Категории и некоторые их приложения

Москва 
ИНФРА-М 

202КАТЕГОРИИ И НЕКОТОРЫЕ 

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Г.В. КОНДРАТЬЕВ

МОНОГРАФИЯ

УДК 512.581(075.4)
ББК 22.144
 
К64

Кондратьев Г.В.

К64  
Категории и некоторые их приложения : монография / Г.В. Кондратьев. — 

Москва : ИНФРА-М, 2023. — 175 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/20234.

ISBN 978-5-16-015978-2 (print)
ISBN 978-5-16-105149-8 (online)
В монографии излагается теория категорий первого порядка и строгих высших категорий. 
Особое внимание уделено ситуациям конкретного сопряжения и конкретной 
двойственности высшего порядка. Вводятся новые примеры конкретной двойственности, 
такие как: двойственность A.M. Виноградова, 2-двойственность Гельфанда — 
Наймарка, двойственность Понтрягина — Лукаша и др. В качестве внематематическо-
го приложения рассмотрено предсказание эмпирических данных, основанное на идее 
 естественности.

Может быть использована как учебное пособие по общей теории категорий и возможностям 
ее применения в математике и других науках.

УДК 512.581(075.4)

ББК 22.144

Р е ц е н з е н т ы:

Толен В., профессор (Йоркский университет, Канада);
Сташеф Дж., профессор (Пенсильванский университет, США)

ISBN 978-5-16-015978-2 (print)
ISBN 978-5-16-105149-8 (online)
© Кондратьев Г.В., 2017

Предисловие

Теория категорий уже давно зарекомендовала себя как удобное, гибкое и

выразительное средство в математике, логике, физике, компьютерных и инженерных 
науках. После первой негативной реакции математиков на слишком 
высокий и, казалось бы, не всегда нужный уровень абстракции эта теория

получила полное признание в особенности благодаря прогрессу, сделанному

ей самой, и соответствующему выводу математики на более высокий концептуальный 
и в то же время экономный, обладающий большой вычислительной

мощью уровень. Это относится в первую очередь к таким областям, как алгебраическая 
топология и геометрия, гомологическая и универсальная алгебра,

формальная теория дифференциальных уравнений, основания математики и

логики, логические исчисления, теоретико-топосные модели физики, функциональное 
программирование.

Самым простым приложением теории категорий к другим наукам является 
использование ее языка и формулировка конкретной теории в рамках

категорных конструкций. Более глубоким является изучение свойств категории, 
связанной с конкретной областью, и выражение конкретных предметных

понятий через эти свойства, а также доказательство категорных теорем в специфической 
области. Зачастую такие теоремы очень важны (как, например,

то что пространства Келли в топологии образуют декартово-замкнутую категорию). 
Без средств теории категорий эти результаты плохо распознаваемы

и с трудом доказуемы.

Самым глубоким уровнем приложений является полная категорифика-

ция конкретной прикладной области. Теоретически она всегда достижима,

но усилия, затрачиваемые на нее, возможно, не всегда адекватны сложности

и важности проблемы. В тексте в зависимости от задачи рассматриваются

разные уровни приложений теории категорий.

После стандартного материала по общей теории категорий (глава 1) и

некоторым дополнительным структурам на категории (глава 2) даются применения 
этой теории: к общим вопросам математики, таким как конкретная

двойственность, включающая 2-двойственность Гельфанда-Наймарка, обогащение 
категории предпучками множеств и конструкция обобщенных много-

3

образий, обсуждение некоторых видов инвариантов, возникающих в теории

категорий и геометрии (глава 3), а также к предсказанию поведения эмпирических 
данных, основанному на принципе естественности (глава 4).

Приложения теории к упомянутым выше разделам математики, логики,

физики и программирования хорошо представлены в литературе и в данной

книге не рассматриваются (см. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]).

4

Оглавление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

1
Основы теории категорий
7

1.1. Категории и функторы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2. Естественные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. 2-категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Сопряженные функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5. Пределы и копределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2
Категории с дополнительной структурой
47

2.1. Моноидальная структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2. Обогащение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Расслоенные категории
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4. Слабые ∞-категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4..1
Представимые ∞-функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4..2
(Ко)пределы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.4..3
Сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3
Приложения к общим вопросам математики
98

3.1. Конкретная двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.1..1
Естественная и неестественная двойственность . . . . . . 100

3.1..2
Еще примеры конкретной двойственности . . . . . . . . . 107

3.2. Почти-объекты, почти-структуры
. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.3. Обобщенные многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3..1
Стэки и конструкция обобщенных многообразий . . . . . 149

3.4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

Оглавление

3.4..1
Гомотопические группы, ассоциированные с бесконечно-

мерными категориями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.4..2
Двойственность и теория инвариантов . . . . . . . . . . . 158

4
Категорный анализ данных
163

4.1. Мотивирующие примеры для введения естественных преобра-

зований в статистику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.1..1
Естественное расширение данных
. . . . . . . . . . . . . 164

4.2. Внутренняя равномерная регулярность данных . . . . . . . . . . 164

4.3. Липшицева неопределенность как выражение равномерной непре-

рывности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4. Теоретико-категорная модель данных . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.5. Обсуждение естественной статистики
. . . . . . . . . . . . . . . 169

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6

Основы теории категорий

Категории представляют некоторую метатеорию математики. Они явля-

ются теорией типов, лежащей за математическими объектами и представ-

ляющей (прото)типы объектов, конструкций и отображений, используемых в

той или иной теории. Именно поэтому некоторые математики считают ее бес-

смысленной, не несущей никакого содержания, и именно поэтому же другие

математики считают ее важной и фундаментальной, задающей общие прави-

ла ‘на все случаи жизни’. На самом деле, теория категорий не только задает

какие-то рамки и типы, но и является вполне инструментальной, с большой

вычислительной мощью и, в то же время, с концептуальным взглядом на ве-

щи. Стандартными ссылками по теории категорий являются [1, 14, 15, 12, 13].

1.1. Категории и функторы

Категории состоят из объектов и морфизмов (или стрелок). Морфизмы,

по смыслу самого названия, – это отображения, сохраняющие структуру объ-

ектов. Как правило, математические теории изучает одну или несколько свя-

занных между собой категорий.

Определение 1. Категория C состоит из двух классов: Ob(C) и Ar(C).

Элементы первого класса называются объектами, а второго морфизмами

(или стрелками) категории C. Имеются функции начала и конца стрелки

d, c : Ar(C) → Ob(C). На классе Ar(C) определен частичный закон компози-

ции ◦ : Ar(C)×Ar(C) → Ar(C) : (f, g) → g◦f. Стрелка g◦f определена, если

и только если dg = cf, то есть конец первой стрелки совпадает с началом

второй. Класс объектов Ob(C) может быть произвольным. Класс стрелок

Ar(C) с операцией композиции ◦ должен удовлетворять двум аксиомам:

• (аксиома единицы) для каждого объекта C ∈ Ob(C) существует

7

Основы теории категорий

единичная стрелка 1C, такая что d1C = c1C = C и для всяких стрелок

f, g выполняется 1C ◦ f = f, g ◦ 1C = g в том случае, когда указанные

композиции определены,

• (аксиома ассоциативности) для любых трех стрелок f, g, h выпол-

няется f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h в том случае, когда все композиции

определены.

Обозначение кружком ◦ для закона композиции функций является стан-

дартным. Буквы d, c обозначают первые буквы слов domain и codomain. Сло-

во ‘стрелка’ возникает естественно, так как обозначает вещь, имеющую на-

чало и конец, f : df → cf. Когда написано f : A → B, это значит, что

df = A, cf = B. Класс стрелок {f ∈ Ar(C) | df = A, cf = B} называется

hom-множеством из A в B и обозначается hom(A, B) (в некоторых случаях

это множество может быть ‘большим’, то есть быть собственным классом).

Класс hom(A, B) может обозначаться также homC(A, B) или C(A, B), особен-

но если нужно подчеркнуть, какая категория рассматривается.

