Математика в экономике

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 
О. Я. Шевалдина 
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по направлениям подготовки
38.03.01 (080100.62) — Экономика,
38.03.02 (080200.62) — Менеджмент,
09.03.03 (230700.62) — Прикладная информатика, 
38.03.05 (080500.62) — Бизнес-информатика,
38.05.01 — Экономическая безопасность,
036401.65 — Таможенное дело
Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 

УДК 33.4(075.8) 
ББК 65в6я73
          Ш37 
Рецензенты:
главный программист отдела алгебры и  топологии ИММ 
УрО РАН канд. физ.-мат. наук С. Э. Нохрин;
кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (зав. 
кафедрой — д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева) 
Научный редактор  — ведущий научный сотрудник ИММ 
УрО РАН д-р физ.-мат. наук, проф. В. Т. Шевалдин 
Ш37
Шевалдина, О. Я.
Математика в экономике : учебное пособие / О. Я. Шевалдина. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2016. — 
188 с.
ISBN 978-5-7996-1941-1
Пособие содержит теоретические сведения по  разделам «Пределы 
и непрерывность функции одной переменной» и «Дифференциальное 
и интегральное исчисление» и предназначено для проведения лекционных и практических занятий. Приводятся фундаментальные понятия и доказательства ряда классических теорем этих разделов.
В пособии приведены начальные сведения о методах математического 
анализа в экономике. Рассматриваются простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.).
Пособие содержит большой набор иллюстративных примеров и задач 
разного уровня сложности с подробными решениями. Предлагаются 
задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе с экономическим содержанием).
Библиогр.: 11 назв. Рис. 30.
УДК 33.4(075.8) 
ББК 65в6я73
 
ISBN 978-5-7996-1941-1
© Уральский федеральный
     университет, 2016

ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. Предел функции в точке по Коши 
(на языке логических формул). Геометрическая 
интерпретация. Критерий Гейне
Определение. Окрестностью точки x0 ОR  называют любой интервал (c; d), содержащий эту точку.
Возьмем число δ > 0. Определим δ — окрестность точки x0 :
	
O
x
x
x
x
x
x
d
d
d
d
0
0
0
0
(
) =
-
+
(
) =
О
-
<
{
}
:
;
:
R
.	
Заметим, что неравенство x
x
-
<
0
d равносильно двойному 
неравенству x
x
x
0
0
-
<
<
+
d
d . Поэтому O
x
x
x
d
d
d
0
0
0
(
) =
-
+
(
)
;
.
Если из окрестности исключить саму точку x0 , то получим «выколотую» (или «проколотую») окрестность точки x0 , 
обозначаемую O
x

d(
)
0 , то есть 
	
O
x
x
R
x
x

d
d
(
)
:
0
0
0
=
О
<
-
<
{
}.
Очевидно, что O
x
x
x
x
x

∪
d
d
d
(
)
;
;
0
0
0
0
0
=
-
(
)
+
)  (рис. 1.1).

)
( 0
x
Od

 
 
d
-
0
x
 
0
x
 
d
+
0
x
 x   
)
( 0
x
Od

d
-
0
x
0
x
d
+
0
x
x
Рис. 1.1. δ — окрестность точки x0
Окрестности бесконечно удаленных точек -Ґ , +Ґ  и Ґ  
определяются следующим образом:
 
O
x
x
D
D
D
-Ґ
(
) = -Ґ
(
) =
О
<
{
}
:
,
:
R
, 
 
O
x
x
D
D
D
+Ґ
(
) =
+ Ґ
(
) =
О
>
{
}
:
,
:
R
, 
где Δ — произвольное действительное число, 
 
O
x
x
D
D D
Ґ
( ) =
О
>
>
{
}
:
:
,
R
0 .
Очевидно, что O
O
O
D
D
D
Ґ
( ) =
-Ґ
(
)
+Ґ
(
)
:

