Инженерная графика. Относительное положение плоскости и поверхности, поверхностей

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет  

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Т. И. Кириллова, Л. В. Соловьёва-Гоголева, Л. Ю. Стриганова 

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Относительное положение плоскости и поверхности, 

поверхностей

Учебное пособие 

Рекомендовано методическим советом УрФУ 

для студентов, обучающихся по направлениям подготовки  

08.03.01 «Строительство», 08.05.01 «Строительство  

уникальных зданий и сооружений» 

Екатеринбург 

Издательство Уральского университета 

2017 

УДК 744(075.8)
ББК 30.11я73-5
          К43 

Рецензенты:
канд. пед. наук, доц. Н. Н. Мичурова (зав. кафедрой общетехнических дисциплин Уральского института государственной противопожарной службы МЧС РФ по делам ГО, ЧС 
и ликвидации последствий стихийных бедствий); д-р техн. наук, проф. А. П. Коммисаров 
(Уральский государственный аграрный университет) 

Научный редактор — канд. техн. наук, доц. Н. В. Семёнова

К43

Кириллова, Т. И.
Инженерная графика. Относительное положение плоскости и поверхности, 
поверхностей : учебное пособие / Т. И. Кириллова, Л. В. Соловьёва-Гоголева, 
Л. Ю. Стриганова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 100 с.
ISBN 978-5-7996-2257-2

Учебное пособие по дисциплине «Инженерная графика» можно использовать в преподавании дисци
плин, имеющих раздел «Начертательная геометрия». В пособии рассматривается теоретический материал 
по темам: сечение поверхностей плоскостью, построение линий пересечения поверхностей и построение 
разверток поверхностей. Пособие содержит наглядный иллюстративный материал с 3D-моделями рассматриваемых примеров, что способствует лучшему усвоению изучаемого материала и облегчает выполнение 
предлагаемых индивидуальных заданий. В пособие включены задачи для подготовки к текущему контролю 
знаний по дисциплине «Инженерная графика» (раздел «Начертательная геометрия»).

Библиогр.: 10 назв. Рис. 81. Табл. 8.

УДК 744(075.8)
ББК 30.11я73-5

_____________________________

Учебное издание

Кириллова Татьяна Ивановна, Стриганова Лариса Юрьевна,  

Соловьёва-Гоголева Лариса Викторовна 

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ  

ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ПОВЕРХНОСТЕЙ

Подписано в печать 30.10.2017. Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная.  

Цифровая печать. Усл. печ. л. 11,6. Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 50 экз. Заказ 312.

Издательство Уральского университета 

Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: +7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41

E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ

620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Тел.: +7 (343) 358-93-06, 350-58-20, 350-90-13 

Факс: +7 (343) 358-93-06

http://print.urfu.ru

ISBN 978-5-7996-2257-2
©Уральский федеральный университет, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

Д

исциплина «Инженерная графика» является фундаментальной дисциплиной 
общеинженерного цикла при подготовке квалифицированного бакалавра и спе
циалиста в области строительства. В дисциплину входят несколько разделов, которые 
изучаются на протяжении первого года обучения в вузе. Разделы инженерной графики 
представлены в виде схемы (рис. 1).

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Начертательная 
   геометрия
Инженерная графика

Машиностроительное
         черчение
Строительное 
   черчение
Компьютерная 
      графика

 

Рис. 1. Разделы дисциплины «Инженерная графика» 

Данное пособие предназначено для освоения первого раздела дисциплины — «На
чертательная геометрия». Начертательная геометрия является теоретической основой 
курса «Инженерная графика». Она изучает методы изображения пространственных объектов на плоскости проекций и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

◊ Позиционные — задачи на относительное положение геометрических объектов.
◊ Метрические — задачи на определение расстояния и натуральных величин геоме
трических объектов.

◊ Конструктивные — задачи на построение геометрических фигур, отвечающих за
данным условиям.

