Исследование механизмов с высшими кинематическими парами

С.Е. Люминарский, И.Е. Люминарский

Исследование механизмов   
с высшими  
кинематическими парами

Методические указания для подготовки  
к рубежному контролю знаний

Под редакцией Г.А. Тимофеева

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
 
 Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4909-5 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

УДК 531.8 (075.8)
ББК 34.41
 
Л94

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/225/book1820.html

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»
Кафедра «Теория механизмов и машин»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Люминарский, С. Е.

Л94  
Исследование механизмов с высшими кинематическими парами. 

  
Методические указания для подготовки к рубежному контролю зна- 

  
ний / С. Е. Люминарский, И. Е. Люминарский ; под ред. Г. А. Тимо- 

 
феева. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Бау мана, 2018. — 

  
51, [1] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4909-5
Кратко изложен материал разделов «Синтез эвольвентных зубчатых передач», 
«Кинематика планетарных зубчатых механизмов» и «Синтез кулачковых механизмов» дисциплины «Теория механизмов и машин», необходимый для прохождения 
студентами рубежного контроля знаний. Рассмотрены примеры решения типовых 
задач применительно к зубчатым и кулачковым механизмам, предложены задачи 
для самостоятельного решения.  
Для бакалавров и специалистов машиностроительных факультетов МГТУ 

им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплину «Теория механизмов и машин». 

УДК 531.8 (075.8)
ББК 34.41

Учебное издание

Люминарский Станислав Евгеньевич
Люминарский Игорь Евгеньевич
Исследование механизмов  
с высшими кинематическими парами

Редактор Е.К. Кошелева 
Художник Я.М. Асинкритова 
Корректор Л.И. Ильина
Компьютерная графика А.Н. Ивлевой 
Компьютерная верстка Н.Ф. Бердавцевой

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 15.05.2018. Тираж 100 экз. Формат 70×100/16.
Усл. печ. л. 4,23. Изд. № 341-2017. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. press@bmstu.ru
www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com

Предисловие

Механизмы с высшими кинематическими парами имеют ряд достоинств: 
при минимальном числе звеньев позволяют получить необходимый закон 
движения; более точно воспроизводят передаточную функцию; обеспечивают 
большое разнообразие законов движения.
Основой изложенного в учебно-методическом пособии материала 
является многолетний опыт преподавания авторами дисциплины «Теория 
механизмов и машин». 

В пособии представлен материал для самостоятельного изучения 
теории, разбора и самостоятельного решения типовых задач при подготовке 
к прохождению рубежного контроля по теме «Исследование механизмов 
с высшими кинематическими парами». Выполнение заданий рубежного 
контроля предусмотрено учебным планом дисциплины «Теория механизмов 
и машин» для студентов второго курса машиностроительных специальностей.

Цель рубежного контроля — проверка знаний и умений студентов, полученных на лекциях, семинарских и лабораторных занятиях; стимулирование 
познавательной деятельности; контроль полученных знаний об исследовании 
и синтезе эвольвентных зубчатых и кулачковых механизмов.
При прохождении рубежного контроля студент должен решить пять задач по трем разделам дисциплины «Теория механизмов и машин», а именно: 
«Синтез эвольвентных зубчатых передач», «Кинематика планетарных зубчатых механизмов», «Синтез кулачковых механизмов».
В первых трех задачах рубежного контроля выполняются анализ и синтез 
эвольвентных зубчатых передач. При решении этих задач студент должен 
продемонстрировать знание основной теоремы плоского зацепления, свойств 
эвольвенты окружности и эвольвентного зацепления, основных свойств реечного станочного зацепления. 
Четвертая задача посвящена кинематическому анализу и синтезу планетарных зубчатых механизмов. При решении этой задачи студент должен 
показать умение определять передаточные отношения планетарных механизмов, направления и значения угловых скоростей звеньев, а также проверять 
геометрические условия соосности, соседства, сборки и т. д. 

В пятой задаче требуется выполнить анализ кулачковых механизмов. При 
решении этой задачи студент должен продемонстрировать умение определять 
скорость и ускорение толкателя, угол давления, минимальный радиус кулачка, 
межосевое расстояние, зоны допустимого расположения центра вращения 
кулачка на фазовом портрете. 

