Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности

Г.С. ВАРДАНЯН,  В.И. АНДРЕЕВ,  
Н.М. АТАРОВ,  А.А. ГОРШКОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ  
С ОСНОВАМИ ТЕОРИИ 
УПРУГОСТИ  
И ПЛАСТИЧНОСТИ

УЧЕБНИК

Под редакцией заслуженного деятеля науки и техники Российской Федерации, 
профессора Г.С. Варданяна и почетного работника высшего профессионального 
образования Российской Федерации, профессора Н.М. Атарова

Второе издание, исправленное и дополненное

Москва 
ИНФРА-М
2023

Рекомендовано  
Государственным образовательным учреждением  
высшего профессионального образования  
«Московский государственный строительный университет»  
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,  
обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»  
(регистрационный № рецензии 1100 от 09.11.2010, МГУП)

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра «Прочность материалов и конструкций»  
Российского университета дружбы народов  
(зав. кафедрой профессор, д-р техн. наук С.Н. Кривошапко);
член-кор. РААСН, профессор, д-р техн. наук Н.Н. Шапошников 
(Московский государственный университет путей сообщения)

Варданян Г.С.

Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности : 
учебник / Г.С. Варданян, В.И. Андреев, Н.М. Атаров, 
А.А. Горшков ; под ред. Г.С. Варданяна и Н.М. Атарова. — 2-е изд., 
испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 512 с. + Доп. материалы [
Электронный ресурс]. — (Высшее образование: Бакалав-
риат). — DOI 10.12737/ 3068.

ISBN 978-5-16-009587-5 (print)
ISBN 978-5-16-100841-6 (online)

В учебнике изложен единый курс сопротивления материалов с основами 

теории упругости, пластичности и ползучести, соответствующий Государственному 
стандарту Федерального Агентства Российской Федерации по образованию 
в области строительства.

Рассмотрены все основные разделы курса, излагаемого студентам вузов 

и факультетов строительного профиля. Некоторые формулы сопротивления 
материалов получены с помощью общих уравнений механики деформируемого 
твердого тела, что способствовало более компактному построению курса.

Учебник может быть также полезен студентам других технических специальностей.


УДК  539.3(075.8)

ББК 30.121я73

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 

в электронно-библиотечной системе znanium  

ISBN 978-5-16-009587-5 (print) 
© Варданян Г.С., Андреев В.И.,

ISBN 978-5-16-100841-6 (online)  
Атаров Н.М., Горшков А.А., 2011, 2014

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73
 
B18

B18

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий учебник написан в соответствии с учебными планами 
и программами для строительных специальностей вузов по 
дисциплине «Сопротивление материалов».
В учебнике изложен единый курс сопротивления материалов с 
основами теории упругости, пластичности и ползучести на основе 
механики деформируемого твердого тела. При этом даются основные 
зависимости механики деформируемого твердого тела, затем 
с использованием этих зависимостей рассматриваются напряженное 
и деформированное состояния и оценка прочности стержней 
при различных видах деформирования. Этот материал излагается 
в первой и второй частях учебника.
В третьей части учебника даются постановка задачи теории упругости 
и методы ее решения. Рассматриваются плоская задача и 
изгиб тонких пластин, а также основы теории пластичности и ползучести. 
Такое объединение разделов механики деформируемого 
твердого тела позволяет более рационально использовать отведенное 
учебным планом время, а главное — добиться более глубокого 
понимания студентами внутренних связей этой науки.
Многие формулы, используемые в традиционных курсах сопро-
тивления материалов, в учебнике получены с помощью общих 
уравнений механики деформируемого твердого тела. Это способствует 
лучшему пониманию тех допущений, которые лежат в основе 
используемых формул, и более обоснованному применению 
их при расчете конструкций на прочность и жесткость.
Некоторые второстепенные вопросы в учебнике изложены менее 
подробно или вообще исключены из рассмотрения, что соответствует 
практике изложения учебного материала в аудиторных 
условиях.
Учебник написан профессорами кафедры сопротивления материалов 
Московского государственного строительного университета (
МГСУ–МИСИ) с учетом опыта многолетнего преподавания 
данной дисциплины.
В написании глав «Экспериментальные методы определения 
напряжений и деформаций» и «Численные методы решения задач 
сопротивления материалов и теории упругости» большую помощь 

оказали авторам соответственно старший научный сотрудник 
И.В. Жаворонок и профессор В.И. Прокопьев. Авторы выражают 
им благодарность за проделанную работу.
Авторы выражают также благодарность проф. В.В. Павлову за 
ценные замечания и помощь в подготовке рукописи к изданию.
В учебнике использована Международная система единиц (СИ). 
Соотношения между основными механическими величинами в 
единицах СИ и в технической системе приведены в следующей 
таблице.

