Принцип Даламбера. Инженерные задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

С. А. Берестова
Ю. В. Денисов

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ 
для студентов, обучающихся 
по техническим направлениям подготовки 

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2016

УДК 531.312(075.8)
ББК 22.213я73
         Б48
Рецензенты:
завкафедрой теоретической механики и оборудования целлюлоз-
но-бумажных производств Уральского государственного лесотех-
нического университета доц., канд. физ.-мат. наук Л. Т. Раевская;
ин-т машиноведения УрО РАН (завлабораторией системного мо-
делирования ИМАШ УрО РАН проф., д-р техн. наук А. Г. Залазин-
ский).
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. Т. В. Дружинина

На обложке использована фотография с сайта http://www.
autonavigator.ru/guides/foto/Audi/Q7/none/SUV%205%20door/2015-
9999/FotoID-18623.html

 
Берестова, С. А.
Б48    Принцип Даламбера. Инженерные задачи : учебное посо-
бие / С. А. Берестова, Ю. В. Денисов. — Екатеринбург : Изд-во Урал. 
ун-та, 2016. — 92 с.

ISBN 978-5-7996-1717-2

В учебном пособии приведен принцип Даламбера для решения инже-
нерных задач по определению ускорений и динамических реакций. Изло-
жение ориентировано на реализацию инженерной подготовки бакалавров 
и магистров. Теоретический материал, представленный в необходимом объ-
еме, иллюстрируется многочисленными примерами. Рассматривается дви-
жение реальных объектов (механизмов), постоянно используемых в инже-
нерной практике при конструировании механизмов и их эксплуатации.

Библиогр: 8 назв. Табл. 1. Рис. 54
УДК 531.312(075.8)
ББК 22.213я73

ISBN 978-5-7996-1717-2 
 © Уральский федеральный 
 
      университет, 2016

Введение

П

олученные в классической механике уравнения дви-
жения материальных объектов, а также общие тео-
ремы динамики позволяют решать многие задачи 
о движении механических систем, исследовать динамику ме-
ханизмов и машин.
Для исследования движения механических систем, ана-
лиза движения реальных объектов можно использовать один 
из принципов механики — принцип Даламбера.
Принцип Даламбера упрощает процесс составления уравне-
ний движения, так как при этом используются простые мето-
ды статики. В этом случае уравнения движения записываются 
в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики, осно-
ванный на принципе Даламбера, широко используется в ди-
намике механизмов при проведении силового расчета и опре-
делении сил взаимодействия звеньев механизма друг на друга.
Метод, позволяющий уравнениям движения придать вид 
уравнений статики, Даламбер изложил в трактате «Динамика», 
вышедшем в свет в 1743 году. Французский ученый Ж. Далам-
бер (1717–1783) — механик и философ, профессор политех-
нической школы и член Парижской академии наук. В тракта-
те ученый решил задачу — записать уравнения движения точки 
и точек системы в форме уравнений равновесия. Еще рань-
ше этот принцип был сформирован и применялся Я. Герман-
ном и Л. Эйлером, которые работали в Петербургской акаде-
мии наук, и получил название «Петербургского принципа». 

Введение

Германн Я. (1678–1733) — швейцарский математик и меха-
ник; Л. Эйлер (1707–1783) — знаменитый математик, астро-
ном и физик. За 30 лет работы в Российской академии наук Эй-
лер создал большое количество работ по математике, механике 
твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
По установившейся традиции этот принцип механики называ-
ется принципом Даламбера, хотя правильнее его было бы на-
зывать принципом Германна — Эйлера — Даламбера.
В середине XIX века в трактовке принципа было использо-
вано понятие силы инерции материальной точки, что сделало 
его удобным для решения инженерных задач. Новая трактовка 
принципа Даламбера с использованием понятия силы инерции 
и является основой важного метода инженерной механики — 
метода кинетостатики, широко используемого при решении 
инженерных задач.
Рассматриваемое учебное пособие не подменяет литерату-
ру, а дополняет ее. Материал учебного пособия позволяет уста-
новить более тесную связь методов теоретической механики 
со специальными дисциплинами.

Глава 1. Принцип Даламбера

1.1. Сила инерции материальной точки.  
Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду
Р

ассмотрим движущуюся материальную точку M  мас-
сой m  (рис. 1.1). Пусть a  — ускорение точки в инер-
циальной системе отсчета.
Дадим определение. Силой инерции мате-
риальной точки называют силу, равную по мо-
дулю произведению массы точки на ее ускорение.
Сила инерции
 



Ф = -ma

направлена противоположно ускорению. Отметим, что сила 


Ф  
не приложена к движущейся точке.
Рассмотрим движущееся твердое тело, состоящее из n точек, (
рис. 1.2, а)

 



ФS
S
S
m a
= -
 (
, ,..., )
s
n
=1 2
.

Добавим к каждой точке силу инерции и получим систему 
сил инерции. Пусть точка C — центр масс твердого тела. С использованием 
метода Пуансо приведем систему сил к центру 
масс, заменяя силой и парой сил, (рис. 1.2, б). Главный вектор 

RФ  и главный момент сил инерции 


MC
Ф  определяются по выражениям (
1.1)

a

Ф

M

Рис. 1.1

Глава 1. Принцип Даламбера

 



R
MaC
Ф = -
, 




M
dK
dt
C
C
Ф = -
, 
(1.1)

где M  — масса тела; aC  — ускорение центра масс; K c

 — кинетический 
момент тела относительно центра масс (кг · м 2/с = 
= Н · м · с).
                а                                                                б

MS
C
C

R Ф

~

MФ
C
ФS

Рис. 1.2

Рассмотрим частные случаи движения тела.
1) Поступательное движение (рис. 1.3).

aC
C
R Ф

Рис. 1.3

Приняв в формуле (1.2) центр масс за центр приведения, 
получим

 



R
Ma
Ф

C
= -
, 


MC

Ф = 0  – 
(1.2)

силы инерции приводятся к равнодействующей, приложенной 
в центре масс.
2) Вращение тела вокруг оси, перпендикулярной плоскости 
материальной симметрии.

1.1. Сила инерции материальной точки. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду 

а) Ось проходит через центр масс (рис. 1.4).

C

MФ
C

z
ω

ω
ε

Рис. 1.4

В этом случае главный вектор и главный момент сил инерции 
определяются как

 


RФ = 0 , 



M
J
C
CZ
Ф = -
e , 
(
)
M
J
CZ
CZ
Ф =
e  — 
(1.3)

силы инерции приводятся к паре сил, расположенной в плоскости 
материальной симметрии.
В выражении (1.3) JCZ  — момент инерции тела относительно 
оси, проходящей через центр масс (центральной), кг ·м 2; e — 
угловое ускорение тела, рад/с 2.

б) Ось вращения не проходит через центр масс; приведение 
сил инерции к равнодействующей.
Рассмотрим вращение диска (рис 1.5).
На рис. 1.5, а в качестве центра приведения выбрана точка С; 
h — расстояние центра масс C до оси вращения. При этом составляющие 
главного вектора и главного момента имеют значение

 

R
hт
t
e
Ф =
; 
R
hт
n
Ф =
w2 ; 
С
CZ
М
J
mR
Ф =
=
e
e

2

2
,

гдеR  — радиус диска; J
mR

CZ =

2

2
.

Глава 1. Принцип Даламбера

           а                                     б                                        в

O

z

ω,ε

R Ф
n
R Ф
τ

C

h
a n
C
a τ
C

MФ
C

O

z

ω, ε

R Ф
n

R Ф
τ

C

h
MФ
O
R

O

z

ω,ε

C
R
Ф
n

D
h

R Ф
τ

Рис. 1.5

На рис. 1.5, б в качестве центра приведения выбрана точка 
О. Составляющие главного вектора (в силу его инвариантности) 
имеют то же значение, а главный момент определяется 
относительно центра О.

 
R
hт
t
e
Ф =
; 
R
hт
n
Ф =
w2 ; 
О
ОZ
М
J
mR
mh
Ф =
=
+
ж
из
ц
шч
e
e

2
2
2
,

где момент инерции относительно оси OZ определяется по теореме 
Гюйгенса.

 
J
J
mh
mR
mh
OZ
CZ
=
+
=
+
2
2
2

2
.

На рис. 1.5, в в качестве центра приведения сил инерции выбрана 
точка D, причем

 
OD
M
R
h
M
R
R
h
h
C
O
=
+
=
=
+

Ф

Ф

Ф

Ф
t
t

2

2

при h
R
= 2 , OD
R
= 3

2
.

В этом случае силы инерции приводятся к равнодействующей, 
приложенной в точке D.

1.2. Принцип Даламбера для точки и механической системы

3) Плоскопараллельное движение, рис. 1.6.
Тело имеет плоскость материальной симметрии и движется 
параллельно этой плоскости. В этом случае силы инерции приводятся 
к силе 


RФ  и паре сил с моментом 


MC
Ф .

aC
C
R Ф
MФ
C

ε

Z

Рис. 1.6

Значение главного вектора и главного момента

 



R
MaC
Ф = -
, 



M
J
C
CZ
Ф = -
e  
(
)
M
J
C
CZ
Ф =
e .

Отметим, что в этом случае плоскую систему сил инерции 
также можно привести к равнодействующей.
Обратим внимание на то, что при решении задач обычно 
вычисляют модули R
MaC
Ф =
 и M
J
C
CZ
Ф =
e , a направление сил 
инерции указывают на рисунке.

1.2. Принцип Даламбера для точки и механической системы

Рассмотрим движущуюся точку (рис. 1.7, а) и добавим к точке 
силу инерции 



Ф = -ma  (рис. 1.7, б).
                                        а                             б

F

a

N

M

F

a

N

M
Ф

Рис. 1.7