Функциональный анализ в примерах и задачах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С. В. РЕВИНА
Л. И. САЗОНОВ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
2009

УДК 517.5
ББК 162
Р 32
 
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета 
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент А. Б. Моргулис
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» 
по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения 
высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” 
на 2007–2010 гг.»
 
 
 
 
  
 
Ревина С. В., Сазонов Л. И.
Р 32   
Функциональный анализ в примерах и задачах: учебное пособие / С. В. Ревина, Л. И. Сазонов. – Ро 
стов н/Д: Изд- 
во ЮФУ, 2009. – 120 с.
             ISBN 978-5-9275-0683-5
 
    С помощью большого количества примеров и упражнений излагаются основы функционального 
анализа – понятия метрических, банаховых и гильбертовых пространств, а также их свойства.
 
    Учебное пособие предназначено для студентов, преподавателей и всех желающих научиться применять функциональный анализ на практике.
ISBN 978-5-9275-0683-5                                         
 
 
 
 
 
 УДК 517.5
  
 
 
 
                 
 
    
           
 
 
 
 ББК 162
 
 
 
 
             © Ревина С. В., Сазонов Л. И., 2009
 
 
 
 
             © Южный федеральный университет, 2009 
 
 
 
 
            © Оформление. Макет. Издательство
 
 
 
 
          
 
 
 
   
 
          
Южного федерального университета, 2009

Ог
лавление
Введение
5
1
Основные
понятия
6
1.1
Ак
сиомы
метрики
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
1.2
Примеры
задания
метрик
на
пр
ямой
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1.3
Неравенства
Г
ельдера
и
Минк
овск
ого
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
n
1.4
Метрики
в
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
1.5
Шары
в
метрических
пространствах
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
1.6
Сх
о
димость
последовательностей
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
1.7
Эквивалентные
метрики
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
1.8
Дек
артово
произведение
метрических
пространств
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
1.9
Открытые
и
замкнутые
мно
ж
ества
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
2
Пространства
последовательностей
21
2.1
Определения
пространств
последовательностей
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
2.2
Сх
о
димость
в
пространствах
последовательностей
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
2.3
Связь
между
пространствами
`
и
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
p
2.4
Сепарабельность
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
2.5
Пример
неар
химедовой
метрики
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
3
Пространства
непрерывных
и
непрерывно-дифференциру
емых
функций
31
m
3.1
Линейные
нормированные
пространства
C
[a;
b],
C
[a;
b]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
3.2
Примеры
счетно-нормированных
пространств
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
4
Пространства
Лебег
а
35
4.1
Пространства
L
(a;
b),
1
6
p
<
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
p
(0)
в
пространствах
L
(0;
1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
4.2
Эк
стремальные
точки
шара
S
1
p
4.3
Пространство
L
(a;
b)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
1
4.4
Пространства
L
(
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
p;l
oc
5
Непрерывность
отображ
ений
48
6
Полнот
а
метрических
пространств
51
6.1
Определение
полноты
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
6.2
Док
азательство
полноты
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
6.3
Пример
неполного
пространства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
6.4
Т
еорема
о
пополнении
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
6.5
Принцип
вло
ж
енных
шаров
и
теорема
Бэра
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
3