Чтобы выразить, что одна композиция стрелок равна другой, например,

f ◦ g = h ◦ k, используют коммутативные диаграммы
B
f
C

A

g
k
D

h

. Очевид-

но, могут быть коммутативные диаграммы более сложной формы, например,
A

f

g

α
B
p
q

C

k
D
l
E

, которая графически выражает, что p ◦ α = f, q ◦ α = g,

k ◦ p = l ◦ q, k ◦ f = l ◦ g, k ◦ p ◦ α = l ◦ q ◦ α (из первых трех равенств следуют

оставшиеся). Пунктирной стрелкой выражают единственность. В коммута-

тивной диаграмме композиции стрелок вдоль любых двух путей с общим

началом и концом равны по определению.

Примерами категорий являются:

1. категория множеств Set с объектами, множествами, и стрелками, отоб-

ражениями из одного множества в другое,

8

Основы теории категорий

2. категория групп Grp с объектами, группами, и стрелками, гомомор-

физмами групп,

3. категория колец Rng с объектами, кольцами, и стрелками, кольцевыми

гомоморфизмами,

4. категория топологических пространств Top с объектами, топологиче-

скими пространствами, и стрелками, непрерывными отображениями,

5. категория дифференцируемых многообразий Diff с объектами, дифференцируемыми 
многообразиями, и стрелками, дифференцируемыми

отображениями,

6. категория банаховых пространств Ban с объектами, банаховыми пространствами, 
и стрелками, линейными непрерывными отображениями,

7. множество с отношением предпорядка P = (P, ≤) ( ≤ – рефлексивно и

транзитивно). Ob(P) = P, Ar(P) = ≤ ⊂ P 2 (то есть стрелки – это пары

(a, b), если a ≤ b), 1a = (a, a), (b, c) ◦ (a, b) = (a, c),

8. моноид M = (M, ·, e). Ob(M) = {∗} (одноэлементное множество),

Ar(M) = M, 1∗ = e (единица моноида), f ◦ g = f · g,

9. категория Data, состоящая из конечных множеств данных и вычислимых 
функций/процессов между ними.

Во всех примерах, исключая 7, 55, единичными стрелками являются тождественные 
отображения объектов, а композицией – обычная композиция

отображений g ◦ f(x) = g(f(x)).

Часто удобно выделять специальные типы стрелок категории C. К таким

относятся:

• монострелка (или мономорфизм) α : A → B, которая сократима слева,

то есть для любых двух ‘параллельных’ стрелок C
f
g
A , таких что

α ◦ f = α ◦ g, следует f = g,

• эпистрелка (или эпиморфизм) ω : A → B, которая сократима справа,

то есть для любых двух ‘параллельных’ стрелок B
x
y
C , таких что

x ◦ ω = y ◦ ω, следует x = y,

9

Основы теории категорий

• изострелка (или изоморфизм) f : A → B, которая имеет обратную

f −1 : B → A, то есть f −1 ◦ f = 1A, f ◦ f −1 = 1B.

Обычно монострелки инъективны, а эпистрелки сюръективны, как в ка-

тегории множеств Set. Однако, это не является общим правилом. Извест-

ным контрпримером является вложение натуральных чисел в рациональные

N → Q в категории колец, которое действительно является монострелкой

и инъективно, но также является эпистрелкой и не сюръективно. Отсюда

также следует, что не все стрелки, которые одновременно моно- и эпи-, –

изоморфизмы. Хотя обратное всегда верно.

Функторы играют роль отображений между категориями. Они переводят

объекты в объекты и стрелки в стрелки, сохраняя при этом закон компози-

ции.

Определение 2. Функтор F : C → D из категории C в категорию D

– это отображение F : Ob(C) Ar(C) → Ob(D) Ar(D), такое что:

• если C ∈ Ob(C), то F(C) ∈ Ob(D),

• если f ∈ Ar(C), то F(f) ∈ Ar(D),

• если f ∈ Ar(C), то F(df) = dF(f), F(cf) = cF(f),

• если C ∈ Ob(C), то F(1C) = 1F(C),

• если композиция f ◦ g определена в C, то F(f ◦ g) = F(f) ◦ F(g).