Рубежный контроль знаний по теме «Исследование механизмов с высшими кинематическими парами» проводится в виде письменной работы, 
студенты выполняют ее на семинарском занятии в течение 90 мин. Пять 
задач, которые студентам предлагается решить при выполнении рубежного контроля, представлены в карте рубежного контроля (см. пример карты 
в приложении 1). В каждой задаче даны пять вариантов ответа, из них после 
решения задачи необходимо выбрать единственный правильный ответ на 
поставленный вопрос. В соответствии с рейтинговой системой, разработанной на кафедре «Теория механизмов и машин», за каждую правильно 
решенную задачу студент получает 3 балла. Рубежный контроль считается 
успешно пройденным, если набрано 9 и более баллов. 

1. ЭВОЛЬВЕНТНАЯ ЗУБЧАТАЯ ПЕРЕДАЧА  
(первая, вторая и третья задачи) 

Первые три задачи рубежного контроля предназначены для проверки 
усвоения основных сведений о синтезе плоских механизмов с высшими парами. Для решения этих задач необходимо знать основную теорему плоского 
зацепления, свойства эвольвенты окружности и эвольвентного зацепления, 
основные свойства реечного станочного зацепления, расчетные формулы для 
определения параметров эвольвентных зубчатых колес и передач. 

1.1. Основная теорема плоского зацепления

При решении задач рубежного контроля используется следующая теорема.
Основная теорема плоского зацепления: общая нормаль, проведенная в 
точке касания к двум сопряженным профилям, делит линию центров O O
1
2

на части, обратно пропорциональные угловым скоростям ω1 и ω2  (рис. 1.1):

  
u
O P
O P
12
1

2

2

1
=
=


ω
ω
.  
(1.1)

В выражении (1.1) верхний знак (минус) соответствует внешнему зацеплению, нижний знак (плюс) — внутреннему зацеплению. 
В задачах рубежного контроля рассматривается только плоское зацепление двух сопряженных профилей, при котором оба звена движутся в одной 
плоскости или в параллельных плоскостях. Схема внешнего плоского зацепления представлена на рис. 1.1. Точка касания двух профилей обозначена K. 
Если точка K принадлежит первому профилю П1, то ее обозначают K1, если 
второму профилю П2 — то K2. В данный момент времени эти точки совпали, 
но имеют различные по значению и направлению скорости. Скорость vK1  
перпендикулярна линии O K
1
,  скорость vK2  — линии O K
2
.  
В соответствии с основной теоремой плоского зацепления два произвольных профиля П1 и П2 в точке касания K имеют общую нормаль n–n, а 
проекции скоростей точек K1  и K 2  на эту нормаль v
v
K
n
K
n

1
2
=
.  
При решении задач указанная теорема позволяет сравнивать касательные составляющие скоростей точек K1  и K 2, направленные вдоль общей 
касательной τ–τ. Для случая, представленного на рис. 1.1, v
v
K
K
2
1
τ
τ
>
.

Общая нормаль n–n пересекает линию центров O O
1
2  в точке Р, которая 
является мгновенным центром скоростей в относительном движении двух 

профилей. При внешнем зацеплении точка Р расположена внутри отрезка 
O O
1
2, а угловые скорости ω1  и ω2  направлены в разные стороны (см. рис. 1.1). 

При внутреннем зацеплении точка Р расположена на линии центров вне 
отрезка O O
1
2, а угловые скорости ω1  и ω2  направлены в одну сторону.

Мгновенный центр скоростей в относительном движении двух профилей 
принято называть полюсом зацепления. Скорость любой точки тела при плоском движении равна произведению угловой скорости и расстояния от этой 
точки до мгновенного центра скоростей. Поэтому относительная скорость 
двух профилей в точке касания (скорость скольжения) равна произведению 
относительной угловой скорости и расстояния от полюса до точки касания:

  
v
LKP
ск =
±
(
)
.
ω
ω
1
2
(1.2)

В формуле (1.2) верхний знак (плюс) соответствует внешнему зацеплению, 
нижний знак (минус) — внутреннему зацеплению.

Задача 1.1. На рис. 1.2 приведена схема зацепления двух профилей. Профиль звена 1 представляет собой окружность радиусом R = 0,3 м, профиль 
звена 2 — прямую линию. Межосевое расстояние LO O
1 2
0 27
=
,
 м, угловая 

скорость первого звена ω1
10
=
 рад/с.
Определить угловую скорость звена 2 в заданном положении.
Решение. В соответствии с теоремой плоского зацепления общая нормаль n–n делит линию центров O O
1
2  на части, обратно пропорциональные 

угловым скоростям двух профилей (рис. 1.3):

  
u
O P
O P
12
1

2

2

1
=
= +
ω
ω
.

Рис. 1.1. Схема внешнего плоского зацепления