Прикладная механика: применение методов теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ 
ТЕОРИИ ПОДОБИЯ 
И АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ 
К МОДЕЛИРОВАНИЮ ЗАДАЧ 
МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО 
ТВЕРДОГО ТЕЛА

Г.С. ВАРДАНЯН

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки
01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,
15.03.03 «Прикладная механика»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 531.001.362(075.8) 
ББК 22.2я73
 
В18

Варданян Г.С.
Прикладная механика: применение методов теории подобия и 
анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела : учебное пособие / Г.С. Варданян. — Москва : 
ИНФРА-М, 2023. — 174 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011532-0 (print)
ISBN 978-5-16-103835-2 (online)
В учебном пособии излагаются основы теории подобия и анализа размерностей, а также рассматриваются их возможности для решения различных задач 
математики, физики, механики и др. Среди рассматриваемых задач, где применяются методы теории подобия и анализа размерностей, особое место занимают 
задачи механики деформируемого твердого тела. При физическом моделировании с помощью теории подобия или анализа размерностей находят критерии 
подобия, с помощью которых осуществляется переход от величин, замеренных 
на геометрически подобной модели, к натурному объекту. Рассматривается аксиоматическая теория размерностей. На конкретных примерах показано, что 
она существенно расширяет возможности анализа размерностей. Рассматривается также новая теория функционального подобия, с помощью которой 
моделируется задача наследственной ползучести стареющих сред (бетон, полимерные материалы и др.).
Предназначено для студентов (бакалавров и магистров) технических вузов, 
обучающихся по направлениям 15.03.03, 15.04.03 «Прикладная механика» 
и 01.03.03, 01.04.03 «Механика и математическое моделирование». Учебное пособие будет с интересом встречено также аспирантами, научными сотрудниками 
и специалистами, занимающимися методами физического моделирования.

УДК 531.001.362(075.8)
ББК 22.2я73

В18

ISBN 978-5-16-011532-0 (print)
ISBN 978-5-16-103835-2 (online)
© Варданян Г.С., 2016

Ав то р:
Г.С. Варданян, д-р техн. наук, лауреат Государственной премии, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации

Р е цен з енты:
С.В. Кузнецов, д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИПМех 
РАН;
А.А. Локтев, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Транспортное строительство» РОАТ МИИТ

Делитесь своими знаниями. Это способ достичь бессмертия
Далай-лама XIV (род. 1935),
духовный лидер последователей тибетского буддизма,
лауреат Нобелевской премии мира (1989)

Предисловие

В книге замечательного ученого и педагога Г.С. Варданяна систематически излагаются основы теории подобия и анализа размерностей. В ней обсуждаются возможности этих методов и их применение 
для решения различных задач. Традиционная теория подобия как обобщение простого подобия геометрических фигур строится на основе 
постулата, утверждающего, что два явления (процесса) называются 
подобными, если по заданным характеристикам ξ одного можно получить характеристики ξ– другого умножением на постоянные коэффициенты kξ (масштабы, множители подобия), т.е. ξ– = kξ ξ.
Задача, которая рассматривается в традиционной теории подобия, — это физическое моделирование различных задач физики, 
механики и других областей, для которых известны основные уравнения. С помощью преобразований  ξ– = kξ ξ  основные уравнения 
приводятся к безразмерному виду и, используя принцип инвариантности, получаются новые безразмерные комбинации характеристик, 
связывающие между собой множители подобия  kξ. Эти безразмерные комбинации называются критериями подобия. Для подобных процессов эти критерии должны совпадать. Получение критериев подобия не вызывает особых трудностей, однако при исследовании их физического смысла и свойства вырождения возникают 
существенные трудности.
С использованием такой относительно простой теории подобия 
автором учебного пособия рассмотрены различные задачи механики 
деформируемого твердого тела. На примерах некоторых задач обнаружено, что поставленную задачу невозможно решить с помощью 
традиционной теории подобия. В связи с этим автор разработал оригинальную теорию подобия — «метод функционального подобия». 
Здесь множители подобия kξ не постоянные величины, а функции, 
зависящие от независимых переменных рассматриваемой задачи. 
Таким образом, между двумя процессами (задачами) устанавливается 
такое соответствие, при котором по известным характеристикам ξ 
одного из них можно найти характеристики ξ– другого умножением 
на однозначные функции kξ. Приводятся примеры решения различных задач методом функционального подобия. В п. 1.3 рассмотрен пример получения критериев функционального подобия 
эллипсоида с полуосями  a, b, c и восьмигранника с вершинами на 