Наименование величины
Единица
Соотношение 
единиц
Наименование
Обозначение

Сила, нагрузка, вес
Ньютон
Н
1 Н ≈ 0,1 кгс
1 кН ≈ 0,1тс

Линейная нагрузка
Ньютон на метр
Н/м
1 Н/м ≈ 0,1 кгс/м
1 кН/м ≈ 0,1 тс/м

Момент силы, момент пары сил
Ньютон-метр
Нм
1 Нм ≈ 0,1 кгс · м
1 кНм ≈ 0,1 тс · м

Напряжение, давление
Паскаль
Па
1 Па ≈ 0,1 кгс/м2

1 МПа ≈ 10 кгс/см2

При определении напряжений в качестве вспомогательной еди-
ницы измерения также используется кН/см2 (1 кН/см2 = 10МПа).
Во втором издании учебника исправлены ошибки, выполнены 
методическая и литературная редакции и включены некоторые до-
полнения. Общее редактирование выполнено проф. Н.М. Атаро-
вым.

Ч А С Т Ь  П Е Р В А Я

ГЛ А В А  1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ 
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Задачи механики деформируемого твердого тела

Механика деформируемого твердого тела — наука, в которой 
изучаются законы равновесия и движения твердых тел в условиях 
их деформирования при различных воздействиях. Деформация 
твердого тела заключается в том, что изменяются его размеры и 
форма. С этим свойством твердых тел как элементов конструкций, 
сооружений и машин инженер постоянно встречается в своей прак-
тической деятельности. Например, стержень под действием растя-
гивающих сил удлиняется, балка, нагруженная поперечной нагруз-
кой, изгибается и т.п.
При действии нагрузок, а также при тепловых воздействиях в 
твердых телах возникают внутренние силы, которые характеризу-
ют сопротивление тела деформации. Внутренние силы, отнесенные 
к единице площади, называются напряжениями.
Исследование напряженного и деформированного состояний 
твердых тел при различных воздействиях составляет основную за-
дачу механики деформируемого твердого тела.
Сопротивление материалов, теория упругости, теория пластич-
ности, теория ползучести являются разделами механики деформи-
руемого твердого тела. В технических, в частности строительных, 
вузах эти разделы имеют прикладной характер и служат для разра-
ботки и обоснования методов расчета инженерных конструкций и 
сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Правильное 
решение этих задач является основой при расчете и проектирова-
нии конструкций, машин, механизмов и т.п., поскольку оно обес-
печивает их надежность в течение всего периода эксплуатации.
Под прочностью обычно понимается способность безопасной 
работы конструкции, сооружения и их отдельных элементов, 
которая исключала бы возможность их разрушения. Потеря (ис-

черпание) прочности показана на рис. 1.1 на примере разрушения 
балки при действии силы Р.
Процесс исчерпания прочности без изменения схемы работы 
конструкции или формы ее равновесия обычно сопровождается 
нарастанием характерных явлений, таких, например, как появле-
ние и развитие трещин.
Устойчивость конструкции — это ее способность сохранять 
вплоть до разрушения первоначальную форму равновесия. На-
пример, для стержня на рис. 1.2, а до определенного значения 
сжимающей силы первоначальная прямолинейная форма равно-
весия будет устойчивой. Если сила превысит некоторое крити-
ческое значение, то устойчивым будет искривленное состояние 
стержня (рис. 1.2, б). При этом стержень будет работать не только 
на сжатие, но и на изгиб, что может привести к быстрому его раз-
рушению из-за потери устойчивости или к появлению недопус-
тимо больших деформаций.
Потеря устойчивости очень опасна для сооружений и конструк-
ций, поскольку она может произойти в течение короткого проме-
жутка времени.
Жесткость конструкции характеризует ее способность препят-
ствовать развитию деформаций (удлинений, прогибов, углов за-
кручивания и т.п.). Обычно жесткость конструкций и сооружений 
регламентируется нормами проектирования. Например, макси-
мальные прогибы балок (рис. 1.3), применяемых в строительстве, 
должны находиться в пределах   f = (1/200 ÷ 1/1000)l,  углы закру-
чивания валов обычно не превышают 2° на 1 метр длины вала и т.п.
Решение проблем надежности конструкций сопровождается 
поисками наиболее оптимальных вариантов с точки зрения эффек-
тивности работы или эксплуатации конструкций, расхода материа-
лов, технологичности возведения или изготовления, эстетичности 
восприятия и т.п.

