Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА

Е.А. КОГАН
А.А. ЮРЧЕНКО

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНИК

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебника для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 15.03.01 

«Машиностроение», 38.03.01 «Экономика» 

(протокол № 8 от 29.04.2019)

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171:22.172я73
 
К57

Р е ц е н з е н т ы :

Куликов Г.М., доктор физико-математических наук, профессор, про
фессор Тамбовского государственного технического университета;

Толмачев П.И., доктор экономических наук, профессор, заведу
ющий кафедрой мировой экономики Дипломатической академии 
Министерства иностранных дел Российской Федерации

ISBN 978-5-16-014235-7 (print)
ISBN 978-5-16-106292-0 (online)
© Коган Е.А., Юрченко А.А., 2019

Коган Е.А.

К57  
Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / 

Е.А. Коган, А.А. Юрченко. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 250 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5cde5
4d3671a96.35212605.

ISBN 978-5-16-014235-7 (print)
ISBN 978-5-16-106292-0 (online)
Учебник написан в соответствии с типовой программой курса «Тео
рия вероятностей и математическая статистика». Дано систематическое 
изложение основных разделов элементарного курса теории вероятностей 
и математической статистики, посвященных случайным событиям, одномерным и двумерным случайным величинам и законам их распределения, 
предельным теоремам теории вероятностей. Рассмотрены понятия и методы математической статистики, наиболее часто используемые при статистической обработке опытных данных. Приведено большое количество 
типовых задач и задач для самостоятельного решения.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов различных направлений подготовки в области гумани
тарных и естественных наук. Может быть использован студентами для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических 
занятий.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171:22.172я73

Предисловие

Учебное пособие написано в соответствии с типовой программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая 
статистика» и предназначено для студентов, обучающихся прежде 
всего по направлениям подготовки 15.03.01 «Машиностроение», 
38.03.01 «Экономика», а также может использоваться для других 
направлений подготовки в вузах различного профиля.
К основным целям освоения дисциплины «Теория вероятностей 
и математическая статистика» следует отнести:
 
• воспитание у студентов общей математической культуры;
 
• развитие способности студентов к индуктивному и дедуктивному мышлению наряду с развитием логики и математической 
интуиции;
 
• умение студентами развивать навыки самостоятельного 
изучения учебной и научной литературы, содержащей математические сведения и результаты;
 
• формирование у студентов требуемого набора компетенций, соответствующих его направлению подготовки и обеспечивающих 
его конкурентоспособность на рынке труда.
Основными задачами освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются:
 
• освоение студентами основных понятий, вероятностных моделей и методов, формирующих общую математическую подготовку, необходимую для успешного решения прикладных задач;
 
• подготовку студентов к профессио нальной деятельности в соответствии с квалификационной характеристикой бакалавра 
по направлению.
Следует иметь в виду, что дисциплина «Теория вероятностей 
и математическая статистика» взаимосвязана логически и содержательно-методически со многими дисциплинами базовой и вариативной частей образовательных программ: с дискретной математикой, физикой, надежностью технических систем, метрологией, 
стандартизацией и сертификацией, моделированием систем массового обслуживания, экономикой и менеджментом, с исследованием 
операций и методами оптимизации и др. Поэтому в результате 
освоения курса студент должен:
знать
 
• основные теоретические понятия, предусмотренные программой 
курса (понятие случайного события и различные определения 

вероятности появления случайного события, связь и различие 
между ними, основные теоремы теории вероятностей и следствия из них, понятие случайной величины и основные законы 
распределения, числовые и функцио нальные характеристики 
случайной величины, предельные теоремы теории вероятностей, 
понятие о выборочном методе в статистике, построение точечных 
и интервальных оценок случайной величины, постановку и методы решения задачи оценки правдоподобия статистических 
гипотез, элемен ты корреляционного и регрессионного анализа);
уметь
 
• применять понятия, модели и методы теории вероятностей и математической статистики к решению стандартных прикладных 
задач;
владеть
 
