные интегрирования дифференциальных  
  
 
уравнений