Принцип
с
жимающих
отображ
ений
59
7.1
Общие
сведения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
7.2
Применение
к
алгебраическим
уравнениям
и
системам
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
60
7.3
Применение
к
интегральным
и
дифференциальным
уравнениям
.
.
.
.
.
.
65
8
Линейные
нормированные
пространства
72
8.1
Банах
овы
пространства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
72
8.2
Гильбертовы
пространства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
8.3
Эквивалентные
нормы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
8.4
По
дпространство
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
8.5
Г
еометрия
гильбертова
пространства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
8.6
Пpоцесс
оpтогонализации
Гpама-Шмидт
а
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
8.7
Базисы
банах
овых
и
гильбертовых
пространств
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
9
Линейные
операторы
в
линейных
нормированных
пространствах
86
9.1
Ограниченность
и
норма
линейного
оператора
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
86
9.2
Обратимость
линейного
оператора
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
9.3
Сх
о
димость
элементов,
операторов,
функционалов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
95
9.4
Сопр
яж
енный
оператор
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
96
10
Компактность
в
метрических
пространствах
100
10.1
Относительная
к
омпактность
и
ограниченность
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
10.2
Критерий
Ха
у
с
дорфа
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
10.3
Гильбертов
кирпич
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
102
10.4
Отображ
ения
на
к
омпактных
мно
ж
ествах
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
10.5
Компактность
в
C
[0;
1]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
10.6
Компактность
в
L
(0;
1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
2
10.7
Линейные
вполне
непрерывные
операторы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
110
11
Т
опологические
пространства
116
Литература
118
4

Введение
Образование
сту
дент
а-прикладного
математик
а
немыслимо
без
изучения
основ
функционального
анализа.
Мето
ды
функционального
анализа
применяютс
я
в
математическ
ой
физик
е,
математическ
ом
мо
делировании,
гидродинамик
е,
теории
упругости
и
во
многих
других
област
ях.
Понятия
функционального
анализа,
обладая
высок
ой
степенью
абстрактности,
позволяют
выявить
общие
зак
ономерности
в
процессах
и
явлениях,
внешне,
к
азалось
бы,
существенно
различных.
Функциональный
анализ,
возникший
в
к
онце
XIX

на
чале
XX
век
а
в
трудах
Д.
Гильберт
а,
М.
Фреше,
Ф.
Ха
у
с
дорфа,
Ф.
Рисса,
С.
Банах
а,
являетс
я
сравнительно
моло
дой
математическ
ой
дисциплиной.
Весомый
вклад
в
его
развитие
внесли
российские
математики
А.
Н.
Колмогоров,
Н.
Н.
Боголюбов,
Л.
В.
Канторович,
М.
Г
.
Крейн,
И.
М.
Г
ель
фанд,
С.
Л.
Соболев
и
др.
Уровень
препо
давания
функционального
анализа
в
классических
университет
ах
традиционно
высок.
В
насто
ящем
учебном
пособии
в
основном
рассматриваютс
я
метрические
и
линейные
нормированные
пространства.
Фундамент
альные
понятия
и
теоремы
функционального
анализа
иллюстрируютс
я
простыми
примерами.
Авторы
побуждают
чит
ателя
самосто
ятельно
работ
ать,
активно
пользу
ясь
литературой
и
решая
зада
чи.
Пособие
прошло
у
спешную
многолетнюю
апробацию
на
практических
занятиях
по
функциональному
анализу
на
мехмате
Р
остовск
ого
госу
дарственного
(с
2007
г
.

Южного
федерального)
университет
а.
Авторы
выраж
ают
благо
дарность
своим
сту
дент
ам
и
к
оллег
ам
за
ценные
замечания
по
со
дер
ж
анию
книги.
Особая
благо
дарность
М.
Ю.
Жук
ову
и
Е.
В.
Шир
яевой
за
помощь
в
работе
и
создание
мак
ет
а
издания.
Р
абот
а
выполнена
на
к
афедре
вычислительной
математики
и
математическ
ой
физики
и
в
лаборатории
математическ
ой
физики
Южного
математическ
ого
институт
а
Владик
авк
азск
ого
на
учного
центра
Р
АН
при
финансовой
по
ддер
жк
е
РФФИ
(грант

07-01-92213-НЦНИЛ)
и
Аналитическ
ой
ведомственной
целевой
программы
"Р
азвитие
на
учного
потенциала
высшей
шк
олы"(гранты

