Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы

А.А. Пожалостин, А.В. Паншина

Колебания механических систем 
с конечным числом 
степеней свободы

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213
 
П46

Издание доступно в электронном виде по адресу 

 https://bmstu.press/catalog/item/6735/

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Теоретическая механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Пожалостин, А. А.
П46  
Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы : учебное пособие / А. А. Пожалостин, А. В. Паншина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 29, [3] с. : ил. 

ISBN 978­5­7038­5398­6
Рассмотрены вопросы, связанные с малыми свободными колебаниями консервативных систем и систем с вязким сопротивлением и 
конечным числом степеней свободы. Приведены контрольные вопросы 
и задания.
Для  студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей, изучающих дисциплину «Теория колебаний».

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

  
© Оформление. Издательство
ISBN 978­5­7038­5398­6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана при изучении дисциплины 
«Теория колебаний», которая входит в основную образовательную 
программу подготовки магистров по профилю «Технологическое 
обеспечение качества изделий» (направление «Технологические машины и оборудование») и соответствует новым образовательным 
стандартам МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Цель пособия — ознакомить студентов с основами теории колебаний. 
В издании рассмотрены малые свободные колебания консервативных систем и систем с линейно­вязким сопротивлением с одной 
и двумя степенями свободы. Для консервативных систем при составлении дифференциальных уравнений движения используются 
принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода, для неконсервативных систем — уравнения Лагранжа II рода. Рассмотрены частотные уравнения и различные случаи их корней, коэффициенты форм 
собственных колебаний, нормальные координаты, парциальные 
системы и парциальные частоты. Приведен пример использования 
«обратного метода» (который практикуется в курсе сопротивления 
материалов) для составления дифференциальных уравнений движения системы.
Материал учебного издания сформирован в виде пяти лекций. 
Лекции содержат теоретическую часть с выводами основных уравнений и соотношений и примеры решения задач. Материал снабжен иллюстрациями. Приведены контрольные вопросы и задания 
для самопроверки, рассчитанные на разный уровень подготовки 
студентов. Представлен список литературы.

Основные условные обозначения

 Т  
— кинетическая энергия системы
 П  
— потенциальная энергия системы

 S  
— функционал действия

 t  
— время
 q(t)  
— обобщенная координата

q t( ) 
— обобщенная скорость

L q q
( , )   
— функция Лагранжа 

 dq 
— возможное перемещение

 m 
— масса
 k  
— жесткость пружины

 x, y, z  
— декартовы координаты

 m  
— коэффициент вязкого сопротивления

Φ( )q   
— функция Рэлея

 n  
— коэффициент затухания
 w  
— собственная частота системы с одной степенью сво- 

  
 
боды

rk   
— радиус-вектор k-й материальной точки системы
 ail  
— приведенные коэффициенты инерции системы

 cil  
— приведенные коэффициенты жесткости системы

 l1, l2  
— коэффициенты распределения амплитуд (коэффици- 

  
 
енты форм собственных колебаний)

 h, x  
— нормальные координаты

 D  
— определитель матрицы

 w1, w2  
— собственные частоты системы с двумя степенями сво- 

  
 
боды

′
′
ω
ω
1
2
,
  
— парциальные частоты системы с двумя степенями 

  
 
свободы

 GJp  
— крутильная жесткость вала

 EJ0  
— погонная изгибная жесткость балки

 j, y  
— угловые координаты системы

 A, B, a, b — постоянные интегрирования дифференциальных  
  
 
уравнений

Лекция 1. Принцип Гамильтона.  
Уравнения Лагранжа II рода

По мнению академика Л.И. Седова, принцип Гамильтона является наиболее общим принципом естествознания. Согласно этому 
принципу, переход материальной системы из одной точки конфигурационного пространства в другую за один и тот же промежуток времени происходит таким образом, что действие S принимает 
экстремальное значение. Для консервативных систем действие S 
выражается функционалом:

  
S
T
dt

t

t
=
−
(
)
∫
Π

1

2
,  
(1.1)

где Т — кинетическая энергия; P — потенциальная энергия материальной системы; t1, t2 — моменты времени начала и конца 
рассматриваемого движения системы.
Получим уравнения Лагранжа II рода для консервативных 
механических систем исходя из принципа Гамильтона. В соответствии с этим принципом вариация действия S (см. (1.1)) 
равна нулю:

  
δ
δ
S
T
dt

t

t
=
−
(
)
=
∫
Π

1

2
0.  
(1.2)

Пусть механическая система имеет одну степень свободы 
(n = 1). Обобщенная координата системы — q(t).
Введем функцию Лагранжа L q q
T
( , ) =
−Π.  Тогда соотноше
ние (1.2) примет вид

  
δ
δ
S
Ldt

t

t

=
=
∫

1

2
0.