Данное пособие помогает освоить:
◊ основные законы формирования, построения и взаимного пересечения моделей 

плоскости и пространства, необходимые для выполнения и чтения чертежей зданий, сооружений, конструкций;

ПРЕДИСЛОВИЕ

◊ графические способы решения метрических, позиционных и конструктивных за
дач пространственных объектов на чертежах;

◊ методы проецирования и изображения пространственных форм на плоскости 

проекции.

В приложениях пособия приведены три типа расчетно-графических работ для само
контроля знаний:

◊ Относительное положение поверхности и плоскости.
◊ Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных секущих пло
скостей.

◊ Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных концентри
ческих сфер. Развертка поверхности.

Выполняя практическую работу, на различных стадиях проектирования, от эскиза, 

технического рисунка до проектно-конструкторской документации, студент, а в дальнейшем специалист обращается к изображению различных поверхностей. Знание теоретических основ построения поверхностей позволяет грамотно создавать проектно- 
конструкторскую документацию, на основании которой выполняется изделие в материале. Кроме того, без знания теоретических основ построения линии пересечения поверхностей невозможно точно и грамотно выполнить проект в натуральную величину.

Данное пособие позволяет освоить теоретические основы начертательной геометрии 

и знакомит студентов первого курса с правилами оформления чертежей.

1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ  
ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ

П

ознакомимся с основными определениями, которые мы будем использовать 
при изучении относительного положения поверхности и плоскости, поверх
ностей.

Плоскость — это множество положений прямой линии (l), проходящей через одну 

точку пространства (A) и пересекающей вне ее прямую линию (а) (рис. 2).

Рис. 2. Плоскость 

Поверхность образуется в результате перемещения в пространстве некоторой линии 

постоянной или переменной формы (рис. 3). Линия, перемещающаяся в пространстве, 
называется образующей. Линия, по которой происходит перемещение образующей, называется направляющей.

1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ 

Направляющая
Образующая

Рис. 3. Поверхность 

Поверхности вращения можно выделить в отдельную группу поверхностей, так как 

направляющей у таких поверхностей является ось вращения, а образующая может иметь 
форму как прямой, так и кривой линии, например окружности.

Рис. 4. Поверхность вращения 

1.1. Простейшие поверхности вращения

7

1.1. Простейшие поверхности вращения

Поверхность может быть задана очерком и определителем.
Очерк поверхности — это границы проекций поверхностей.
Определитель поверхности — совокупность геометрических элементов, задающих по
верхность и алгоритм движения (в нашем случае вращения) образующей вокруг направляющей. Назовем геометрические элементы, задающие простейшие поверхности вращения, представленные в табл. 1:

i — ось вращения поверхности;
L — прямолинейная образующая поверхности;
m — криволинейная образующая поверхности;
R — радиус вращения поверхности;
r — радиус образующей окружности.

Таблица 1 

Простейшие поверхности вращения 

Наименование поверхности

3D-модель поверхностей
Ортогональные проекции

поверхности

1
2
3

Цилиндр
прямой 
круговой

Конус
прямой 
круговой

1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ 

1
2
3

Сфера

Тор

открытый,

R > r

Тор  

закрытый,

R = r

Продолжение табл. 1

1.2. Простейшие гранные поверхности

9

1
2
3

Тор само
пересе
каю- 

щийся,

R < r

Глобоид,

R > r

1.2. Простейшие гранные поверхности

Гранные поверхности, такие как призма и пирамида, формируются при перемеще
нии прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Прямая призма имеет все 
образующие параллельные друг другу и перпендикулярные направляющей. Все образующие прямой пирамиды проходят через одну точку S, не принадлежащую направляющей, 
которую называют вершиной пирамиды.

Окончание табл. 1

1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ 

Ортогональные проекции прямой призмы и прямой пирамиды представлены в таб
лице 2.

Таблица 2 

Простейшие гранные поверхности 

Наименование

поверхности

3D-модель

поверхностей

Ортогональные

проекции поверхности

Призма
прямая

Пирамида
прямая