2.1.1/554
и

2.1.1/6095).
5

Г
лава
1
Основные
понятия
В
этой
г
лаве
основные
определения
теории
метрических
пространств
иллюстрируютс
я
простыми
примерами,
в
основном
относ
ящимис
я
к
к
онечномерному
случаю.
Для
первона
чального
ознак
омления
с
метрическими
пространствами
х
орошо
по
дх
о
дит
книг
а
[11
,
г
лава
1],
в
ней
разобрано
большое
к
оличество
примеров.
Мо
жно
т
акж
е
рек
омендовать
книги
[7,
9,
12
,
13,
15].
1.1
Ак
сиомы
метрики
Абстрактное
понятие
метрики
являетс
я
обобщением
понятия
¾рассто
яние¿
.
При
этом
свойства
рассто
яния
(неотрицательность;
равенство
ну
лю
тог
да
и
тольк
о
тог
да,
к
ог
да
точки
пространства
совпадают;
симметричность;
неравенство
треугольник
а)
поло
ж
ены
в
основу
определения
метрики.
Определение
1.1.
Метрикой
на
множестве
X
называется
функция

:
X

X
7!
R
,
удовлетворяющая
с
ледующим
тре
м
аксио
мам:
1:
(x;
y
)
>
0;
приче
м
(x;
y
)
=
0
,
x
=
y
;
2:
(x;
y
)
=
(y
;
x);
3:
(x;
y
)
6
(x;
z
)
+
(z
;
y
)
8
x;
y
;
z
2
X
:
Заметим,
что
перечисленные
ак
сиомы
не
являютс
я
независимыми.
Т
ак,
если
в
ак
сиоме
треугольник
а
3
поло
жить
x
=
y
,
то,
с
учетом
ак
сиомы
симметричности
2,
получим
у
словие
неотрицательности
метрики
из
первой
аксиомы:
(y
;
z
)
>
0:
Зада
ча
1.1.
Докажите,
что
аксио
мы
метрики
эквивалентны
с
ледующим
двум
аксио
мам:
1:
(x;
y
)
=
0
,
x
=
y
;
2:
(x;
y
)
6
(x;
z
)
+
(y
;
z
)
8
x;
y
;
z
2
X
:
6

Определение
1.2.
Метрическим
простр
анство
м
называется
множество
с
заданной
на
не
м
метрикой,
т.
е.
пар
а
(X
;
).
Элементы
метрическ
ого
пространства
называютс
я
точк
ами
(это
могут
быть
функции,
числовые
последовательности,
операторы
и
т
.
д.).
В
общем
случае
о
дно
и
то
ж
е
мно
ж
ество
X
мо
жно
превратить
в
различные
метрические
пространства,
задавая
по-разному
метрики.
Приведем
примеры
метрических
пространств.
1.2
Примеры
задания
метрик
на
пр
ямой
Пример
1.1.
Пусть
сначала
X
=
R
.
Стандартной
метрикой
на
прямой
называется
метрика,
котор
ая
задается
по
пр
авилу
(x;
y
)
=
jx

y
j:
Очевидно,
что
первые
две
ак
сиомы
выполняютс
я
по
свойствам
мо
ду
ля
jaj
>
0;
jaj
=
0
,
a
=
0;
j

aj
=
jaj;
а
третья
следу
ет
из
неравенства
ja
+
bj
6
jaj
+
jbj;
(1.1)
если
в
нем
поло
жить
a
=
x

z
,
b
=
z

y
.
Помимо
ст
андартной
существуют
и
другие
метрики
на
пр
ямой.
Пример
1.2.
Т
еперь
зададим
на
X
=
R
так
называе
мую
дискретную
(или
тривиальную)
метрику:

0
при
x
=
y
(x;
y
)
=
(1.2)
1
при
x
6=
y
:
Выполнение
первых
двух
ак
сиом
метрики
очевидно.
Неравенство
треугольник
а
мог
ло
бы
не
выполнятьс
я
тольк
о
в
о
дном
случае:
если
в
левой
части
этого
неравенства
нах
о
дитс
я
единица:
(x;
y
)
=
1,
а
в
правой
части