• методикой корректного применения вероятностно-статистических методов для решения профессио нальных задач.
В некоторых учебных курсах, например в [8, 13] и др., содержится строгое изложение теории вероятностей и математической 
статистики на теоретико-множественной основе. Другой распространенный возможный подход, более наглядный и доступный студентам технических и гуманитарных вузов, которого придерживаются авторы данного учебника, состоит в определении основных понятий теории вероятностей и математической статистики в рамках 
так называемой элементарной теории вероятностей (в которой 
предполагается, что каждое испытание может заканчиваться только 
одним из исходов или, как говорят, одним из элементарных событий). Такое изложение принято, например, в широко известных 
учебных пособиях Е.С. Вентцель и В.Е. Гмурмана [1–3, 6–7].
Учебник написан на основании многолетнего опыта чтения 
лекций по данному курсу и апробирования ранее издававшихся 
учебно-методических материалов для студентов МАМИ (ныне — 
Московский политехнический университет) и Дипломатической 
академии МИД России.
Отличительной чертой учебника является максимальное приближение излагаемого материала к лекционным и практическим 
занятиям. Поэтому рассмотрение основных понятий и методов 
сопровождается большим количеством подробно разобранных иллюстративных примеров решения различных типовых задач, отражающих специфику специальностей политехнического университета. Также в большом объеме приведены дополнительные задачи 
разных типов для самостоятельного решения и необходимые справочные сведения. Учебник представляет собой полный замкнутый 

курс, содержащий одновременно всю минимально необходимую 
информацию для практического освоения дисциплины и приобретения нужных компетенций. По этой причине он может быть использован одновременно и студентами для самостоятельной работы, и преподавателями для проведения практических занятий.

Раздел I. 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, проявляющихся в массовых однородных случайных явлениях.
Систематическое исследование задач, относящихся к массовым 
однородным случайным явлениям, и зарождение теории вероятностей как математической дисциплины относится к XVI–XVII вв. 
и связано прежде всего с попытками создания теории азартных игр. 
Они оказались исключительно наглядной моделью случайных явлений, и именно им были посвящены работы Джеронимо Кардано 
(1501–1576), Христиана Гюйгенса (1629–1695), Блеза Паскаля 
(1623–1662), Пьера Ферма (1601–1665) и др.
В последующие два века теория вероятностей применялась 
главным образом для создания теории страхования, теории ошибок 
наблюдений, теории стрельбы, для решения задач статистики народонаселения.
Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей в этот период принадлежит таким крупнейшим математикам, как Якоб Бернулли (1654–1705), Абрахам де Муавр (1667–1754), Пьер Симон 
Лаплас (1749–1827), Карл Гаусс (1777–1855), Симеон Пуассон 
(1781–1840).
Огромный вклад в развитие теории вероятностей в XIX–XX вв. 
и превращение ее в строгую математическую дисциплину внесен 
математиками знаменитой Петербургской математической школы: 
П.Л. Чебышёвым (1821–1894), А.А. Марковым (1856–1922), 
А.М. Ляпуновым (1857–1918) и позднее С.Н. Бернштейном (1880–
1968), А.Я. Хинчиным (1894–1959), А.Н. Колмогоровым (1903–
1987), Б.В. Гнеденко (1912–1995) и др.
Область применения вероятностных и статистических методов 
на современном этапе развития науки и общества необычайно широка. Эти методы применяются в теоретической физике, особенно 
в ядерной физике и квантовой механике (где изучаемые закономерности объективно носят вероятностный характер), в метеорологии, 
в статистической теории радиосвязи, в теории надежности, в теории 
автоматического регулирования, при планировании и организации 
производства, при контроле качества продукции и др. К традиционным областям применения теории вероятностей и математи

ческой статистики в естественных науках и в технике добавились 
вероятностные и статистические задачи из области лингвистики, 
социологии, экономики, управления и других наук.
Поэтому изучение основных понятий и методов теории вероятностей и математической статистики является обязательной составной частью общеобразовательной математической подготовки.