 
Рис. 1.1 
Рис. 1.2 
Рис. 1.3

Сопротивление материалов в технических вузах является по су-
ществу первой в процессе обучения инженерной дисциплиной в 
области проектирования и расчета сооружений и машин. В курсе 
сопротивления материалов в основном излагаются методы расчета 
наиболее простых конструктивных элементов — стержней (балок, 
брусьев). При этом вводятся различные упрощающие гипотезы, 
с помощью которых выводятся простые расчетные формулы.
В сопротивлении материалов широко используются методы тео-
ретической механики и высшей математики, а также данные экс-
периментальных исследований. На сопротивление материалов как 
на базовую дисциплину в значительной степени опираются дис-
циплины, изучаемые студентами на старших курсах, такие как 
строительная механика, строительные конструкции, испытание 
сооружений, динамика и прочность машин и т.д.
Теория упругости, теория ползучести, теория пластичности яв-
ляются наиболее общими разделами механики деформируемого 
твердого тела. Вводимые в этих разделах гипотезы носят общий 
характер и в основном касаются поведения материала тела в про-
цессе его деформирования под действием нагрузки.
В теориях упругости, пластичности и ползучести используются 
по возможности точные или достаточно строгие методы аналити-
ческого решения задач, что требует привлечения специальных раз-
делов математики. Получаемые здесь результаты позволяют дать 
методы расчета более сложных конструктивных элементов, напри-
мер пластин и оболочек, разработать методы решения специальных 
задач, таких, например, как задача о концентрации напряжений 
вблизи отверстий, а также установить области использования ре-
шений сопротивления материалов.
В тех случаях, когда механика деформируемого твердого тела не 
может дать достаточно простые и доступные для инженерной прак-
тики методы расчета конструкций, используются различные экс-
периментальные методы определения напряжений и деформаций 
в реальных конструкциях или в их моделях (например, метод тен-
зометрии, поляризационно-оптический метод, метод голографии 
и т.п.).
Формирование сопротивления материалов как науки можно от-
нести к середине прошлого века, что было связано с интенсивным 
развитием промышленности и строительством железных дорог.
Запросы инженерной практики дали импульс исследованиям в 
области прочности и надежности конструкций, сооружений и ма-

шин. Ученые и инженеры в этот период разработали достаточно 
простые методы расчета элементов конструкций и заложили осно-
вы дальнейшего развития науки о прочности.
Теория упругости начала развиваться в начале XIX века как ма-
тематическая наука, не имеющая прикладного характера. Теория 
пластичности и теория ползучести как самостоятельные разде-
лы механики деформируемого твердого тела сформировались в 
ХХ веке.
Механика деформируемого твердого тела является во всех сво-
их разделах постоянно развивающейся наукой. Разрабатываются 
новые методы определения напряженного и деформированного 
состояний тел. Широкое применение получили различные числен-
ные методы решения задач, что связано с внедрением и использо-
ванием ЭВМ практически во всех сферах науки и инженерной 
практики.

