Системы счисления и представление чисел в ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

А. П. Шаманов 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ  

И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЭВМ 

Учебное пособие 

Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов,  

обучающихся по направлениям подготовки  

38.03.05 «Бизнес-информатика»,  

09.03.03 «Прикладная информатика»,  

38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»,  

38.05.01 «Экономическая безопасность»,  

38.05.02 «Таможенное дело» 

Екатеринбург 

Издательство Уральского университета 

2016 

УДК 511.11:004.4(075.8) 
ББК 22.131я73 + 32.972я73 
         Ш19 

Рецензенты:
заведующий сектором канд. физ.-мат. наук Д. Г. Ермаков (Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН);
заведующий кафедрой «Информационные технологии и математическое моделирование» проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Красовский (Уральский государственный аграрный университет)

Ш19

Шаманов, А. П.
Системы счисления и представление чисел в ЭВМ : 
учебное пособие / А. П. Шаманов. — Екатеринбург : Издво Урал. ун-та, 2016. — 52 с.
ISBN 978-5-7996-1719-6

В данном пособии дано описание позиционных систем счисления, 

показаны правила выполнения арифметических операций, описаны 
методы перевода чисел из одной системы счисления в другую, показано представление как целых, так и дробных чисел. Помимо этого 
рассмотрены методы представления числовой информации в ЭВМ.

Пособие предназначено в качестве дополнительного источника для 

студентов практически всех специальностей, изучающих курсы дисциплин «Информатика» или «Архитектура ЭВМ».

Библиогр.: 10 назв. Табл. 10. Рис. 1.

УДК 511.11:004.4(075.8) 
ББК 22.131я73 + 32.972я73 

ISBN 978-5-7996-1719-6
© Уральский федеральный  
     университет, 2016

ВВЕДЕНИЕ 

С

овременный компьютер и другие устройства вычислительной техники основаны на использовании двоичной 

системы счисления. В двоичной системе счисления используется всего два символа — 0 и 1, а записи, сформированные из них, 
достаточно длинны и достаточно плохо воспринимаются человеком. Для их интерпретации используется шестнадцатеричная 
система, записи которой значительно короче и легче воспринимаются человеком. Перевод же из шестнадцатеричной системы 
в двоичную и наоборот весьма прост и нагляден, и при описании 
устройств вычислительной техники везде, где это возможно, используется шестнадцатеричная система счисления. Поэтому для 
правильного понимания работы вычислительных систем необходимо знание двоичной и шестнадцатеричной систем счисления. И уж тем более оно необходимо при написании программных продуктов.

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

1.1. Понятие системы счисления 
П

редставление целых положительных чисел с помощью 
письменных знаков (символов) называется нумераци
ей. Письменные знаки (символы), используемые при нумерации, называются цифрами. Необходимо четко делать различие 
между числом и символом (группой символов), которым пользуются для его письменного воспроизведения. Например, с одной стороны, для изображения числа «пять» могут использоваться цифра 5 (десятичная система нумерации), цифра V (римская 
система нумерации) или группа символов 101 (двоичная система нумерации). С другой стороны, группа символов 10 может обозначать число «десять» в десятичной системе или число 
2 в двоичной системе. Иными словами, значение символа зависит от системы нумерации и его положения в записи, тогда 
как с числом всегда связана определенная количественная характеристика.

Совокупность правил записи чисел (способ соединения цифр 

для обозначения числа) называется системой счисления. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

| 5 |

Непозиционные системы счисления возникли раньше по
зиционных. Они характеризуются тем, что в них символы, обозначающие то или иное число, не меняют своего значения в зависимости от своего местоположения в записи этого числа. 
Классическим примером такой системы является римская система счисления. В ней для записи чисел используются буквы 
латинского алфавита. Значения основных цифр римской системы приведены ниже:
I — единица, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — 
пятьсот, M — тысяча.

Для получения количественного эквивалента числа в рим
ской системе необходимо просто сложить количественные эквиваленты входящих в него цифр. Исключение составляет случай, 
когда младшая цифра стоит перед старшей — в такой ситауции 
количественный эквивалент младшей цифры берут со знаком 
«минус». Некоторые примеры чисел в римской системе счисления и их десятичные эквиваленты приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 

Некоторые числа в римской системе счисления 

Число в римской системе
Значение в десятичной системе

 III
1 + 1 + 1 = 3

 IV
5–1 = 4

 XII
10 + 1 + 1 = 12

 XLV
–10 + 50 + 5 = 45

 CDXVIII
–100 + 500 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 418

 MMDXCVII
1000 + 1000 + 500 – 10 + 100 + 5 + 1 + 1 = 2597

Непозиционные системы счисления имеют два существен
ных недостатка:

• с увеличением изображаемых чисел требуется неограни
ченное число новых символов;

| 6 |

• процедура выполнения арифметических операций в та
ких системах счисления чрезвычайно сложна.

Поэтому в настоящее время непозиционные системы счи
сления практически не используются.

1.2. Позиционные системы счисления 

Позиционные системы счисления характеризуются следую
щими понятиями:

• Для записи любого числа используется ограниченный на
бор символов. Число используемых символов называется 
основанием позиционной системы счисления.

• Устанавливается взаимно-однозначное соответствие 

между набором цифр и числами натурального ряда 0, 1, ..., 
p — 1, где p — основание системы счисления. Таким образом, численный эквивалент любой цифры меньше основания системы счисления.

• Место каждой цифры в числе называется позицией (отсю
да, собственно, название таких систем — позиционные).

• Номер позиции цифры в числе называется разрядом. Ну
мерация разрядов начинается с нуля и выполняется справа налево. Разряд 0 называется младшим разрядом.

• Каждой цифре, в зависимости от ее позиции, ставится 

в соответствие количественный эквивалент, определяемый по формуле 

 
αk = ak pk,  
(1.1) 

где αk — количественный эквивалент цифры, находящейся  
                     в позиции k;

ak — численный эквивалент цифры, находящейся в разряде k;
p — основание системы счисления;
k — номер позиции цифры (ее разряд).