Кинематика точки и простейшие движения твердого тела

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Кинематика точки
и простейшие движения
твердого тела

Под редакцией А.А. Пожалостина

Методические указания к выполнению
и защите курсового задания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 531.1
ББК 22.21
К41

К41

Авторы: О.П. Феоктистова, Е.Б. Гартиг,
А.А. Панкратов, Ю.Н. Барышников

Рецензент А.В. Горбунов

Кинематика точки и простейшие движения твердого тела : метод. указания к выполнению и защите курсового задания / О. П. Феоктистова и др. ; под ред. А. А. Пожалостина. —
М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. — 46, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3701-6
Представлены краткие сведения о методах определения основных
кинематических характеристик движения точки в зависимости от способов задания ее движения. Разобраны примеры решения задач по кинематике точки. Даны определения простейших движений твердого
тела. Указаны способы задания этих движений. Приведены примеры
решений всех типов задач курсового задания по рассматриваемым
разделам кинематики.
Для студентов младших курсов машиностроительных и приборостроительных специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного
комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 531.1
ББК 22.21

ISBN 978-5-7038-3701-6
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

ВВЕДЕНИЕ

Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором
изучается механическое движение с геометрической точки зрения,
т. е. без анализа причин, вызывающих это движение [1].
Под механическим движением подразумевается происходящее
с течением времени изменение взаимного расположения материальных тел в пространстве.
Понятия пространства и времени — это первичные понятия
кинематики. Ее аксиомами являются аксиомы геометрии, на основе
которой построена кинематика. В теоретической (классической,
или ньютоновой) механике пространство трехмерное, евклидово.
Абсолютно твердое тело, по отношению к которому рассматривается движение материальных тел, называется телом отсчета.
Тело отсчета (как правило, с ним связывается некоторая система
координат) и часы образуют систему отсчета.
Время в ньютоновой механике считается универсальным, т. е.
течет одинаково во всех системах отсчета. Начало отсчета времени
выбирается произвольно.
Основная задача кинематики заключается в следующем: по
заданному движению (точки, тела или некоторой механической
системы) определить различные кинематические характеристики
этого движения (скорость, ускорение и т. д.). Задать движение материальной точки (тела или механической системы) означает дать
способ или алгоритм, позволяющий для любого момента времени
однозначно определить положение точки (тела или механической
системы) в пространстве (в заданной системе отсчета).
Цель методических указаний — дать необходимый теоретический материал для выполнения курсового задания [1—5] по теме
«Кинематика точки. Простейшие движения твердого тела», а также
привести примеры решения задач, которые могут оказать помощь
при выполнении курсового задания.

3

1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Существуют следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный. Все эти способы взаимосвязаны между собой, т. е. возможен переход от одного способа
задания движения точки к другому.

1.1. Векторный способ задания движения точки

Движение точки можно задать, если задать ее радиус-вектор
как функцию времени:

¯r = ¯r(t).
(1..1)

Функцию ¯r(t) для определенности будем считать непрерывной
и дважды дифференцируемой.
Такое задание движения точки предполагает, вообще говоря,
наличие системы координат, но не конкретизирует ее. Векторный
способ задания движения точки используется для теоретических
доказательств и определения основных понятий и кинематических
характеристик движения точки.
Конец радиус-вектора ¯r(t) вместе с точкой M движется в пространстве по некоторой кривой, которая называется годографом
радиус-вектора, или траекторией точки. Если траекторией точки M
является прямая линия, то движение точки M называется прямолинейным, в противном случае — криволинейным.

1.2. Координатный способ задания движения точки

Для задания движения точки координатным способом необходимо ввести системы отсчета с некоторой системой координат и

4

дать зависимости координат точки в виде функций времени. Эти
зависимости называются уравнениями движения точки, заданными в соответствующей системе координат.

1.3. Задание движения точки в декартовой системе координат

Прямоугольная декартова система координат с началом в точке
O и осями Ox, Oy, Oz показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Положение точки M в пространстве задается значениями ее
координат x, y, z. Чтобы знать положение точки в пространстве в
любой момент времени, необходимо иметь уравнения движения
точки в виде
x = x(t); y = y(t); z = z(t).
(1..2)
Уравнения (1.2) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольной декартовой системе координат и одновременно
являются уравнениями траектории точки, записанной в параметрической форме, где параметром является время t.
Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами x, y, z, из уравнений (1.2)
необходимо исключить время. Тогда траекторию точки описывает
система уравнений вида
f1(x, y) = 0;

f2(x, z) = 0.
(1..3)

5