.
Определение. Точка x0 называется предельной точкой 
множества X, X ОR , если в любой ее окрестности найдутся 
точки из множества X, отличные от x0. Множество предельных точек обозначим через X΄. То есть 
 
x
X
X
O
x
0
0
0
О
ў
(
) = "
>
(
) №Ж
ж
из
ц
шч
:
e
e
∩

.
Пример 1.1. Пусть X
a b
c
c
b
=[
) { }
>
;
,

. Любая точка отрезка a b
;
[
]  является предельной точкой множества X, хотя точка 
x
b
0 =
 и не принадлежит X. Вместе с тем точка x
c
0 =
 принадлежит X, но не является предельной точкой этого множества. 
Итак, 
ў =[
]
X
a b
;
.
Пример 1.2. Пусть X = Q  — множество рациональных чисел. Тогда 
ў =
R , т. е. любая точка множества R (действительных чисел) является предельной точкой для множества 
рациональных чисел.

Предел функции в точке
Пусть f
X
R
x
:
,
®
0 – предельная точка X .
Определение предела функции по Коши 1. Число A  называется пределом функции f (x) в точке x0 (при x
x
®
0 ), если 
для любого положительного числа ε > 0  найдется положительное число d
d e
= (
)
,
,
x0
 такое что для всех x
X
О
, удовлетворяющих условию 0
0
<
-
<
x
x
d, выполняется неравенство
f x
A
( )< e .
В этом случае пишут lim
( )
x
x f x
A
®
=
0
 или f x
A
( ) ®
 при x
x
®
0 .
В логической символике сформулированные условия запишутся в виде:
A
f x
x
x
X
x
x
f x
A
x
x
=
(
) = " >
$ = (
) >
" О
<
-
<
Ю
-
<
(
)
®
lim
( ) :
,
(
( )
)
0
0
0
0
0
0
e
d
d e
d
e . 
Пусть 
0
1
0
2
0
<
Ј
-
-
(
)
d
min
,
x
x
x
x
. На  языке окрестностей стремление 
f x
A
( ) ®
 при x
x
®
0  означает, что 
"
( ) $
" О
Ю
( )О
( )
O
a
O
x
x
X
O
x
f x
O
a
e
d
d
e


∩
(
),
(
)
0
0
 (рис. 1.2).
x  
d 
1x  
0
x
 
  x  
d
+
0
x
 2
x
 
  y 
e
+
A
 
)
(x
f
 
   
  A 
 
 
 
e
-
A
 
(
)
0
x
f
 
Рис. 1.2. Геометрическая иллюстрация предела функции в точке 
Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, один 
из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического анализа.

Пример 1.3. Пусть f x
x
( )
,
,
,
.
=
№
=
м
н
о
1
2
0
2  
Имеем f x
x x
( )
,
-
=
-
=
<
"
№
1
1 1
0
2
e
, т. е. в любой выколотой окрестности точки 
x0
2
=
. Поэтому 
lim
( )
x
f x
®
=
2
1 
(рис. 1.3).
y 
x 
0 
2
1
1
Рис. 1.3. Геометрическая иллюстрация примера 1.3
Пример 1.4. Покажем, что lim
x
x
®=
2
2
4 .
Возьмем произвольное e > 0 . Имеем x
x
x
2
4
2
2
-
=
-
+
. 
Выделим некоторую, например, 1  — окрестность точки 
x0 = –2: интервал (–3; –1). Для любого x О -
-
(
)
3
1
;
 имеем 
- <
-
< -
5
2
3
x
, 
и 
следовательно, 
x -
<
2
5 . 
Поэтому 
x
x
2
4
5
2
-
<
+
< e . Отсюда x +
<
2
5
e .
δ  — окрестность точки x0
2
2
2
= -
- -
+
(
)
:
,d
d  не  должна 
выходить за пределы 1 — окрестности этой точки, поэтому 
берем d
e
=
ж
из
ц
шч
min
,1 5 . Тогда для всех x , удовлетворяющих 
условию 
0
2
5
<
+
<
x
e , 
справедливо 
неравенство 
x
x
x
2
4
2
2
5
5 5
-
=
-
Ч
+
<
Ј Ч
=
d
e
e . Таким образом, lim
x
x
®=
2
2
4 .
Построим отрицание определения предела функции по Коши. 
" О
№
(
) =
= $
"
>
$
= ( )О
<
-
<
Щ
-
і
®
A
A
f x
x
x
X
x
x
f x
A
x
x
R,
lim
( ) :
:
(
)
0
0
0
0
0
e
d
d
d
d
d
e0
(
).
 

Пример 1.5. Рассмотрим функцию sgn
,
,
,
,
,
.
x
x
x
x
=
-
<
=
>
м
нп
оп
1
0
0
0
1
0
 
Покажем, что lim sgn
x
x
®0
 не существует. Это означает, что 
"
$
" >
$
= ( )О -
(
)
(
)
(
) Щ
-
і
A
x
x
f x
A
e
d
d
d
d
e
d
d
0
0
0
0
0
:
,
,
(
)
)

.
Ясно, что A  может принадлежать только множеству 
-
{
}
1 0 1
; ;
. 
Пусть 
A
x
=
=
= -
=
1
1
2
1
2
0
,
,
,
e
d
d
. 
Тогда 
xd
e
= - О -
(
)
(
)
(
) Щ - -
=
>
=
1
2 0
0 2
1 1
2
1
2
0
;
;

. Аналогично показывается, что A
A
= -
=
1
0
,
 не может быть пределом функции 
sgn x  при x ® 0 .
1 
-1 
0 
x
sgn
 
x 
Рис. 1.4. График функции sgn x 
Определение предела функции по Гейне1
Число A  называется пределом функции f x
( ) в точке x0 
(при x
x
®
0 ), если для произвольной последовательности (xn) 
значений x
X
x
О
{ }
\
0 , сходящейся к точке x0, соответствующая последовательность f (xn) значений функции f сходится 
к A , т. е.
A
f x
x
X
x
x
x
f x
A
x
x
n
n
n
n
n
=
(
) = "(
) М
{ }
=
Ю
(
) =
(
)
(
)
®
®Ґ
®Ґ
lim
( ) :
\
lim
lim
0
0
0
.
Генрих Эдуард Гейне (1821 –1881) – немецкий математик. Ученик Дирихле. Занимался преимущественно теорией потенциала, теорией 
функций и дифференциальными уравнениями.

Отрицание определения предела функции по Гейне:
" О
№
(
) = $(
) М
{ }
=
Щ
(
) №
®
®Ґ
®Ґ
A
A
f x
x
X
x
x
x
f x
A
x
x
n
n
n
n
n
R
lim
( ) :
\
lim
lim
0
0
0
(
)
(
).
Пример 1.6. Покажем, что функция f x
x
( ) = cos 1  не имеет 
предела при x ® 0 .
Заметим, что D f( ) =
{ }
R \ 0 . Точка x0
0
=
 является предельной для D f( ) .
Рассмотрим последовательность x
n
n
x
n
n
=
®
® Ґ
№
1
0
0
p
,
,
. 
Соответствующая последовательность значений функции 
f x
n
n
n
(
) =
(
) = -
(
)
cos p
1  (последовательность чисел -
-
1 1
1 1
, ,
, ,)
 не имеет предела. Следовательно, lim cos
n
x
®Ґ
1  не существует.
Пример 1.7. Покажем, что функция f x
x
( ) = sin 1  не имеет 
предела при x ® 0 .
Заметим, что D f( ) =
{ }
R \ 0 . Точка x0 = 0 является предельной для D (f).
Рассмотрим две последовательности:
ў =
®
® Ґ
x
n
n
n
1
0
p
,
, для нее f x
n
nў
(
) =
=
sin p
0 , 
ўў =
+
®
® Ґ
x
n
n
n
1
2
2
0
p
p
,
, для нее f x
n
nўў
(
) =
+
ж
из
ц
шч =
sin p
p
2
2
1.
Итак, предела (по Гейне) не существует.
Теорема 1 (Критерий Гейне)
Определение предела функции по Коши и определение предела функции по Гейне эквивалентны.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует предел 
функции по Коши: lim
( )
x
x f x
A
®
=
0
. Возьмем произвольную последовательность 
xn
(
) , 
x
X
x
n О
{ }
\
0  и 
lim
n
n
x
x
®Ґ
=
0 . Т. к. 
lim
( )
x
x f x
A
®
=
0
, то по заданному e > 0  найдем d = d (e) > 0, такое 
что для всех х, удовлетворяющих условию 0
0
<
-
<
d,  вы

