Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа : 11-й класс (углублённый уровень)
Покупка
ФПУ
Тематика:
Алгебра
Издательство:
Просвещение
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 320
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-09-101582-9
Артикул: 815857.01.99
Учебник является частью УМК по математике для 10—11 классов, изучающих предмет на углублённом уровне. Теоретический материал разделён на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Допущено» и включён в Федеральный перечень.
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 М91 Муравин, Георгий Константинович. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа : 11-й класс : углублённый уровень : учебник : издание в pdf-формате / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. — 9-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 318, [2] с. : ил. ISBN 978-5-09-101582-9 (электр. изд.). — Текст : электронный. ISBN 978-5-09-091755-1 (печ. изд.). Учебник является частью УМК по математике для 10—11 классов, изучающих предмет на углублённом уровне. Теоретический материал разделён на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Допущено» и включён в Федеральный перечень. УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 М91 ISBN 978-5-09-101582-9 (электр. изд.) ISBN 978-5-09-091755-1 (печ. изд.) © АО «Издательство «Просвещение», 2021 © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2021 Все права защищены Учебник допущен к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования организациями, осуществляющими образовательную деятельность, в соответствии с Приказом Министерства просвещения Российской Федерации № 254 от 20.05.2020 (в редакции Приказа № 766 от 23.12.2020) Издание выходит в pdf-формате. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Оглавление От авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава 1. Непрерывность и пределы функции 1. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Свойства пределов и асимптоты графика функции 26 Глава 2. Производная функции 4. Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . 37 5. Производная и дифференциал функции . . . . . . . . . 43 6. Точки возрастания, убывания и экстремума функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Глава 3. Техника дифференцирования 7. Производная суммы, произведения и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 77 9. Формулы производных основных функций . . . . . . 82 10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . 94 11. Вторая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Глава 4. Интеграл и первообразная 12. Площадь криволинейной трапеции. . . . . . . . . . . . . 111 13. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Глава 5. Уравнения, неравенства и их системы 14. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 15. Теорема Безу и следствие из неё . . . . . . . . . . . . . . . 138 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
16. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 17. Системы уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 18. Задания с параметрами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Глава 6. Элементы теории вероятностей и статистики 19. Сумма и произведение событий . . . . . . . . . . . . . . . . 176 20. Понятие о статистике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Глава 7. Комплексные числа 21. Формула корней кубического уравнения . . . . . . . . 200 22. Алгебраическая форма комплексныого числа . . . . 203 23. Геометрическое представление комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 24. Тригонометрическая форма комплексного числа. . 213 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Домашние контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Советы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Список литературы и интернет-ресурсов . . . . . . . . . . . . 309 Темы проектов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Основные формулы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Уважаемые старшеклассники! В этом году вы завершаете изучение школьного курса математики. Авторы постарались помочь вам как в изучении нового материала, так и в повторении изученного ранее. Знать математику — это значит уметь решать задачи. Именно задачи вам предстоит решать на ЕГЭ. В учебнике задачи разной степени трудности. В задачах, номера которых не имеют обозначений, вы не должны испытать затруднений. Значком « » отмечены задания, в которых путь к ответу, как правило, связан с некоторыми техническими сложностями. Задачи, над которыми следует подумать, имеют обозначе ние « ». План решения таких задач полезно обсудить в классе с учителем. Символом «*» обозначены наиболее трудные задачи. Значком « » отмечены задания, которые следует выполнять с помощью калькулятора. В учебнике рассматривается калькулятор операционной системы Windows. При изучении математики в 11 классе вам предстоит строить много графиков. В некоторых случаях работу в тетради полезно совмещать, а иногда и заменять работой на компьютере в одной из компьютерных программ построения и исследования графиков функций и уравнений. Такие программы свободно и бесплатно распространяются в Интернете. Мы рекомендуем две русифицированные программы GeoGebra и WinPlot. Выполненные в этих программах решения задач красивы и наглядны. Многие из них размещены школьниками и учителями математики в Интернете, где их можно посмотреть. Надеемся, что и ваши решения можно будет там увидеть. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
