Кинематика сложного движения точки

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана

 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Методические указания к курсовой работе
по теоретической механике

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 7

УДК 539.3
ББК  22.21
          К16

Рецензент Л.П. Варламова

 Кинематика сложного движения точки: Методические
указания к курсовой работе по теоретической механике /
В.В. Дубинин, Г.М. Тушева, Г.И. Гатауллина, А.В. Ремизов. –
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. –  52 с.: ил.

Представлены 40 вариантов задач курсовой работы по курсу теоретической механики на тему «Кинематика сложного движения точки», четыре
примера решения типовых вариантов.
Для студентов 1-го курса.
Ил. 26.

                                                                                                          УДК 539.3
                                                                                                ББК 22.21

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

К16

ВВЕДЕНИЕ

Студент в выданном варианте курсового задания получает
схему механической системы (механизма), описание схемы (с указанием номера варианта задания) и общие условия, в которых указывается, что необходимо определить в задании (контрольные вопросы вариантов).
На схеме варианта курсового задания положение механической
системы (механизма) указано в момент времени t = 1 c в неподвижной системе координат 1 1 1.
x y z  Положение точки М при t = 1 c
студент определяет в подвижной системе координат с помощью
закона относительного движения 
0
( ),
M M
f t
=
 где 
0,
M
M  – начальное и текущее положения точки М. Заданные законы движения механизма справедливы на расчетном отрезке времени, включающем момент времени t = 1 c.
В большинстве вариантов заданий системы совершают движение в плоскости чертежа. В вариантах 7, 27, 28, 30, 31 системы
пространственные.
Использование ЭВМ при расчетах курсовых заданий согласуется с преподавателем.
Размерность в законах движений линейных величин [ ]
S = м,
угловых [ ]
ϕ = рад, [ ]t = с. Размерность соблюдается следующим
образом:

1) 
1
2
2
1
,
kt k
S
a
bt
ct
de
a rt
+
=
+
+
+
+
 где  [ ]
[ ]
S
r
=
= м, тогда

[ ]
[ ]
a
d
=
= м, [ ]
b = м/с, [ ]
c = м/с2, [ ]
k = с–1, 
1
[
]
0
k
=
 (безразмерная вели
чина), 
1
[
]
a
= с–2;

2) 
2
1
1
,
b t
c t
ϕ =
+
 где [ ]
ϕ = рад, 
1
[
]
b
= рад/с, 
1
[
]
c
= рад/с2.

Пример. Если 
2
0,1(6
),
S
t
t
=
−
 то b = 0,6 м/с, с = –0,1 м/с2. Если

2
4
,
t
t
ϕ =
−
 то 1b = 4 рад/с, 1c = –1 рад/с2.
В каждом варианте курсового задания, рассматривая движение
точек М и D как сложное, студент решает для точки М «прямую»
задачу, а для точки D – «обратную» задачу (см. примеры).

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Для момента времени t = 1 c выполнить следующее.
1. Определить:
в вариантах 1–6, 8, 10–12, 16–19, 21–24, 26–29, 32–33 угловые
скорость и ускорение звена, несущего на себе точку М, а также
относительное ускорение точки D (по отношению к звену 2);
в вариантах 7, 14, 20 – абсолютные скорость и ускорение точки
D и ее относительное ускорение по отношению к звену 2;
в вариантах 9, 15, 25, 30, 31, 34 – угловые скорость и ускорение
звена 2 и относительное ускорение точки D по отношению к звену 2;
в варианте 13 – угловые скорость и ускорение звена 2 и относительное ускорение точки (выступа) 
(2)
D
 относительно диска 1;

в вариантах 35–40, связав подвижную систему координат, указанную на схеме механизма, с телом 1, – абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения, а также кориолисово ускорение точки 
( )i
D
 того тела, номер которого i указан при точке.