1.2. Основные понятия, гипотезы и принципы

Одним из основных понятий механики деформируемого твер-
дого тела является понятие о деформации тела при различных воз-
действиях. В процессе деформирования изменяется взаимное рас-
положение частиц тела, которые получают перемещения. Как прави-
ло, эти перемещения считаются малыми по сравнению с размерами 
тела.
Отметим, что перемещения тела как жесткого целого (то есть 
без деформации) изучаются в курсе теоретической механики.
В механике деформируемого твердого тела вводятся различные 
гипотезы и допущения, касающиеся характера процесса деформи-
рования тела и свойств его материала.
Процесс деформирования называется абсолютно упругим, если 
после снятия нагрузки деформации полностью исчезают и при этом 
восстанавливаются первоначальные размеры тела и его форма. Та-
кой процесс соответствует гипотезе об абсолютной или идеальной 
упругости тела. Построенная на основании этой гипотезы теория 
упругости составляет наиболее обширный раздел механики дефор-
мируемого твердого тела. В большинстве задач сопротивления ма-
териалов также используется гипотеза об идеальной упругости тела.
Гипотеза об идеальной упругости тела, строго говоря, не соот-
ветствует действительности, поскольку после разгрузки часть де-
формаций, пусть даже и очень малая, не исчезает. Наличие оста-

точных деформаций характеризует пластические свойства материа-
ла тела. Процесс деформирования тела с учетом пластических 
деформаций изучается в курсе теории пластичности.
Если нагрузить тело и зафиксировать нагрузку на определенном 
уровне, то с течением времени деформации могут увеличиться. Та-
кое явление называется ползучестью. С другой стороны, если де-
формации тела в течение определенного периода времени остают-
ся неизменными, то внутренние силы и напряжения в теле могут 
уменьшиться. Такое явление называется релаксацией напряжений.
Определение напряженного и деформированного состояний 
тела с учетом этих явлений рассматривается в курсе теории ползу-
чести.
Практически во всех разделах механики деформируемого твер-
дого тела принимается положение о сплошности тела. Согласно 
этому положению материал тела считается сплошным и полностью 
заполняющим объем, ограниченный поверхностями тела. При 
этом, по существу, не учитывается молекулярное строение вещес-
тва, однако для целей изучения напряженного и деформированно-
го состояний тела под действием нагрузки это вполне допустимо.
Введение положения о сплошности позволяет рассматривать 
перемещения точек тела как непрерывные функции координат 
и использовать аппарат математического анализа.
Строение и состав материала тела могут быть неодинаковыми в 
различных точках, что характеризует его неоднородность. В приро-
де все тела более или менее неоднородны. Неоднородность мате-
риала конструктивного элемента может быть создана искусственно 
для получения нужного эффекта его работы.
Для многих строительных конструкционных материалов вво-
дится гипотеза об однородности тела, что соответствует осредне-
нию свойств его материала по всему объему.
Материал тела имеет определенные физико-механические ха-
рактеристики. Если эти характеристики одинаковы по всем на-
правлениям, то тело называется изотропным, а при их различии — 
анизотропным. Свойство анизотропии в той или иной степени име-
ют все материалы, однако для некоторых она незначительна и 
может не учитываться, как, например, для стали. Материалом с 
сильно выраженной естественной анизотропией является дерево.
В некоторых случаях анизотропия свойств материалов создает-
ся искусственно для обеспечения оптимального характера работы 
соответствующей конструкции. Примерами таких материалов яв-

ляются широко применяемые в технике стеклопластики и пласт-
массы.
Большое значение в механике деформируемого твердого тела 
имеет принцип независимости действия сил. Согласно этому при-
нципу какой-либо результат действия нагрузки (деформации, 
опорные реакции и т.п.) можно представить как сумму аналогичных 
результатов действия по отдельности всех составляющих нагрузки. 
Например, удлинение стержня на рис. 1.4, а от одновременного 
действия двух сил Р1 и Р2 равно сумме его удлинений от раздельно-
го действия этих сил (рис. 1.4, б и 1.4, в):

∆l = ∆l1 + ∆l2.

Рис. 1.4

Принцип независимости действия сил опирается на известный 
в физике закон Гука, характеризующий линейную зависимость 
между нагрузкой и деформацией. В случаях когда процесс дефор-
мирования тела не следует закону Гука, а также в некоторых особых 
случаях принцип независимости действия сил применять нельзя.

1.3. Понятие о расчетных схемах

Расчет любой конструкции начинается с построения ее расчет-
ной схемы. При этом вводятся различные схематизации и упроще-
ния, касающиеся характера действия нагрузок, условий опирания, 
типов конструктивных элементов и т.п. Эти упрощения должны 
быть такими, чтобы расчетная схема отражала все наиболее сущес-
твенное для характера работы данной конструкции и не содержала 
второстепенных факторов, мало влияющих на результаты ее рас-
чета.