В тексте учебника рекомендация использовать какую-ни будь компьютерную программу обозначается символом . Вместе с основным материалом, изучение которого обязательно, в учебнике есть и дополнительный материал, знакомство с которым желательно. Начало дополнительного материала обозначается « », а конец — « ». В разделе «Основные формулы» в конце учебника вы можете найти нужную формулу. Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике. Если выполнить задание вы не можете, то прочитайте совет к задаче или посмотрите её решение. В этом вам помогут разделы «Ответы», «Советы» и «Решения». Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями, а к главам учебника предлагаются домашние контрольные работы с указанием примерного времени, на которое рассчитано их выполнение. Задания домашних контрольных работ разбиты на три уровня, которые соответствуют удовлетворительной, хорошей и отличной оценке, так что вы сами сможете оценить свои математические достижения. Если вы можете ответить на контрольные вопросы, справляетесь с контрольными заданиями и выполнили домашнюю контрольную работу, значит, материал вами усвоен. В конце учебника имеется предметный указатель, особенно полезный при повторении. В учебник не вошли многие важные и интересные математические вопросы, поэтому для тех, кто интересуется математикой, в справочном разделе учебника имеется список дополнительной литературы и интернет-ресурсов. Авторы желают вам успехов! З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Глава 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В первом пункте этой главы речь пойдёт о различии между описательно-интуитивными и строгими математическими определениями, во втором пункте вы познакомитесь с важнейшим математическим понятием предела функции, а в третьем пункте вычисление пределов позволит более точно строить графики функций. В 10 классе вы познакомились с терминами «непрерывность функции», «промежуток непрерывности функции» и «точка разрыва функции». На рисунке 1 изображён график непрерывной функции y = x2. Кусочно-заданная функция y = (рис. 2), известная в математике как функция y = sign x1, имеет разрыв в точке x = 0. 1 Функция сигнум (sign — сокращение латинского слова signum — знак) была введена немецким математиком, иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук Л. Кронекером в 1878 г. 1. Непрерывность функции Рис. 1 Рис. 2 1 при x > 0, 0 при x = 0, –1 при x < 0 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Глава 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ Первый из графиков можно изобразить, не отрывая карандаш от бумаги, а при изображении второго карандаш придётся оторвать. Именно на этом основывалось начальное представление о непрерывности функций, которым вы пользовались в 10 классе. Так, в частности, свойство сохранять знак, которым обладает непрерывная функция, которая не обращается в нуль на промежутке, позволяло решать неравенства методом интервалов. Пример 1. Решить неравенство 0. Р е ш е н и е. Найдём границы промежутков знакопостоянства функции, заданной левой частью неравенства. К этим границам относятся нули числителя, нуль знаменателя, и, конечно, сами промежутки должны входить в ОДЗ неравенства (область допустимых значений переменной x). ОДЗ: log2 (2x + 3) – 3 ≠ 0, Нули числителя: x2 – 3x – 4 = 0, x1 = –1, x2 = 4. Нуль знаменателя: x = 2,5. Отметим найденные границы с учётом нестрогости данного неравенства (рис. 3, а). Определим знаки функции на отмеченных промежутках и проведём кривую знаков. На самом правом промежутке положителен и числитель, и знаменатель дроби, а при переходе через точки 4, 2,5 и –1 или числитель, или знаменатель свой знак изменяют, что влечёт изменение знака функции ( рис. 3, б). О т в е т: –1,5 < x –1; 2,5 < x 4. Образных представлений о непрерывности было вполне достаточно для решения различных задач, пока речь шла об элементарных функциях1. Однако переход к более 1 Напомним, что к элементарным относятся функции, задаваемые формулами, содержащими степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также дроби и арифметические знаки действий. x2 – 3x – 4 log2 2x + 3 ( ) – 3 --------------------------------------------- 1 2x + 3 > 0, 2x + 3 ≠ 8; x > –1,5, x ≠ 2,5. 2 3 Рис. 3 а) б) x –1,5 –1 2,5 4 x –1,5 –1 2,5 4 – – + + ОДЗ ОДЗ З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
1. Непрерывность функции сложным числовым функциям заставил математиков задуматься над проблемой строгости своей науки и, в частности, сформулировать определения на математическом языке. Так, как сформулировано, например, определение возрастающей функции. В отличие от этого определения, основанного на простом сравнении чисел, говоря о непрерывности, мы оперируем неким описательным понятием возможности изображения карандашом. Однако здравый смысл подсказывает, что уже первый из упомянутых в этом пункте графиков, график функции y = x2, изобразить карандашом нельзя, поскольку он бесконечен, а изображаем мы лишь его часть. Но если график вообще нельзя изобразить, то вопрос о том, как именно его нельзя изобразить, отрывая или не отрывая карандаш от бумаги, звучит несколько странно. Обойти проблему бесконечности можно, рассматривая графики функций на небольших участках, т. е. в ближайших окрестностях точек графика. В точке x0 функция y = f(x) может оказаться непрерывной (рис. 4) или иметь в ней разрыв (рис. 5). На рисунке 4 точка M(x; y), изображающая остриё