2. Найти по всех вариантах абсолютные скорость и ускорение
точки М.
3. Изобразить на рисунках схем механической системы (механизма) все векторы скоростей и ускорений точек М и D. Направление определяемых угловых скоростей и ускорений звеньев указать
на схемах круговыми стрелками.
В некоторых вариантах задания при точке D индексом i указан
номер звена, которому она принадлежит. В ряде вариантов в качестве точки D рассматривается малое кольцо.
Для решения и «прямой», и «обратной» задач для сложного
движения точки используются теоремы сложения скоростей и ускорений

r
e
V
V
V
=
+
   и   
,
r
e
k
a
a
a
a
=
+
+

где V  и a  – абсолютные, 
r
V  и 
r
a  – относительные, 
e
V  и 
e
a  – переносные скорости и ускорения точки. Ускорение Кориолиса

2(
),
k
e
r
a
V
=
ω ×
 где 
e
ω  – угловая скорость переносного движения.

Методические указания к выполнению курсовой работы и решению задач по теме «Кинематика сложного движения точки»
(Дубинин В.В., Гатауллина Г.И., Тушева Г.М. М., 2005) содержат
примеры подробного решения разнообразных «прямых» и «обратных» задач и являются основным руководством при выполнении
этого курсового задания. Проработав эти методические указания,
полезно рассмотреть приведенные ниже примеры решения типовых вариантов данного курсового задания.

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ
КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ

Пример 1. Диск 1 (рис. 1) катится без скольжения по прямолинейной направляющей, закон вращения его  имеет вид

2
(3
), [ ]
2
t
t
t
π
ϕ =
−
= c. По пазу 2 на диске движется точка М по за
кону М0М = S = R(1 – coskt), [t] = c. В точке D диска закреплена
шарнирно втулка 3, связанная со стержнем 4, вращающимся вокруг оси O(z1), [ ]
ϕ = рад, [S] = м.

Рис. 1

1. Определить абсолютные скорость и ускорение точки М, угловые скорость и ускорение стержня и относительное ускорение
точки D при t = 1 с.

2. Составить уравнения для определения величин, указанных в
п. 1, в функции времени; провести расчеты на ЭВМ, построить
графические зависимости.
3. Проверить уравнения п. 2 с помощью уравнений кинематики
точки.

Принять 
0,2
R =
 м, 
4
k
π
=
 рад/с, 
0
1,32 м
.
OD
l
=
=

Решение.

1. а) Определим положение системы при t = 0 с и t = 1 c. С

помощью законов движения 
2
(3
),
2
t
t
π
ϕ =
−
 
0,2 1
cos 4
S
t
π
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 по
лучим при t = 0 c  
0
ϕ =
 рад, S = 0 м, при t = 1 c  ϕ = π  рад, S =
= 0,0586 м. Эти два положения изображены на рис. 1. Координаты
точки D равны:

1
1D
sin ,  
(1
cos ),
D
x
l
R
R
y
R
= −
ϕ +
ϕ
=
−
ϕ      
         (1)

при t = 1 с ϕ = π  рад, x1D = l – 
1,32
0,2
0,692
R
π
=
−
π =
 м,

1
0,2(1
cos )
0,4
D
y
=
−
π =
м, 
2
2
1
1 , 
0,8
D
D
OD
x
y
OD
=
+
=
 м, 
o
30 .
α =

б) Будем рассматривать движение точки М как сложное. Неподвижную систему координат 
1 1
1
(
)
Ox y z
 свяжем с неподвижной
направляющей, подвижную систему 
0
M M
S
=
– с диском 1. Тогда
относительное движение точки М – прямолинейное движение по
пазу, переносное – плоское движение диска (движение подвижной
системы 
0
M M
S
=
по отношению к неподвижной 
1 1
1
(
)).
Ox y z
Определим абсолютную скорость точки М при t = 1 c с помощью формулы сложения скоростей

( )
( ).
e
r
M
M
M
V
V
V
=
+
 
(2)

Для переносной скорости

( )
,
e
C
MC
M
V
V
V
=
+
(3)

,  
,  
(
) ,  
,
MC
C
MC
V
MC
V
CP
V
MC
R
S
⊥
=
⋅ω
=
⋅ω =
−
ω
ω = ϕ