В соответствии с постулатом об изохронности вариации обобщенной координаты dq  имеем δq t( )
,
1
0
=
 δq t( )
.
2
0
=

Итак, вариация действия S

  
δ
T q q
q
dt

t

t
( , )
.
 −
[
]
=
∫
Π( )

1

2
0   
(1.3)

Запишем вариации кинетической и потенциальной энергий 
системы:

  
δ
δ
δ
δ
δ
T q q
T
q
q
T
q
q
q
q
q
,
;
.



(
) = ∂

∂
+ ∂

∂
= ∂

∂
Π
Π
( )
  
(1.4)

Соотношение (1.3) с учетом (1.4) примет вид

  
δ
δ
δ
δ
∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂




=
∫
T
q
q
T
q
q
q
q dt

t

t



Π

1

2
0.  
(1.5)

Преобразуем второе слагаемое 
∂
∂
∫
T
q
q dt

t

t



δ

1

2

 из (1.5), интегрируя 

его по частям. Для этого введем обозначения

  
∂
∂
=
=
=
T
q
u
q
dv
v
q


;
;
.
δ
δ

Тогда 

  
du
d
dt
T
q
dt
q
d
dt q
=
∂
∂




=


;
.
δ
δ

Получим

  
∂
∂
= ∂
∂
−
∂
∂




=
∫
∫

T
q
q dt
T
q
q
d
dt
T
q
q dt

t

t

t

t

t

t





δ
δ
δ

1

2

1

2

1

2

  
=
−
∂
∂




∫
0

1

2 d
dt
T
q
q dt

t

t


δ
.   
(1.6)

С учетом (1.6) формула (1.5) примет вид

  
∂
∂
+
∂
∂



 − ∂
∂




=
∫
T
q
d
dt
T
q
q
q dt

t

t


Π

1

2
0
δ
.

В силу произвольности δq ≠ 0  имеем уравнение

  
d
dt
T
q
T
q
q
∂
∂



 − ∂
∂
+ ∂
∂
=

Π
0.   
(1.7)

Уравнение (1.7) есть уравнение Лагранжа II рода для консервативной механической системы с одной степенью свободы.
Пример 1.1. Точечный груз массой m, прикрепленный на конце пружины, движется по гладкой горизонтальной плоскости 
(рис. 1.1). Пружина невесома, жесткость ее равна k.
Составить дифференциальное уравнение движения системы.

Рис. 1.1. Движение точечного груза

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения 
двумя способами:
1) с помощью уравнения Лагранжа II рода;
2) с помощью принципа Гамильтона.
Способ 1. В качестве обобщенной координаты q выберем декартову координату груза x, отсчитываемую от его положения равновесия.
Потенциальная энергия системы Π = kx2 2
/ .

Кинетическая энергия системы T
mx
=
2 2
/ .

Подготовим слагаемые для уравнения Лагранжа II рода (1.7). 
Вычислим частные и полные производные кинетической энергии:

  
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂



 =
T
x
T
x
mx
d
dt
T
x
mx
0;
;
.





Обобщенная сила Q
x
kx
= − ∂
∂
= −
Π
.

Подставив в уравнение (1.7) найденные выражения, получим 
дифференциальное уравнение движения системы для обобщенной 
координаты q
x
= : 
  
mx
kx
+
= 0.

Способ 2. Функция Лагранжа для рассматриваемой системы 
имеет вид

  
L x x
T
mx
kx
,
.


(
) =
−
=
−
Π

2
2

2
2

В соответствии с принципом Гамильтона (см. (1.1)) 

  
δ
δ
L x x dt
mx
kx
dt

t

t

t

t

,
,


(
)
=
⇒
−






=
∫
∫

1

2

1

2
0
2
2
0

2
2

или

  
2
2
2
2
0

1

2
mx x
kx x dt

t

t
 
δ
δ
−




=
∫
.  
(1.8)

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и преобразуем первое слагаемое из (1.8):

  
mx x dt

t

t
 
δ

1

2
∫
.  
(1.9)

Проинтегрируем его по частям, введя обозначения x
u
= , δx
dv
=
.

Тогда du
x dt
= 
. И v
x
= δ ,  так как δ
δ
x
d
dt x
=
.

Получим

  
mx x dt
mx x
mx x dt
mx x dt
t
t

t

t

t

t

t

t
 



δ
δ
δ
δ
=
−
=
−
∫
∫
∫
1
2

1

2

1

2

1

2

0
.

С учетом изохронности вариации обобщенной координаты δx  
имеем δx t( )
,
1
0
=
 δx t( )
.
2
0
=

Подставим в уравнение (1.8) полученное первое слагаемое  
(см. (1.9)):

  
−
−
(
)
=
⇒
+
(
)
=
∫
∫
mx x
kx x dt
mx
kx
x dt

t

t

t

t


δ
δ
δ

1

2

1

2

0
0.

В силу произвольности δx  и δx ≠ 0  дифференциальное уравнение движения точечной массы примет вид

  
mx
kx
+
= 0.

Лекция 2. Влияние линейно-вязкого сопротивления  
на свободные колебания системы  
с одной степенью свободы

Рассмотрим свободные колебания системы со стационарными голономными неосвобождающими связями с одной степенью 
свободы, на которую действует линейно-вязкое сопротивление. 
Пусть F
v
kc
k
k
= −µ
 — сила вязкого сопротивления, действующая 
на k-ю точку механической системы. Сила сопротивления зависит 
линейно от скорости vk  точки. Коэффициент сопротивления 
µk =
>
const
0.

Запишем функцию Рэлея

  
Φ = ∑
1
2

2
µk
k
k
v .   
(2.1)

Поскольку скорость k-й точки 

  
v
dr
dt
r
q
dq
dt
r
q q
k
k
k
k
=
= ∂

∂
= ∂

∂
,  
(2.2)

то функция Рэлея (2.1) примет вид

  
Φ =
∂
∂



 =
∂
∂




=
∑
∑
1
2
1
2
1
2

2

2
2
2
2
µ
µ
k
k

k
k
k

k

r
q q
r
q
q
B q q



( )
,

где

  
B q
r
q
k
k

k
( )
.
=
∂
∂




∑µ

2

Для малых отклонений системы от положения равновесия 

(
)
q
q
≈
≈
0
0
, 
 функцию B q
( )  разложим в степенной ряд в окрестности нуля и ограничимся первым слагаемым 

 B q
r
q
B q
B
q
B

q

B
b
k
k

k
q
q
q
( )
( )
( )
=
∂
∂



 =
+ ∂
∂
+
∂

∂
+
≈
=
∑
=
=
=
µ

2

0
0

2

2
0

1
2
0

> 0.

В результате функцию Рэлея для малых отклонений системы 
от состояния равновесия представим в виде квадратичной формы:

  
Φ = 1
2

2
bq .   
(2.3)

Воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для неконсервативной системы

  
d
dt
T
q
T
q
q
q
∂
∂



 − ∂
∂
= − ∂
∂
− ∂
∂


Π
Φ .   
(2.4)

Кинетическую энергию и потенциальную энергию системы 
также разложим с учетом соотношения (2.1) в степенные ряды 
в окрестности нуля ( ≈ )
q
0  и оставим члены не выше второго порядка малости:

  
T
m v
m
r
q
q
A q q
k
k
k
k
k

k
=
=
∂
∂




=
=
∑
∑
1
2
1
2
1
2

2
2

2
2


( )

  
=
+ ∂
∂
+








≈
=
=

1
2
1
2
0
0

2
2
A
A
q
q
q
aq
q
q
...
,


  
(2.5)

где A q
m
r
q
a
A
A
k
k

k
q
( )
;
( )
,
=
∂
∂




=
=
>
∑
=0
0
0

  
Π
Π
Π
Π
( )
...
q
q
q
q
q
q
q
q
=
+ ∂
∂
+
∂

∂

+
≈
=
=
=
0
0

2

2
0

2
1
2

  
≈
+
∂

∂
=

=
0
1
2
1
2

2

2
0

2
2
Π

q

q
cq

q
,   
(2.6)

где в силу устойчивости положения равновесия (
),
q = 0
 около 
которого рассматривается движение системы, 

  
Π
Π
Π
Π
( )
;
;
.
0
0
0
0
0
0

2

2
0
=
=
∂
∂
=
= ∂

∂
>
=
=
=
q
q
q
q
c
q

С учетом формул (2.3), (2.5) и (2.6) уравнение Лагранжа 
II рода (2.4) примет вид

  
aq
bq
cq


+
+
= 0.  
(2.7)