грифеля карандаша, двигаясь по графику функции, может оказаться как угодно близко к точке M0(x0; y0). При этом всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга как абсциссы точек M и M0, так и их ординаты. Заметим, что абсциссы Функция y = f(x) называется возрастающей на множестве S, если для любых двух чисел x1 и x2, принадлежащих этому множеству, из x1 < x2 следует f(x1) < f(x2). у x M0 M x x0 0 y0 y у x M x x0 0 y0 y M0 1 2 y = f(x) y = f(x) Рис. 4 Рис. 5 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Глава 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ точек M и M0 отличаются на |x – x0 |, а их ординаты на | y – y0| (модули здесь поставлены, чтобы учесть возможность приближения к точке M0 с другой стороны, чем изображено на рисунке). Изменяя абсциссу точки M, мы можем так уменьшить значение |x – x0|, что соответствующее значение |y – y0| станет как угодно малым, т. е. меньшим, чем любое заранее заданное положительное число. На этом и основывается строгое математическое определение непрерывности функции в точке. Это определение было предложено знаменитым французским математиком Огюстеном Луи Коши2 в 20-е гг. XIX в. Пример 2. Доказать, что функция y = 2x + 3 непрерывна в любой точке x0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного положительного числа ε нам нужно найти такое число δ, чтобы из неравенства | x – x0| < δ следовало неравенство |2x + 3 – (2x0 + 3)| < ε. Преобразуем последнее неравенство: |2x + 3 – (2x0 + 3)| < ε ⇔ ⇔ |2x – 2x0| < ε ⇔ 2|x – x0| < ε ⇔ ⇔ |x – x0| < . Для любого ε > 0 при δ = из неравенства |x – x0| < δ следу ет неравенство |2x + 3 – (2x0 + 3)| < ε, что и означает, согласно определению, непрерывность функции y = 2x + 3 в точке x0. 1 Знак следования «⇒» использован здесь в том же смысле, что и в 10 классе, когда шла речь о следовании и равносильности. А вообще, A ⇒ B значит в точности то же, что и знакомая конструкция теорем: «Если верно утверждение A, то верно и утверждение B». 2 О. Коши опубликовал это определение в 1823 г., однако на шесть лет раньше его сформулировал чешский математик Б. Больцано, чьи труды стали известны значительно позже работ Коши. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – f(x0)| < ε1. ε 2-- ε 2-- З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
1. Непрерывность функции Примерно по такой же схеме доказывается факт непрерывности любой из элементарных функций в любой точке области её определения, который мы приняли без доказательства. Пример 3. Доказать непрерывность функции y = x2 в точке x0 = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно найти, каким следует брать число δ, чтобы для любого x, такого, что |x – 1| < δ, выполнялось неравенство |x2 – 1| < ε. |x2 – 1| < ε ⇔ |(x – 1)(x + 1)| < ε ⇔ |x – 1| |x + 1| < ε. Можно сразу ограничиться рассмотрением значений x из единичной окрестности точки x0 = 1: 0 < x < 2. Для любого из таких значений |x + 1| < 3. С учётом этого, для любого ε > 0, взяв δ = , получим: |x – 1| < δ ⇒ |x – 1| |x + 1| < δ|x + 1| ⇒ ⇒ |x – 1| |x + 1| < 3δ ⇔ |x2 – 1| < ε. З а м е ч а н и е. Определение непрерывности функции в точке неприменимо, когда речь идёт о границах отрезка, являющегося областью определения функции. Действительно, при x < a и при x > b (рис. 6) неравенство |f(x) – f(x0)| < ε, где D(f) = [a; b], теряет смысл, так как не определена сама функция y = f(x). В таких точках можно говорить только об односторонней непрерывности, убирая в определении непрерывности модуль из неравенства | x – x0| < δ. При этом соответствующая часть определения будет выглядеть так: 0 x – a < δ ⇒|f(x) – f(a)| < ε (непрерывность справа) или так: 0 b – x < δ ⇒|f(x) – f(b)| < ε (непрерывность слева). С учётом сделанного замечания сформулируем определение непрерывной функции. ε 3-- у x 0 b a Рис. 6 y = f(x) Функция, непрерывная во всех точках промежутка, является на этом промежутке непрерывной. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Глава 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ На рисунке 5 легко видеть, что в точке x0 функция не является непрерывной — как бы близко слева от этой точки ни брали x, разность f(x) – f(x0) останется больше некоторого положительного числа, большего 1. Поскольку элементарные функции непрерывны на любом промежутке, входящем в область определения, они могут иметь разрывы только в точках, ограничивающих область определения. Вернёмся к рисунку 5, на котором график функции y = f(x) имеет разрыв при x = x0. Функция совершает скачок в точке x0. Как бы близко слева от этой точки мы ни брали значение x, значение |f(x0) – f(x)| останется больше некоторого положительного числа. Это значит, что для точки x0 не выполняется определение непрерывности функции. На рисунках 7 и 8 показаны графики функций, имеющие разрыв в точке x0, которая не входит в область определения. Однако при этом в некоторой окрестности слева и справа от точки x0 функции определены. На рисунке 7 хорошо вам известная гипербола y = , а на рисунке 8 вы видите график функции y = , который при y = 1 x 0 1 1 x y y = x2 – 1 0 1 2 x x – 1 Рис. 7 Рис. 8 y Точку x0, входящую в область определения функции, называют точкой разрыва функции, если функция в ней не является непрерывной. Точку x0, не входящую в область определения функции, называют точкой разрыва функции, если и слева, и справа от неё как угодно близко к точке x0 есть точки, в которых функция определена. 1 x-- x2 – 1 x – 1 ---------------- З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .