Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математика. Математический анализ для экономистов. Руководство к решению задач

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 796305.01.99
Доступ онлайн
от 160 ₽
В корзину
В учебном пособии представлен раздел математического анализа курса математики для экономического вуза. Каждый параграф включает краткий обзор теоретического материала и примеры решения задач. Помимо иллюстрирующих основной материал примеров, приведены практико-ориентированные задачи экономического содержания, при решении которых используются различные математические модели. Адресовано студентам укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 «Экономика и управление». Также рекомендовано преподавателям при подборе типовых и практико-ориентированных задач для самостоятельной работы студентов в рамках учебной дисциплины «Математика».
Бурмистрова, Н. А. Математика. Математический анализ для экономистов. Руководство к решению задач : учебное пособие / Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 130 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). - ISBN 978-5-16-111233-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1930697 (дата обращения: 28.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ — БАКАЛАВРИАТ 

 

Н.А. БУРМИСТРОВА 

Н.И. ИЛЬИНА 

 

 
МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 

АНАЛИЗ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ 

 
 
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ  
 
 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
Рекомендовано Учебно-методическим советом 
Омского филиала Финуниверситета в качестве учебного пособия по дисциплине 
«Математика» для студентов укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 
«Экономика и управление» (протокол № 7 от 15.09.2022) 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2022 

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73 

Б91

ФЗ 

№ 436-ФЗ 

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 

 
Р е ц е н з е н т ы: 
Филимонов В.А. — доктор технических наук, профессор, старший научный сотрудник 
Омского филиала Института математики имени С.Л. Соболева Сибирского отделения 
Российской академии наук; 
Забудский Г.Г. — доктор физико-математических наук, профессор кафедры естественно-
научных и гуманитарных дисциплин Омского филиала Финансового университета при 
Правительстве Российской Федерации 
 
Бурмистрова Н.А. 
Б91 
Математика. 
Математический 
анализ 
для 
экономистов. 
Руководство к решению задач : учебное пособие / Н.А. Бурмистрова, 
Н.И. Ильина. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 130 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). 
 
ISBN 978-5-16-111233-5 (online) 
 
В учебном пособии представлен раздел математического анализа курса математики 
для экономического вуза. Каждый параграф включает краткий обзор теоретического 
материала и примеры решения задач. Помимо иллюстрирующих основной материал 
примеров, приведены практико-ориентированные задачи экономического содержания, при 
решении которых используются различные математические модели. 
Адресовано студентам укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 
«Экономика и управление». Также рекомендовано преподавателям при подборе типовых 
и практико-ориентированных задач для самостоятельной работы студентов в рамках 
учебной дисциплины «Математика». 
УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-111233-5 (online) 
 Бурмистрова Н.А., Ильина Н.И., 2022 

Оглавление 

Введение ................................................................................................................... 4 

Глава 1. Предел и непрерывность функции ......................................................... 5 

1.1. Функция. Применение функций в экономике ......................................... 5 

1.2. Предел функции .......................................................................................... 6 

1.3. Непрерывность функции ........................................................................... 8 

1.4. Простые, сложные, непрерывные проценты ........................................... 9 

Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких 
переменных ............................................................................................................ 11 

2.1. Производная функции одной переменной. Правила 
дифференцирования.  Геометрический смысл производной ........................ 11 

2.2. Правило Лопиталя .................................................................................... 13 

2.3. Исследование функции с помощью производных ................................ 14 

2.4. Экономический смысл производной. Предельные величины. 
Эластичность функции ...................................................................................... 17 

2.5. Функции нескольких переменных. Частные производные .................. 22 

2.6. Экстремумы функции двух переменных ............................................... 24 

2.7. Экономические приложения частных производных ............................ 25 

Глава 3. Интегральное исчисление функции одной переменной .................... 27 

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы 
интегрирования .................................................................................................. 27 

3.2. Определенный интеграл. Методы вычисления ..................................... 31 

3.3. Несобственный интеграл ......................................................................... 34 

3.4. Вычисление площадей плоских фигур ................................................... 34 

3.5. Экономические приложения определенного интеграла ....................... 35 

Глава 4. Практикум по решению задач ............................................................... 39 

4.1. Индивидуальные задания для самостоятельной работы ...................... 39 

4.2. Методические рекомендации по выполнению индивидуальных 
заданий .............................................................................................................. 111 

Рекомендуемая литература ................................................................................ 130 

 

 
 

Введение 

Учебное пособие «Математика. Математический анализ. Руководство к 

решению задач» адресовано студентам укрупненной группы направлений 

подготовки 38.00.00 «Экономика и управление». Также рекомендован 

преподавателям при подборе типовых и практико-ориентированных задач 

для самостоятельной работы студентов в рамках учебной дисциплины 

«Математика». 

Содержание учебного издания включает раздел математического 

анализа курса математики для экономического вуза. Каждый параграф 

представляет краткий обзор теоретического материала и примеры решения 

задач, а также методические рекомендации по выполнению типовых и 

практико-ориентированных 
задач 
раздела 
математического 
анализа, 

варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы студентов и 

список используемых источников.  

Представляется 
важным, 
с 
точки 
зрения 
профессиональной 

направленности образовательного процесса, включение в содержание 

учебного 
пособия 
практико-ориентированных 
задач 
экономического 

содержания и методик их решения, иллюстрирующих использование 

математического аппарата и различных видов математических моделей, что в 

свою 
очередь 
способствует 
формированию 
профессиональной 

компетентности будущих бакалавров экономики средствами интегративного 

потенциала курса математики. 

 
 

Глава 1. Предел и непрерывность функции 

В самом широком понимании – это зависимость между двумя 

переменными. При этом предполагается, что одна из переменных является 

независимой и может принимать произвольные значения из области ее 

изменения, а другая переменная зависит от первой. Независимая переменная 

называется аргументом, а зависимая – функцией. 

 

1.1. Функция. Применение функций в экономике 

Понятие функции – одно из основных и наиболее важных понятий в 

математике и ее приложениях. 

В курсе математического анализа изучают главным образом числовые 

функции. Числовые функции устанавливают зависимость между числовыми 

переменными.  

Пусть D – некоторое множество на числовой прямой R. Если каждому 

значению х из множества D, поставлено в соответствие по определённому 

закону f единственное число у, то говорят, что на множестве D задана 

функция одной переменной 
)
(x
f
y =
. Множество D называют областью 

определения 
функции 
и 
обозначают 
D=D(f), 
а 
множество 

{
}
D
x
x
f
y
R
y
f
E
∈
=
∈
=
),
(
)
(
 − множеством значений функции.  

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а 

переменную y − зависимой переменной или функцией. 

Графиком функции 
)
(x
f
y =
 с областью определения D называется 

множество точек плоскости вида 
(
)
{
}.
)
(
,
D
x
x
f
x
Г
∈
=
 

Основные способы задания функций: а) аналитический: с помощью 

одной или нескольких формул; б) графический; в) табличный. 

В экономической теории применяются различные функции.  

1. 
Функция полезности U(x) каждому потребительскому набору x 

(количество потребляемого блага) ставит в соответствие некоторое число 

U(x), называемое полезностью данного набора. Эта функция является 

возрастающей функцией: чем больше количества блага, тем выше 

полезность, но каждая дополнительная единица блага ведет к меньшему 

приросту полезности, чем предыдущая единица блага. 

2. 
Производственная функция Q(x) задает зависимость объема 

производства от количества какого-то одного ресурса х (например, объем 

основного капитала или количество рабочих на предприятии). 

3. 
Функция издержек 
)
(x
C
 задает зависимость количества затрат, 

необходимых для выпуска определенного количества х продукции. 

Выделяют функцию общих издержек − 
)
(x
Cоб
, переменных − 
)
(х
Cпер
 и 

постоянных издержек С. Функции средних издержек 
х
х
C
х
Cср
/)
(
)
(
=
 – 

величина издержек на единицу произведенной продукции.  

4. 
Функция спроса D(p) задает зависимость объема спроса на товар 

от его цены р. Для большинства товаров с ростом цены спрос на него падает. 

А значит, функция D(p) является убывающей. Обычно кривую спроса 

представляют в виде убывающей кривой или убывающей прямой. 

5. 
Функция 
предложения 
S(p) 
задает 
зависимость 
объема 

предложения товара от его цены. Эта функция является возрастающей. 

Обычно кривую предложения представляют в виде возрастающей кривой 

или возрастающей прямой. 

Цена, при которой спрос и предложение равны, называется 

равновесной ценой р0 и определяется уравнением: D(p)=S(p). 

 

1.2. Предел функции 

Интервал (х0−ε; х0+ε), из которого исключена сама точка х0, называется 

проколотой окрестностью точки х0 и обозначается 
)
(
0x
Oε
. 

Пусть функция 
)
(x
f
y =
 определена в некоторой 
)
(
0x
Oε
. Выберем в 

этой окрестности какую-нибудь последовательность 
}
{ n
x
, сходящуюся к 

точке 
х0. 
Значения 
функции 
в 
выбранных 
точках 
образуют 

последовательность {
})
(
n
x
f
, которая также может оказаться сходящейся. 

Число А называется пределом функции 
)
(x
f
y =
 в точке х0, если для 

любой сходящейся к х0 последовательности 
}
{ n
x
 допустимых значений 

аргумента, отличных от х0, соответствующая последовательность {
})
(
n
x
f
 

значений функции сходится к числу А. 

).
)
(
lim
  ,
lim
 :
}
{
(
)
(
lim
0
0
0
A
x
f
x
x
x
x
x
A
x
f
n
n
n
n
n
n
x
x
=
⇒
≠
=
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
→
 

Предел функции можно определить иначе. 

Число А называется пределом функции 
)
(x
f
y =
 в точке х0, если для 

любого числа 
0
>
ε
 можно найти такое число 
0
>
δ
, что неравенство 

ε
<
− A
x
f
)
(
 верно, когда 
δ
<
−
<
0
0
x
x
. 

Если число А есть предел функции f(x), когда х стремится к х0 

произвольным способом, то пишут: 
.
)
(
lim

0
А
x
f
x
x
=
→
 

Если х стремится к х0, оставаясь меньше х0 (стремится к х0 слева), то 

число А называют пределом функции слева и пишут: 
.
)
(
lim
0
0
A
x
f
x
x
=
−
→
 

Если х стремится к х0, оставаясь больше х0, (стремится к х0 справа) то 

число А называют пределом функции справа и пишут: 
A
x
f
x
x
=
+
→
)
(
lim
0
0
 

При этом, если в точке х0 существует предел, когда х стремится к х0 

произвольным способом, то в ней существуют и односторонние, равные ему 

пределы: 
.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
A
x
f
x
f
A
x
f
x
x
x
x
x
x
=
=
⇒
=
+
→
−
→
→
 

Если же односторонние пределы функции в точке различны или хотя 

бы один из них не существует, то не существует и предел функции в точке. 

Аналогично определяют предел функции при х→∞.  

Если 
∞
=
→
)
(
lim

0
x
f
x
x
 (или +∞, или −∞), то говорят, что функция имеет 

бесконечный предел. 

Пусть существуют пределы: 
А
x
f
x
x
=
→
)
(
lim

0

 и 
B
x
g
x
x
=
→
)
(
lim

0

, где х0 число 

или символ ∞, тогда:  

1. 
(
)
;
)
(
)
(
lim

0
B
А
x
g
x
f
x
x
±
=
±
→
 

2. 
(
)
;
)
(
)
(
lim

0
B
А
x
g
x
f
x
x
⋅
=
⋅
→
 

3. 
.0
  ,0
)
(
 
где
  ,
)
(
)
(
lim

0
≠
≠
=
→
B
x
g
B
A
x
g
x
f

x
x
 

При вычислении пределов применяют два замечательных предела. 

4. 
1
sin
lim
0
=
→
x
x

x
 − первый замечательный предел. 

5. 
.
1
1
lim
e
x

x

x
=



 +
∞
→
 − второй замечательный предел. 

 

1.3. Непрерывность функции 

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если она 

удовлетворяет трем условиям: 1) f(x) определена в точке х0 и некоторой ее 

окрестности; 2) имеет конечный предел в точке х0; 3) этот предел равен 

значению функции в точке х0, то есть 

).
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
=
→
 

Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она 

непрерывна в каждой точке этого множества. 

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, а С – некоторая 

постоянная, то функции: 
)
(
)
(
),
(
)
(
),
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
f
C
⋅
±
⋅
 и 
)
(
)
(
x
g
x
f
 также 

непрерывны в точке x0 (в случае частного g(x0)≠0). 

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются 

точками разрыва. Это точки, в которых нарушается хотя бы одно из трех 

условий определения непрерывности функции в точке.  

Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции 
)
(x
f
y =
, 

если 1) в этой точке функция имеет конечный предел А, 2) 
A
x
f
≠
)
(
0
 или 

функция не определена в этой точке. 

Точка x0 называется точкой неустранимого разрыва первого рода 

функции 
)
(x
f
y =
, если в этой точке существуют конечные односторонние 

пределы, но они не равны между собой: 
).
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
х
f
B
A
х
f
х
х
х
х
+
→
−
→
=
≠
=
  

Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции 
)
(x
f
y =
, 

если в ней хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности. 

 

1.4. Простые, сложные, непрерывные проценты 

Пусть S0 – величина первоначального вклада в банке, i процентная 

ставка (в долях), выраженная десятичной дробью. Тогда наращенная сумма 

через n лет зависит от способа начисления процентов. 

Если проценты начисляются только на первоначальный вклад, то 

ежегодно вклад увеличивается на одно и тоже число, равное iS0. В 

результате, через n лет изменение величины вклада определяется формулой 

простых процентов:  

)
1(
0
ni
S
Sn
+
⋅
=
 

Если начисление процентов в конце каждого года производится на 

наращенные суммы, то есть происходит капитализация процентов, то в этом 

случае справедлива формула сложных процентов: 

.
)
1(
0
n
n
i
S
S
+
⋅
=
 

Если проценты начисляются не один раз в году, а m раз, то формула 

сложных процентов примет вид:  

.
1
0

nm

n
m
i
S
S



 +
⋅
=
 

 

Переходя к пределу в последней формуле, получаем формулу 

непрерывных процентов: 

.
1
lim
lim

0
0

n
i
nm

m
n
m
e
S
m
i
S
S
⋅




∞
→

∞
→
⋅
=



 +
⋅
=
 

При m→∞ предел ставки i заменяют символом δ и называют силой 

роста. Получаем формулу:  

.
0
n
n
e
S
S
δ
⋅
=
 
 

Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких 
переменных 
 

2.1. Производная функции одной переменной. Правила 
дифференцирования.  Геометрический смысл производной 

 

Производной функции 
)
(x
f
y =
 в точке х0 называется предел: 

x
y
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
′
→
∆
→
∆
0

0
0

0
lim
)
(
)
(
lim
)
(
. 

Величины ∆x и ∆y называют приращениями аргумента и функции 

соответственно. Если этот предел существует и конечен, то функция 

)
(x
f
y =
 называется дифференцируемой в точке х0. 

Для 
производной 
функция 
)
(x
f
y =
 
используют 
обозначения: 

dx
x
df
dx
dy
x
f
y
)
(
  ,
  
),
(
  ,
′
′
. Выражение 
x
x
f
dy
∆
⋅
′
=
)
(
 называют дифференциалом 

функции 
)
(x
f
y =
 в точке х0. Дифференциал аргумента равен его 

приращению: 
x
dx
∆
=
.  

Если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке 

непрерывна. Обратное утверждение не всегда верно. 

Если y′ есть производная функции 
)
(x
f
y =
, то производная от 

функции y′  называется второй производной или производной второго 

порядка функции 
)
(x
f
y =
, и обозначается 
2

2
)
2
(
),
(
),
(
,
dx
y
d
x
f
x
f
y
′′
′′
.  

Аналогично определяются производные более высоких порядков. 

Пусть дана функция 
)
(u
f
, причем переменная u зависит от х. Тогда: 

(
)
).
(
)
(
))
(
(
x
u
u
f
x
u
f
′
⋅
′
=
′
 

Таким образом, производная сложной функции равна произведению ее 

производной по промежуточному аргументу на производную этого 

аргумента по независимой переменной. Это правило может быть 

использовано при любом количестве промежуточных аргументов. 

Доступ онлайн
от 160 ₽
В корзину