Функторы иногда называются также ковариантными функторами. В том

случае, когда отображение F в определении 2 меняет местами начало и конец

стрелки, то есть F(df) = cF(f), F(cf) = dF(f), и меняет закон композиции

на противоположный F(f ◦ g) = F(g) ◦ F(f), оно называется соответствен-

но контравариантным функтором. Если формально ввести двойственную

категорию Cop, имеющую те же объекты и стрелки, что и исходная C, но в

которой dop = c, cop = d, f ◦opg = g◦f (когда композиция g◦f определена в C),

то функтор F : Cop → D такой, как в определении 2, будет соответствовать

контравариантному функтору F : C → D (см. пример 2 ниже).

Примерами функторов являются:

10

Основы теории категорий

1. тождественный ковариантный функтор 1C : C → C, оставляющий все

на месте,

2. тождественный контравариантный функтор (·)op : C → Cop, не изме-

няющий объекты и стрелки, но меняющий местами функции начала и

конца, d и c, и изменяющий закон композиции на противоположный.

Любой контравариантный функтор ˆF : C → D пропускается через

(·)op : C → Cop, то есть существует ковариантный функтор F : Cop → D,

такой что ˆF = F ◦ (·)op,

3. для всех примеров категорий, кроме 7, 55, существует забывающий

функтор U : C → Set, который сопоставляет объекту категории множество, 
на котором определен этот объект, и стрелке – отображение множеств. 
Иногда может забываться только часть структуры объекта, как

например, в функторе U : Rng → Grp, который сопоставляет кольцу

его аддитивную группу, а кольцевому гомоморфизму – гомоморфизм

аддитивных групп,

4. функтор вложения i : C → D категории C в объемлющую категорию D

(то есть классы объектов и стрелок категории C являются подклассами

объектов и стрелок категории D, а все операции в C – ограничениями

соответствующих операций в D). Например, имеются вложения категории 
конечных множеств в категорию всех множеств FinSet → Set

или категории абелевых групп в категорию групп Ab → Grp. Функтор

вложения может рассматриваться как забывающий функтор,

5. ковариантный hom-функтор hom(C, −) : C → Set :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

A → hom(C, A)
на объектах

(f : A → B) → hom(C, f) :

⎧
⎨

⎩
hom(C, A) → hom(C, B)

g → f ◦ g
на стрелках

(предполагается, что для любой пары объектов C, A ∈ Ob(C) класс

hom(C, A) является множеством),

11

Основы теории категорий

6. контравариантный hom-функтор hom(−, C) : Cop → Set :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

A → hom(A, C)
на объектах

(f : A → B) → hom(f, C) :

⎧
⎨

⎩
hom(B, C) → hom(A, C)

g → g ◦ f
на стрелках

(предполагается, что для любой пары объектов A, C ∈ Ob(C) класс

hom(A, C) является множеством),

7. функтор π0 : Top → Set, сопоставляющий топологическому простран-

ству множество его компонент связности, а непрерывному отображению

– отображение компонент связности,

8. касательный функтор T : Diff → Diff, сопоставляющий гладкому мно-

гообразию пространство его касательных векторов, а гладкому отобра-

жению – его дифференциал,

9. функтор вложения частично упорядоченных множеств (N, | ) → (N, ≤).

a | b, если a делит b в N, и a ≤ b, если a меньше или равно b в смысле

естественного порядка на N.

На классе объектов категории C имеется естественное нетривиальное от-

ношение эквивалентности: A ≃ B, если объекты A и B изоморфны, то есть

существует изоморфизм f : A → B.

Утверждение 1. Если A ≃ B в категории C и F : C → D – функтор,

то F(A) ≃ F(B).

Доказательство. Если f : A → B является изоморфизмом в C с обратным

f −1 : B → A, то F(f) : F(A) → F(B) – изоморфизм в D с обратным

F(f −1) : F(B) → F(A), так как 1F(A) = F(1A) = F(f −1 ◦ f) = F(f −1) ◦ F(f)

и 1F(B) = F(1B) = F(f ◦ f −1) = F(f) ◦ F(f −1).

Таким образом, если можно установить, что F(A) ̸≃ F(B), то отсюда

следует, что A ̸≃ B. Например, поскольку {1, 2} ̸≃ {1} в Set, то топологи-

ческое пространство, состоящее из двух кусков, не может быть изоморфно

пространству, состоящему из одного куска, в силу функтора πo (пример 7).

12