ноль:
(x;
z
)
=
0;
(z
;
y
)
=
0.
Но
тог
да
x
=
z
=
y
.
Следовательно,
(x;
y
)
=
0

противоречие.
Зада
ча
1.2.
Пусть
X

произво
льное
множество.
Докажите,
что
(
1.2)
опреде
ляет
метрику
на
X
.
Пример
1.3.
Пусть
X
=
R
.
Зададим
метрику
по
пр
авилу
jx

y
j
(x;
y
)
=
:
1
+
jx

y
j
7

Первые
две
ак
сиомы
метрики,
очевидно,
выполняютс
я.
Для
док
азательства
третьего
свойства
дост
аточно
проверить
выполнение
неравенства
ja
+
bj
jaj
jbj
6
+
:
(1.3)
1
+
ja
+
bj
1
+
jaj
1
+
jbj
В
свою
очередь
(1.3)
следу
ет
из
неравенства
ja
+
bj
jaj
+
jbj
6
:
(1.4)
1
+
ja
+
bj
1
+
jaj
+
jbj
Если
рассмотреть
функцию
f
(t)
=
t=(1
+
t)
на
мно
ж
естве
неотрицательных
чисел,
то
(1.4)
мо
жно
трактовать
к
ак
свойство
неубывания
функции
f
(t).
Легк
о
убедитьс
я,
что
f
(t)
действительно
являетс
я
возраст
ающей
функцией.
Зада
ча
1.3.
Пусть
X

произво
льное
множество,
(x;
y
)

метрика
на
не
м.
Покажите,
что
функции
(x;
y
)
;

(x;
y
)
=
min
((x;
y
);
1)

(x;
y
)
=
2
1
1
+
(x;
y
)

метрики
на
X
.
Зада
ча
1.4.
Докажите,
что
(x;
y
)
=
j
arctg(x)

arctg
(y
)j
является
метрикой
на
R
.
Зада
ча
1.5.
Каким
ус
ловиям
до
лжна
удовлетворять
опреде
ленная
на
R
непрерывная
функция
u
=
f
(v
),
чтобы
на
вещественной
прямой
можно
было
задать
метрику
с
по
мощью
р
авенства
(x;
y
)
=
jf
(x)

f
(y
)j?
1.3
Неравенства
Г
ельдера
и
Минк
овск
ого
Чтобы
проверить
выполнение
неравенства
треугольник
а
для
основных
примеров
метрических
пространств,
нам
понадобитс
я
неравенство
Минк
овск
ого.
В
следующей
серии
упражнений
у
ст
анавливаетс
я
справедливость
неравенства
Минк
овск
ого
для
к
онечных
сумм,
а
затем
оно
распространяетс
я
на
р
яды.
Определение
1.3.
Чис
ла
p
и
q
называются
сопряженными
показате
лями,
ес
ли
они
удовлетворяют
ус
ловиям
1
1
+
=
1:
1
<
p;
q
<
1;
p
q
Зада
ча
1.6.
Докажите,
что
для
любых
неотрицате
льных
чисе
л
a
и
b
и
сопряженных
показате
лей
p
и
q
спр
аведливо
нер
авенство
Юнга
q
p
b
a
+
:
(1.5)
ab
6
p
q
8

Ук
азание.
Счит
ая
b
>
a
>
0,
разделите
обе
части
неравенства
(1.5)
на
q
b
и
рассмотрите
функцию
p
x
1
f
(x)
=
+

x
p
q
при
x
>
1.
Зада
ча
1.7.
Докажите,
что
в
нер
авенстве
Юнга
достигается
р
авенство
p
q
a
b
ab
=
+
p
q
p
q
тогда
и
то
лько
тогда,
когда
a
=
b
.
Пример
1.4.
Пусть

>
0;

>
0;