Глава 1. 
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, 
проявляющихся в массовых однородных случайных явлениях (событиях).
Событием вообще называют качественный или количественный 
результат опыта, осуществленного при определенной совокупности 
условий. Различают события достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если оно при осуществлении 
определенной совокупности условий произойдет обязательно, и невозможным, если оно заведомо не может произойти.
Случайным называют событие, которое при осуществлении 
определенной совокупности условий может либо произойти, либо 
не произойти.
Случайные события могут быть несовместными, совместными, 
равновозможными, зависимыми и независимыми. Они могут быть 
подразделены также на элементарные (простые, неразложимые) 
и сложные (разложимые на простые).
Случайные события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же 
опыте.
События называются равновозможными, если есть все основания считать, что ни одно из них не является более возможным, 
чем другое. Практически о равновозможности событий можно 
судить по тому, соблюдаются ли в опыте условия симметрии. 
Пусть, например, опыт сводится к подбрасыванию монеты. Если 
монета правильной круглой формы и выполнена из однородного 
материала, так, что геометрический центр симметрии монеты совпадает с центром масс, если монета подброшена строго вертикально вверх и падает на идеально гладкую поверхность и т.п., 
то нет никаких оснований предпочесть выпадение герба выпадению решки. Оба возможных исхода испытания можно считать 
равновозможными.
Несколько случайных событий образуют полную группу, если 
в результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится только одно из них. Следовательно, 
если события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них есть достоверное событие.

Например, если испытание состоит в проверке двух лотерейных 
билетов, то возможны четыре исхода: оба билета оказались проигрышными, на первый билет выпал выигрыш, а второй билет оказался проигрышным, наоборот — первый билет проигрышный, 
а на второй — выпал выигрыш, оба билета оказались выигрышными. Эти четыре возможных исхода полностью описывают ситуацию, связанную с проверкой двух лотерейных билетов, и образуют полную группу событий. Одно из них (заранее неизвестно, 
какое именно) произойдет обязательно.
Чтобы сравнивать случайные события между собой по степени 
возможности их появления, связывают каждое событие с некоторым числом, которое тем больше, чем более возможно событие. 
Это число и называют вероятностью появления данного события 
A и обозначают через P(A). Следовательно, вероятность — это числовая мера степени возможности появления случайного события.
Существуют различные подходы к определению вероятности 
появления случайного события. Соответственно этому различают 
определение вероятности:
 
• классическое;
 
• статистическое;
 
• геометрическое;
 
• аксиоматическое.

1.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
ВЕРОЯТНОСТИ

Существует целый класс опытов, которые заканчиваются только 
одним из возможных исходов, для которых применим непосредственный подсчет вероятностей их возможных исходов. Эти опыты 
могут быть продемонстрированы на примере простейшей схемы 
урн (так называемой урновой модели).
Пусть в урне находится n шаров разного цвета, например m 
белых и (n – m) черных. Шары тщательно перемешаны, одинаковых 
размеров и массы, неразличимы на ощупь. Проводится испытание, 
состоящее в извлечении наудачу одного шара из урны.
Назовем все возможные исходы испытания элементарными исходами. В соответствии с принятыми предположениями они образуют полную группу попарно несовместных, равновозможных исходов. Те элементарные исходы, при которых интересующее нас 
событие произойдет, называются благоприятствующими данному 
событию (или просто благоприятными исходами).

Если A — случайное событие, состоящее в извлечении, например, белого шара из урны, то вероятность этого события может 
быть найдена на основе следующего определения.
Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу:

 
( )
m
P A
n
=
. 

Это определение называется классическим. Оно применимо 
лишь к испытаниям с конечным числом равновозможных исходов.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
1. Вероятность достоверного события A = U, ( )
1
P U
= . Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход 
испытания благоприятствует его появлению. В этом случае m = n. 
Следовательно, m = n и ( )
1
P U
= .
2. Вероятность невозможного события A = V, ( )
0
P V
=
. В самом 
деле если событие невозможно, то ни один из исходов испытания 
не благоприятствует его появлению. Поэтому m = 0, следовательно, 
( )
0
P V
=
.
3. Вероятность случайного события A есть положительное 
число, заключенное между нулем и единицей, удовлетворяющее двойному неравенству 0
( )
1
P A
<
< . Очевидно, случайному событию 
благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания 0
m
n
<
<
, следовательно, 0
/
1
m
n
<
< .
4. Вероятность любого события A есть неотрицательное число, 
удовлетворяющее двойному неравенству 0
( )
1
P A
≤
≤ . В самом деле, 
любые события включают в себя не только случайные, но и достоверные и невозможные события. Поэтому справедливо нестрогое 
двойное неравенство 0
( )
1
P A
≤
≤ .

1.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Для непосредственного подсчета вероятности появления события на основе классического определения применяются, как 
правило, формулы комбинаторики (раздела математики, изучающего вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений) 
можно составить из заданного числа объектов).
Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух 
основных правил: правила суммы и правила произведения.