Типовые математические схемы моделирования. Примеры и задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. П. Мохрачева

ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. 
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов направления подготовки 
08.04.01 — Строительство

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2018

УДК 510.67(075.8)
ББК 22.12я73
          М86
Рецензенты:
М. П. Кащенко, д‑р физ.‑мат. наук, проф., завкафедрой физики 
Уральского государственного лесотехнического университета;
А. П. Танкеев, д‑р физ.‑мат. наук, проф., главный научный сотрудник ИФМ УрО РАН

Научный редактор — С. И. Тарлинский, канд. физ.‑мат. наук, доц. 
кафедры высшей математики ИнФО УрФУ

 
Мохрачева, Л. П.
М86    Типовые математические схемы моделирования. Примеры и задачи : учебное пособие / Л. П. Мохрачева. — Екатеринбург : Изд‑во 
Урал. ун‑та, 2018. — 144 с.

ISBN 978‑5‑7996‑2362‑3

Рассмотрены математические схемы некоторых детерминированных 
и стохастических математических моделей. Для каждой из схем приведены примеры математических моделей из различных предметных областей 
и их решения. Использованы аналитические и численные методы получения результатов. Представлены компьютерные программы для численных 
расчетов и задачи для самоконтроля.

Библиогр.: 13 назв. Рис. 21. Табл. 14. Прил. 1.

УДК 510.67(075.8)
ББК 22.12я73

ISBN 978‑5‑7996‑2362‑3 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2018

Предисловие

Н

астоящее пособие предназначено для первоначального знакомства с математическими методами моделирования. Объем пособия соответствует семестровому курсу «Методы математического моделирования» (18 часов 
лекций и 18 часов практических занятий), который читается 
автором магистрантам строительного института, обучающимся по различным образовательным программам.
Ограниченный объем курса стал причиной выбора только 
нескольких типовых математических схем, знакомство с которыми может представлять практическую ценность для магистрантов. Ориентация на практическое использование знаний 
и навыков, которые могут быть получены при изучении курса, определяет структуру изложения материала в пособии. Изучение типовых моделей происходит в следующей последовательности:
1) знакомство с математическим аппаратом, использованным для описания модели;
2) изучение методов решения математической модели;
3) программная реализация алгоритмов решения в рамках 
доступных математических пакетов;
4) анализ полученных результатов и планирование вычислительного эксперимента.

Предисловие

В пособии представлены примеры конкретных расчетов для 
непрерывных и дискретных детерминированных моделей, некоторых моделей оптимизации, непрерывных стохастических моделей, а также статистических регрессионных моделей.
В конце каждого раздела приведены задачи для самоконтроля.
Автор надеется, что пособие будет полезным студентам и магистрантам при изучении и практическом применении методов математического моделирования в различных предметных 
областях.

1. Понятие математической модели.  
Некоторые типовые схемы математического 
моделирования

1.1. Формальная математическая модель  
объекта моделирования

Рассмотрим схему

 

Y(y1, y2, ..., yn)     
 
       
H(h1, h2, ..., hm)

V(v1, v2, ..., vl)

X(x1, x2, ..., xk),

где прямоугольником обозначен объект (процесс) моделирования, X x
x
xk
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество внешних воздействий на моделируемый объект, V v
v
vl
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество воздействий 
внешней среды, H h
h
hm
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество внутренних состояний объекта, Y y
y
yn
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество выходных параметров (реакций) моделируемого объекта. Обычно множество 
внешних воздействий X x
x
xk
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) содержит управляемые параметры. Однако в общем случае все множества Х, Y, V, H могут 
содержать как детерминированные, так и стохастические переменные. Рассматривая эти множества как некоторые формальные векторы 





X
V
H
Y
,
,
,
 
 
 
, запишем равенство 





Y
F X
V
H t
=
(
,
,
, )
 
 
 , 
где t — время, F — некоторый оператор, определение структуры 
которого и является целью моделирования. Приведенное выше 
равенство является формальной математической моделью. Если 

1. Понятие математической модели. Некоторые типовые схемы математического моделирования 

в нем отсутствует время, то модель называется статической, в отличие от приведенной выше динамической модели. Структура 
оператора F может быть аналитической, численной или статистической. В связи с этим математические модели можно разделить на аналитические, численные и статистические.