+

=
1:
Т
огда
для
любого
"
>
0,
для
любых
неотрицате
льных
a
и
b
выпо
лняется
интерпо
ляционное
нер
авенство
Юнга
1=
=
1=
ab
6
"a
+
"
b
:
(1.6)
Доказате
льство.
Заменим
в
(1.5)
1=p
1=p
a
!
"
a;
b
!
"
b:
Т
ог
да,
по
неравенству
Юнг
а,
с
учетом
у
словий
p
>
1,
q
>
1:
p
q
=p
q
"a
"
b
p
q
=p
q
ab
6
+
6
"a
+
"
b
:
p
q
Полаг
ая

=
1=p,

=
1=q
,
прих
о
дим
к
(1.6).
Зада
ча
1.8.
Воспо
льзовавшись
нер
авенство
м
Юнга
(
1.5),
установите
нер
авенство
Г
е
льдер
а
для
конечных
чис
ловых
наборов


)
)
(
(
1=q
1=p
n
n
n


X
X
X


q
p
;
(1.7)
jb
j
ja
j
6
a
b


k
k
k
k


k
=1
k
=1
k
=1
где
p
и
q

сопряженные
показате
ли.
Ук
азание.
Р
азделите
обе
части
(1.7)
на
правую
часть
и
примените
почленно
неравенство
Юнг
а
(1.5).
Зада
ча
1.9.
Выведите
ус
ловия,
при
которых
в
нер
авенстве
Г
е
льдер
а
(
1.7)
достигается
знак
р
авенства
[16
]:
p
q
ja
j
jb
j
i
i
=
;
sgn
a
b
=
const;
i
=
1;
:
:
:
;
n:
(1.8)
i
i
n
n
P
P
p
q
ja
j
jb
j
i
i
i=1
i=1
9

При
p
=
q
=
2
неравенство
Г
ельдера
(1.7)
называетс
я
неравенством
КошиБуняк
овск
ого:


)
)
(
(
1=2
1=2
n
n
n


X
X
X


2
2
jb
j
:
(1.9)
ja
j
6
a
b


k
k
k
k


k
=1
k
=1
k
=1
Если
ввести
обозна
чения
a
=
(a
;
a
;
:
:
:
;
a
);
b
=
(b
;
b
;
:
:
:
;
b
);
1
2
n
1
2
n
через
kak,
kbk
обозна
чить
евклидову
норму
(длину)
векторов
a
и
b
соответственно,
)
(
)
(
1=2
1=2
n
n
X
X
2
2
jb
j
;
ja
j
;
kbk
=
kak
=
k
k
k
=1
k
=1
а
через
(a;
b)

их
ск
алярное
произведение
n
X
a
b
;
(a;
b)
=
k
k
k
=1
то
неравенство
Коши-Буняк
овск
ого
примет
вид
j(a;
b)j
6
kak


kbk:
(1.10)
n
Т
ак
к
ак
ск
алярное
произведение
векторов
в
R
равно
произведению
длин
этих
векторов
на
к
осину
с
уг
ла
между
ними
c
(a;
b)
=
kak


kbk
cos
(
a;
b
);
то
неравенство
Коши-Буняк
овск
ого
допу
ск
ает
простую
геометрическую
трактовку

к
осину
с
уг
ла
между
векторами
a
и
b
по
мо
ду
лю
не
превос
х
о
дит
единицу!
Знак
равенства
в
неравенстве
(1.10)
имеет
место
тог
да
и
тольк
о
тог
да,
к
ог
да
векторы
a
и
b
к
оллинеарны:
a
=
C
b:
В
следующих
разделах
бу
дет
пок
азано,
что
вид
неравенства
(1.10)
и
его
геометрический
смысл
со
храняютс
я
для
абстрактных
гильбертовых
пространств.
Пример
1.5.
Выведе
м
нер
авенство
Минковского
 
!
 
!
 
!
1=p
1=p
1=p
n
n
n
X
X
X
p
p
p
;
(1.11)
6
ja
j
+
jb
j
ja
+
b
j
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
1
6
p
<
1
из
нер
авенства
Г
е
льдер
а
(
1.7).
10