Инженерная графика. Относительное положение плоскости и поверхности, поверхностей

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 
Т. И. Кириллова, Л. В. Соловьёва-Гоголева, Л. Ю. Стриганова 
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Относительное положение плоскости и поверхности, 
поверхностей
Учебное пособие 
Рекомендовано методическим советом УрФУ
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
08.03.01 «Строительство», 08.05.01 «Строительство 
уникальных зданий и сооружений» 
Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 
2017 

УДК 744(075.8)
ББК 30.11я73-5
          К43 
Рецензенты:
канд. пед. наук, доц. Н. Н. Мичурова (зав. кафедрой общетехнических дисциплин Уральского института государственной противопожарной службы МЧС РФ по делам ГО, ЧС 
и ликвидации последствий стихийных бедствий); д-р техн. наук, проф. А. П. Коммисаров 
(Уральский государственный аграрный университет) 
Научный редактор — канд. техн. наук, доц. Н. В. Семёнова
К43
Кириллова, Т. И.
Инженерная графика. Относительное положение плоскости и  поверхности, 
поверхностей : учебное пособие / Т. И. Кириллова, Л. В. Соловьёва-Гоголева, 
Л. Ю. Стриганова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 100 с.
ISBN 978-5-7996-2257-2
Учебное пособие по дисциплине «Инженерная графика» можно использовать в преподавании дисциплин, имеющих раздел «Начертательная геометрия». В пособии рассматривается теоретический материал 
по темам: сечение поверхностей плоскостью, построение линий пересечения поверхностей и построение 
разверток поверхностей. Пособие содержит наглядный иллюстративный материал с 3D-моделями рассматриваемых примеров, что способствует лучшему усвоению изучаемого материала и облегчает выполнение 
предлагаемых индивидуальных заданий. В пособие включены задачи для подготовки к текущему контролю 
знаний по дисциплине «Инженерная графика» (раздел «Начертательная геометрия»).
Библиогр.: 10 назв. Рис. 81. Табл. 8.
УДК 744(075.8)
ББК 30.11я73-5
_____________________________
Учебное издание
Кириллова Татьяна Ивановна, Стриганова Лариса Юрьевна, 
Соловьёва-Гоголева Лариса Викторовна 
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ 
ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ПОВЕРХНОСТЕЙ
Подписано в печать 30.10.2017. Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная. 
Цифровая печать. Усл. печ. л. 11,6. Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 50 экз. Заказ 312.
Издательство Уральского университета 
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: +7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41
E-mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: +7 (343) 358-93-06, 350-58-20, 350-90-13 
Факс: +7 (343) 358-93-06
http://print.urfu.ru
ISBN 978-5-7996-2257-2
©Уральский федеральный университет, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ
Д
исциплина «Инженерная графика» является фундаментальной дисциплиной 
общеинженерного цикла при подготовке квалифицированного бакалавра и специалиста в  области строительства. В  дисциплину входят несколько разделов, которые 
изучаются на протяжении первого года обучения в вузе. Разделы инженерной графики 
представлены в виде схемы (рис. 1).
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Начертательная 
   геометрия
Инженерная графика
Машиностроительное
         черчение
Строительное 
   черчение
Компьютерная 
      графика
 
Рис. 1. Разделы дисциплины «Инженерная графика» 
Данное пособие предназначено для освоения первого раздела дисциплины — «Начертательная геометрия». Начертательная геометрия является теоретической основой 
курса «Инженерная графика». Она изучает методы изображения пространственных объектов на плоскости проекций и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.
◊	 Позиционные — задачи на относительное положение геометрических объектов.
◊	 Метрические — задачи на определение расстояния и натуральных величин геометрических объектов.
◊	 Конструктивные — задачи на построение геометрических фигур, отвечающих заданным условиям.
Данное пособие помогает освоить:
◊	 основные законы формирования, построения и взаимного пересечения моделей 
плоскости и пространства, необходимые для выполнения и чтения чертежей зданий, сооружений, конструкций;

ПРЕДИСЛОВИЕ
◊	 графические способы решения метрических, позиционных и конструктивных задач пространственных объектов на чертежах;
◊	 методы проецирования и  изображения пространственных форм на  плоскости 
проекции.
В приложениях пособия приведены три типа расчетно-графических работ для самоконтроля знаний:
◊	 Относительное положение поверхности и плоскости.
◊	 Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей.
◊	 Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных концентрических сфер. Развертка поверхности.
Выполняя практическую работу, на различных стадиях проектирования, от эскиза, 
технического рисунка до  проектно-конструкторской документации, студент, а  в  дальнейшем специалист обращается к изображению различных поверхностей. Знание теоретических основ построения поверхностей позволяет грамотно создавать проектноконструкторскую документацию, на основании которой выполняется изделие в материале. Кроме того, без знания теоретических основ построения линии пересечения поверхностей невозможно точно и грамотно выполнить проект в натуральную величину.
Данное пособие позволяет освоить теоретические основы начертательной геометрии 
и знакомит студентов первого курса с правилами оформления чертежей.

1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ 
ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ
П
ознакомимся с основными определениями, которые мы будем использовать 
при изучении относительного положения поверхности и плоскости, поверхностей.
Плоскость — это множество положений прямой линии (l), проходящей через одну 
точку пространства (A) и пересекающей вне ее прямую линию (а) (рис. 2).
Рис. 2. Плоскость 
Поверхность образуется в результате перемещения в пространстве некоторой линии 
постоянной или переменной формы (рис. 3). Линия, перемещающаяся в пространстве, 
называется образующей. Линия, по которой происходит перемещение образующей, называется направляющей.

Направляющая
Образующая
Рис. 3. Поверхность 
Поверхности вращения можно выделить в отдельную группу поверхностей, так как 
направляющей у таких поверхностей является ось вращения, а образующая может иметь 
форму как прямой, так и кривой линии, например окружности.
Рис. 4. Поверхность вращения 

1.1. Простейшие поверхности вращения
1.1. Простейшие поверхности вращения
Поверхность может быть задана очерком и определителем.
Очерк поверхности — это границы проекций поверхностей.
Определитель поверхности — совокупность геометрических элементов, задающих поверхность и алгоритм движения (в нашем случае вращения) образующей вокруг направляющей. Назовем геометрические элементы, задающие простейшие поверхности вращения, представленные в табл. 1:
i — ось вращения поверхности;
L — прямолинейная образующая поверхности;
m — криволинейная образующая поверхности;
R — радиус вращения поверхности;
r — радиус образующей окружности.
Таблица 1 
Простейшие поверхности вращения 
Наименование поверхности
3D-модель поверхностей
Ортогональные проекции
поверхности
1
2
3
Цилиндр
прямой 
круговой
Конус
прямой 
круговой

Сфера
Тор
открытый,
R > r
Тор 
закрытый,
R = r
Продолжение табл. 1

1.2. Простейшие гранные поверхности
3
Тор самопересекающийся,
R < r
Глобоид,
R > r
1.2. Простейшие гранные поверхности
Гранные поверхности, такие как призма и пирамида, формируются при перемещении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Прямая призма имеет все 
образующие параллельные друг другу и перпендикулярные направляющей. Все образующие прямой пирамиды проходят через одну точку S, не принадлежащую направляющей, 
которую называют вершиной пирамиды.
Окончание табл. 1

Ортогональные проекции прямой призмы и прямой пирамиды представлены в таблице 2.
Таблица 2 
Простейшие гранные поверхности 
Наименование
поверхности
3D-модель
поверхностей
Ортогональные
проекции поверхности
Призма
прямая
Пирамида
прямая