1.2. Общая схема создания  
математической модели и работы с ней

Математическая модель создается на основе содержательной 
модели, которая отражает существенные свойства моделируемого объекта или процесса и содержит описание входных параметров (управляемых или стохастических), внутренних параметров и выходных параметров. Создание математической 
модели происходит путем формализации содержательной модели в виде уравнений, систем уравнений различных видов, неравенств или отношений. На этом этапе можно использовать типовые математические схемы моделирования.
Дальнейшая работа с созданной моделью содержит:
1) ее качественный анализ с целью разработки методов решения или возможных упрощений, а также тестирования для 
частных случаев с использованием точных решений;
2) обоснование выбора конкретного алгоритма для получения количественных результатов, в том числе обязательно оценку точности вычислительного метода.
Реализация выбранных численных методов требует создания 
компьютерных программ. Для не слишком сложных моделей 
тексты этих программ можно получить с использованием математических пакетов, таких как MathCAD или Mathematica.
Наличие конкретных компьютерных программ делает возможным проведение вычислительного эксперимента, целью которого является проверка адекватности данной модели и получение дополнительной информации.

1.3. Типовые математические схемы моделирования

1.3. Типовые математические схемы моделирования

В пособии рассматриваются следующие типовые математические схемы моделирования:
1) непрерывно‑детерминированные D‑схемы. Эти схемы 
применяются для описания различных моделей в теории управления. Математической моделью является задача Коши для 
обыкновенного дифференциального уравнения или системы 
обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравнений в частных производных с различными начальными и краевыми условиями. В моделях оптимального управления и некоторых других моделях оптимизации решения находятся при 
ограничениях на функции, которые имеют линейный, нелинейный или дифференциальный характер;
2) дискретно‑детерминированные F‑схемы (конечные автоматы). С помощью этих схем описываются модели устройств 
контроля и управления, имеющие дискретный характер работы 
во времени. Математическая модель состоит из задания начального состояния автомата и из уравнений, задающих значения 
выходных параметров в данный момент времени в зависимости от значений входных параметров и внутренних состояний 
в данный или предшествующий моменты. Вместо уравнений 
могут быть использованы таблицы или графы;
3) стохастические модели. В стохастических моделях все или 
часть переменных множеств Х, Y, Н являются случайными величинами. В пособии рассматриваются модели регрессионного 
типа, имеющие большое значение при статистическом анализе 
наблюдений и непрерывно‑стохастические модели (Q‑схемы), 
которые применяются для описания систем массового обслуживания.

2. Непрерывно‑детерминированные схемы 
математического моделирования (D‑схемы)

2.1. Эволюционные модели
П

римерами использования этих схем могут служить модели эволюции биологических систем, статические 
и динамические модели математической физики, 
а также модели процессов в конкретных предметных областях 
и некоторые модели оптимизации (например, оптимального 
управления). Модели оптимизации будут рассмотрены в следующем разделе.

ПРИМЕР 1. Простейшей эволюционной моделью является 
модель динамики популяции (модель Мальтуса).

Математическая модель

Математической моделью является задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка 

 
dN t
dt
t
t
N t
N
N
( )
,
,
=
( )- ( )
(
)
( )
( ) =
a
b
0
0  

где N t( ) — численность популяции, a t( ) — коэффициент размножения, b t( ) — коэффициент смертности. Данное уравнение 
допускает разделение переменных.

2.1. Эволюционные модели

Решение

Разделяем переменные dN t

N t
t
t
dt
( )
.
( )

=
( )- ( )
(
)
a
b
 Интегрируя 

правую и левую части уравнения, получаем общий интеграл

 
dN t
N t
N t
t
t
dt
C
C
( )
ln
ln
,
.
( )

=
( ) =
( )- ( )
(
)
+
№
т
т a
b
0

Таким образом, общее решение имеет вид 

 
N t
Ce
t
t
dt
( ) =
т
( )- ( )
(
)
a
b
. 

Из начального условия следует 

 
N
Ce
t
t
dt
t

0

0
=
т
( )- ( )
(
)

=
a
b

 и C
N e
t
t
dt
t
=
т
( )- ( )
(
)

=

0

0
a
b
. 

Если коэффициенты a t( ) и b t( ) являются константами, то решение имеет вид 
 
N t
N e

t
( ) =
(
)
0
a b .

Анализ результата

Если a
b
> , то численность популяции неограниченно возрастает. При a
b
<  численность снижается, и при a
b
=  численность 
остается постоянной. Если коэффициенты a t( ) и b t( ) зависят 
от времени, то картина может быть существенно иной. Например, если a t
t
( ) = cos ,  b
p
t
t
( ) =
+
ж
из

ц
шч
sin
,
4
 то решение имеет вид 

 
N t
N e

t
t
( ) =

+
ж
из

ц
шч+
ж
из

ц
шч

0
4
4
sin
cos
cos

.

p
p

На рис. 2.1 представлен характер этой зависимости при 

N 0
50
=
.