координатных осях Ox Oy Oz
,
,
.  Оригинальный пример использования функционального подобия для поиска решений линейных 
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами 
рассмотрен в п. 5.2. Наконец, в пп. 10.1 и 10.2 приведены примеры 
получения критериев функционального подобия при моделировании 
задач в условиях соответственно вязкоупругости и наследственной 
ползучести со «старением» материала.
В тех случаях, когда математическое описание исследуемой задачи отсутствует, т.е., неизвестны основные уравнения задачи, критерии подобия могут быть установлены только с помощью анализа 
размерностей. Для использования анализа размерностей необходимо:
 
• составить перечень всех величин, от которых зависит данный 
процесс;
 
• выбрать основную систему единиц измерения, с помощью которой можно определить размерности остальных величин, входящих в перечень;
 
• с помощью так называемой p-теоремы определить количество 
и структуру безразмерных p-комплексов (критериев подобия).
Для подобных процессов эти критерии должны совпадать 

(
).
p
p
i
i
=
Теория размерностей применяется при решении различных задач, 
основными из которых являются:
1) установление эмпирических формул при решении различных 
задач физики, механики и др.;
2) сокращение количества независимых переменных (автомодельные решения);
3) установление критериев подобия при моделировании различных задач в случае отсутствия основных уравнений этих задач.
С применением анализа размерностей в настоящем учебном пособии рассмотрены различные задачи механики деформируемого 
твердого тела, относящиеся к перечисленным выше трем случаям:  
1) когда из характеристик задачи можно образовать лишь один безразмерный p-комплекс. Такие задачи рассмотрены в п. 7.1; 2) когда 
из характеристик задачи можно образовать лишь два p-комплекса. 
Такие задачи рассмотрены в п. 7.1; 3) когда из характеристик задачи 
можно образовать три и более безразмерных p-комплекса. Такие задачи рассмотрены в гл. 9 и 10.
Здесь также автор учебного пособия предложил ввести одно дополнение к основным положениям анализа размерностей, которое 
существенно расширяет круг решаемых задач. Он построил аксиоматическую теорию анализа размерностей, основанную на четырех 
положениях. Первая аксиома, требующая, чтобы в данной системе 
единиц измерения имело место взаимно однозначное соответствие 

между размерными величинами ai и их размерностями: a
a
A
i
i
i
⇔[ ]=
, 
позволяет более правильно выбрать основную систему единиц измерения. Вопросы, связанные с аксиоматической теорией размерности, 
и решение задач с ее помощью рассмотрены в пп. 6.7 и 7.1.
Гумедин Суренович Варданян — доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации. С момента окончания Ереванского государственного университета в 1957 г. посвятил себя науке и преподавательской работе. 
Спектр его научных интересов довольно широк. Он включает, в частности, сопротивление материалов, теорию упругости и термоупругости, теорию подобия и анализа размерностей, метод фотоупругости 
и др.
Профессор Г.С. Варданян внес большой вклад в развитие научной 
школы по механике деформируемого твердого тела. Работал в Проблемной лаборатории фотоупругости МИСИ им. Куйбышева. В этой 
лаборатории с мировым именем несколько десятилетий велись исследования и выполнялись работы, имеющие важное народно-хозяйственное значение. Одновременно с этим решались проблемы, 
связанные с теоретическими и экспериментальными методами исследования задач механики деформируемого твердого тела. В 1980 г. 
в составе пяти сотрудников лаборатории Г.С. Варданян стал лауреатом Государственной премии СССР.
Г.С. Варданян двадцать лет заведовал кафедрой «Сопротивление 
материалов» МГСУ. В 2001 г. по его инициативе было создано 
учебное направление в МГСУ «Прикладная механика», где одной из 
основных дисциплин, преподаваемых по данному направлению, являлась «Теория подобия и анализ размерностей». При кафедре была 
создана учебная лаборатория по фотоупругости, разработан комплекс лабораторных работ по теории упругости, где также исследовались вопросы теории подобия.
По его инициативе в 1995 г. был издан один из лучших учебников 
по сопротивлению материалов, переизданный в издательстве 
ИНФРА-М в 2011 г.
Книга написана живым и доходчивым языком, изложение сопровождается многочисленными примерами, поясняющими технологию 
использования математического аппарата, и будет, вне всякого сомнения, с интересом встречена как студентами-магистрантами, так 
и аспирантами, научными сотрудниками и специалистами, занимающимися вопросами физического моделирования.

О.В. Мкртычев, д-р техн. наук, профессор, МГСУ,
Г.А. Джинчвелашвили, д-р техн. наук, профессор МГСУ

введение

Прикладная механика имеет отношение ко всем естественно-научным дисциплинам и является одной из основ прогресса естествознания и техники. Развитие и расширение возможностей современной 
прикладной механики связаны, с одной стороны, с успешным применением различных физических методов измерений и теории эксперимента; с другой стороны, с широким и эффективным использованием 
компьютерных технологий. Обязательным элементом подготовки бакалавра и магистра по направлениям 15.03.03, 15.04.03 «Прикладная 
механика» и 03.03.03, 01.04.03 «Механика и математическое моделирование», ориентируемых на работу в промышленности или научноисследовательских учреждениях, является понимание роли и возможностей эксперимента в механике, умение грамотно поставить эксперимент, трактовать и использовать его результаты в сочетании с 
владением основами компьютерных технологий; умение физически 
корректно поставить задачу, выбрать метод ее решения и выполнить 
анализ полученного решения; умение разработать и реализовать виртуальный эксперимент. 
Основой учебного плана по профилю «Экспериментальная механика и компьютерное моделирование в механике» являются математическое и физическое моделирование, методы подобия и размерности в механике, теория эксперимента, методы экспериментальной механики; вычислительная механика, включая постановки 
краевых задач и численные методы решения характерных задач теоретической и прикладной механики, механики жидкости и газа, механики деформируемого твердого тела; компьютерные технологии в 
механике, универсальные программные комплексы.
В учебном пособии излагаются общая теория размерности (система 
единиц измерения, формула размерности, p-теорема), понятие о подобии изучаемых явлений, формулировка критериев подобия при физическом моделировании процессов и явлений, процедура использования анализа размерностей. На конкретных примерах из теоретической и прикладной механики и МСС демонстрируется применение 
анализа размерностей при моделировании явлений или при отыскании 
вида конкретных зависимостей между параметрами решаемой задачи.
Существует мнение о том, что методы теории подобия и анализа 
размерностей применяются исключительно при физическом моделировании различных процессов или явлений. Часто при решении 
задач механики деформируемого твердого тела (для установления 
критериев подобия при моделировании) применяют анализ размерностей, когда на самом деле целесообразнее применять метод подобия. Более того, иногда теорию подобия не отличают от анализа 

размерностей. Нередко это приводит к тому, что при решении задачи вводятся ненужные ограничения, якобы вытекающие из анализа размерностей. По-видимому, это связано с тем, что во многих 
случаях одни и те же критерии подобия, необходимые для моделирования, могут быть установлены как методом подобия, так и методом анализа размерностей. Однако, несмотря на то что оба метода 
могут быть применены для решения одной и той же проблемы, 
между ними существует принципиальная разница.
Применение теории подобия возможно только в тех случаях, 
когда имеется математическое описание изучаемого процесса, а для 
применения анализа размерностей достаточно знать перечень всех 
величин, существенных для данного процесса.
Таким образом, если применение теории подобия возможно, то ей, 
несомненно, следует отдать предпочтение, так как ее аппарат проще. 
Кроме того, на основе теории подобия появляются некоторые дополнительные возможности исследования, такие как физический смысл 
критериев, их вырождение, приближенное подобие и т.п.
Если основные уравнения задачи неизвестны, то применение анализа размерностей становится неизбежным. В этом случае не всегда 
есть полная уверенность в безошибочности составленного перечня 
существенных для процесса величин и в правильности принятой 
системы единиц измерений, однако при правильном решении этих 
вопросов анализ размерностей превращается в орудие исследования, 
не уступающее теории подобия в отношении надежности получаемых результатов.
При установлении критериев подобия для моделирования задач 
механики деформируемого твердого тела как с помощью теории подобия, так и с помощью анализа размерностей очень важно знать 
характер влияния физико-механических характеристик материала 
конструкции на напряженно-деформированное состояние, возникающее в конструкции при различных внешних воздействиях. Эта 
проблема очень важна не только при моделировании задач механики 
деформируемого твердого тела, но и при анализе аналитических  
и численных решений этих задач.
В соответствии с Государственным образовательным стандартом 
ВПО инженер должен знать процедуры прогнозирования, уметь построить рациональную и оптимальную модель процесса или явления, 
а также применить их в различных областях науки и техники. Среди 
методов моделирования выделяются физические (натурный эксперимент) и математические, изучению которых посвящена настоящая 
дисциплина.
Основной целью преподавания данной дисциплины является 
ознакомление студентов с методами моделирования, так как решение многих исследований требует широкого применения модели

рования решаемых задач и исследуемых процессов, основанных на 
идеях размерностей и подобия, являющихся основой для теории 
моделирования.
В ходе изучения дисциплины «Теория подобия и анализа размерностей» слушатели овладевают следующими специализированными 
и научными компетенциями:
 
• понимание теории и практики эксперимента в механике;
 
• владение методами физического и математического моделирования при анализе профессиональных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных физико-математических дисциплин, теории эксперимента и компьютерных наук;
 
• способность создавать и применять новые математические модели реальных сред и конструкций для решения научных и прикладных задач механики;
 
• способность к творческому применению, развитию и реализации 
математически сложных алгоритмов в современных специализированных программных комплексах.
Учебное пособие написано на основе курса лекций, прочитанных 
в МИСИ–МГСУ: слушателям факультета повышения квалификации 
преподавателей, студентам по учебному направлению «Прикладная 
механика», а также магистрантам и аспирантам на учебных семинарах Научно-исследовательской лаборатории «Надежность и сейсмостойкость сооружений». 
Хотелось бы выразить благодарность всем сотрудникам лаборатории, особенно ее заведующему д-ру техн. наук, проф. О.В.  Мкртычеву и д-ру техн. наук, проф. кафедры «Сопротивление материалов» 
Г.А. Джинчвелашвили за неоценимую помощь в подготовке к изданию 
настоящего учебного пособия.

раздел I 
Теория подобия

Глава 1 
Подобие ГеомеТрических фиГур

Подобие физических полей или любых процессов является обобщением понятия подобия геометрических фигур. Поэтому в этой 
главе более подробно рассмотрим вопрос о подобии двух геометрических фигур.

1.1. ПроПорциональное Подобие

В элементарной геометрии две фигуры считаются подобными, 
если одну из них можно получить из другой увеличением или уменьшением всех ее линейных размеров в одном и том же отношении. 
Это определение можно сформулировать и по-другому: две фигуры 
называются подобными, если любые их соответствующие линейные 
размеры пропорциональны. Следуя традициям аналитической геометрии, фигуры будем рассматривать как геометрическое место 
точек и посмотрим, как связаны между собой координаты соответствующих точек подобных фигур.
Рассмотрим две прямоугольные системы координат Oxyz и Ox y z  
в пространстве и два соответствующих эллипсоида в этих системах 
(рис. 1.1).

x–
x

z–
z

y–
y

c–
c

b–
b
O–
O

a–

a

рис. 1.1

Эти эллипсоиды можно математически описать с помощью 
формул в виде:

x

a

y

b

z

c

2

2

2

2

2

2
1
+
+
≤ ;  
(1.1)

 
x

a

y

b

z

c

2

2

2

2

2

2
1
+
+
≤ . 
(1.2)

Согласно приведенному выше определению эти два эллипсоида 
подобны, если
 
x
kx
y
ky
z
kz
=
=
=
;
;
  
(1.3)
и аналогично

 
a
ka
b
kb
c
kc
=
=
=
;
;
,  
(1.4)

т.е., если координаты соответствующих точек M(x, y, z) и M–(x–, y–, z–) 
пропорциональны. Такие точки в дальнейшем будем называть сходственными точками. Коэффициент k называется множителем подобия.
В рассматриваемом случае от уравнения (1.2) можно перейти 
к уравнению (1.1) и наоборот с помощью преобразований (1.3) 
и (1.4). Подобие фигур, при котором координаты сходственных точек 
пропорциональны, назовем пропорциональным подобием.
Таким образом, два эллипсоида, описываемые выражениями (1.1) 
и (1.2), называются пропорционально подобными, если координаты 
их сходственных точек пропорциональны. Нетрудно догадаться, что 
справедливо и обратное утверждение.

1.2. аффинное Подобие

Пусть теперь координаты соответствующих точек эллипсоидов 
(1.1) и (1.2) связаны соотношениями

 
x
k x
y
k y
z
k z
x
y
z
=
=
=
;
;
,   
(1.5)

где множители kx, ky и kz постоянны, но в общем случае различны:

 
k
k
k
x
y
z
≠
≠
. 
(1.6)

Из (1.5) следует, что соответствующие полуоси эллипсоидов 
должны быть связаны аналогичными зависимостями:

 
a
k a
b
k b
c
k c
x
y
z
=
=
=
;
;
.   
(1.7)

В этом случае также можно перейти от уравнения (1.2) к уравнению (1.1) и наоборот с помощью преобразований (1.5) и (1.7).
По аналогии с предыдущим случаем точки M и M–, координаты 
которых связаны линейными преобразованиями (1.5), назовем  
аффинно сходственными.