полняется неравенство 
f x
A
( )< e . Так как lim
n
n
x
x
®Ґ
=
0 , 
то по найденному δ > 0 можно найти N
N
N
=
( ) =
( )О
(
)
d
d e
N  
такое, что " >
-
<
n
N
x
x
n
0
d . Но  тогда для этих n имеем 
f x
A
n
(
)< e , т. е. lim
n
n
f x
A
®Ґ
(
) =
. Таким образом, сходимость 
по Гейне доказана.
Достаточность. Предположим противное: пусть существует предел функции по Гейне lim
( )
x
x f x
A
®
=
0
, но не по Коши. 
Это означает, что $ e0>0, такое что для " d > 0 найдется ўО
x
X ,  
такое что 0
0
0
<
ў<
(
) Щ
ў -
і
(
)
x
x
f x
A
d
e
(
)
. Пусть d =
О
1
n
n
,
N . 
Тогда 
для 
каждого 
n  
найдем 
точку 
x
X
n О
0
1
0
0
<
-
<
ж
из
ц
шч Щ
-
і
(
)
x
x
n
f x
A
n
n
(
)
e
. Заметим, что неравенство 
x
x
n
x
n
x
x
n
x
x
n
n
n
-
<
Ы
-
<
<
+
№
0
0
0
0
1
1
1 ,
. 
Так 
как 
lim
lim
n
n
x
n
x
n
x
®Ґ
®Ґ
-
ж
из
ц
шч =
+
ж
из
ц
шч =
0
0
0
1
1
, то по теореме 5 о пределе промежуточной последовательности [13, с.  61] получаем 
lim
,
n
n
n
x
x
x
x
®Ґ
=
№
0
0 . 
Поэтому, 
по 
определению 
Гейне, 
lim
n
n
f x
A
®Ґ
(
) =
, но по построению f x
A
n
(
)і e0 , что противоречит тому, что число A  является пределом функции f 
по Гейне.
1.2. Предел функции в бесконечности
Пусть f
X
:
® R , множество X  не ограничено (не ограничено сверху, не ограничено снизу), x0 = Ґ  ( x0 = +Ґ, x0 = -Ґ ). 
Будем считать x0 обобщенной предельной точкой множества X. Пусть AОR .
Определение
A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( ) >
" О
>
Ю
-
<
(
)
(
)
®Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
0
D
D
D
 — 
предел функции по Коши.

A
f x
x
X
x
f x
A
x
n
n
n
n
n
=
(
) = "(
)О
= Ґ Ю
(
) =
(
)
®Ґ
®Ґ
®Ґ
lim
( ) :
lim
lim
 
— 
предел функции по Гейне.
Аналогично 
A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( )О
" О
>
Ю
-
<
(
)
(
)
®+Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
D
D
D
R
, 
A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( )О
" О
<
Ю
-
<
(
)
(
)
®-Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
D
D
D
R
.
Упражнение. Записать последние два определения предела 
функции по Гейне.
Замечание. lim
( )
x
f x
®+Ґ
, вообще говоря, может не совпадать с 
lim
( )
x
f x
®-Ґ
.
Так, lim
, lim
x
x
x
x
®+Ґ
®-Ґ
=
= -
arctg
arctg
p
p
2
2 .
Геометрическая иллюстрация предела функции в бесконечности
На рис. 1.5 D і
{
}
max
,
x
x
1
2 . Для "
>
Ю
( )<
x
x
f x
A
:
D
e . 
Иначе: " >
$
=
( ) >
" О
Ґ
( ) Ю
( )О
( )
(
)
e
e
e
0
0
D
D
D
x
X
O
f x
O
A

.
Прямая y
A
=
 является горизонтальной асимптотой графика функции.
у 
e
+
A
 
D
-
 
1x  
x
x
D
=
2
 
A
y =
 
)
(x
f
e
-
A
Рис. 1.5. Геометрическая иллюстрация предела функции 
в бесконечности