Введение в теорию гладких многообразий

С. М. Натанзон

Введение в теорию
гладких многообразий

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
Н

Натанзон С. М.
Введение в теорию гладких многообразий
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де
Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения и примеры.
Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики.

Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Введение в теорию
гладких многообразий. — М.: МЦНМО: НМУ, . —
ISBN ----.

Учебное издание для вузов

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () --
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Натанзон С. М., .
© МЦНМО, .

Оглавление

§ . Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Категория гладких многообразий
. . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Морфизмы и изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Задание многообразий уравнениями . . . . . . . . . . . . 
§ . Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Операторы дифференцирования в точке . . . . . . . . . . 
.. Координатное описание касательных векторов
. . . . . 
.. Дифференциал отображения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Гладкие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Регулярные точки отображения
. . . . . . . . . . . . . . . 
.. Теорема Сарда о критических значениях . . . . . . . . . . 
.. Теорема Уитни о вложении многообразий . . . . . . . . . 
§ . Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Сечения расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Сопряжение и тензорное произведение расслоений . . 
.. Внешние степени расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Тензорные поля и дифференциальные формы
. . . . . . . . . 
.. Тензорные расслоения и тензоры
. . . . . . . . . . . . . . 
.. Дифференциальные формы в локальной карте . . . . . . 
.. Инвариантность оператора дифференцирования . . . . 
.. Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . 
§ . Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
..
Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Общая формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Частные случаи формулы Стокса: формулы Грина, Гаусса—Остроградского и классическая формула Стокса . . 
§ . Когомологии де Рама
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Определение когомологий де Рама
. . . . . . . . . . . . . 
.. Гладкие отображения и когомологии . . . . . . . . . . . . 
.. Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама 
.. Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Когомологическая последовательность Майера—Вьеториса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Риманова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


Оглавление

.. Алгебра векторных полей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Аффинная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Аффинная связность, согласованная с римановой метрикой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Параллельный перенос и геодезические . . . . . . . . . . 
.. Риманов тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

§ . Введение

Многообразия (в частности, гладкие многообразия) являются
одним из главных объектов изучения в математике. Это связано
с тем, что именно на языке многообразий удобно описывать фундаментальные законы естествознания.
Определение многообразия было выкристаллизовано в течение
почти ста лет, начиная с середины XIX века. Имеются многообразия
разного вида с теми или иными дополнительными структурами, мы
будем заниматься гладкими многообразиями.
Гладкие многообразия можно представлять себе как гладкие фигуры в многомерном пространстве. Примерами таких многообразий могут служить поверхность Земли или более сложные поверхности типа тора. Однако изучать многообразия и функции на них
значительно сложнее, чем привычное пространство n и функции
на нем. Это связано с тем, что обычно на многообразии (например,
на сфере) не существует глобальной системы координат.
Многообразие — это геометрический объект, склеенный из отдельных карт, т. е. кусков пространства n. В рамках одной карты
можно пользоваться методами обычного многомерного анализа.
Взаимосвязь различных карт между собой зависит от топологических свойств конкретного многообразия и составляет важную часть
теории многообразий.
Мы начинаем с определения гладкого многообразия и основных примеров. Широкий класс важных примеров многообразий дают множества уровня гладких отображений. Далее мы доказываем
в некотором смысле обратное утверждение (теорему Уитни) о том,
что всякое m-мерное гладкое многообразие гладко вкладывается
в пространство 2m+1. Для этого мы подробно обсуждаем свойства касательных пространств в точках многообразия, отображения
между многообразиями и критические значения этих отображений
(теорема Сарда).
Далее мы переходим к обсуждению современных методов исследования многообразий. Они основаны на разработанной во второй
половине XX века теории векторных расслоений, которая позволяет определить и исследовать широкий класс отображений (сечений
расслоения), играющих для теории многообразий ту же роль, что
и вектор-функции в классическом многомерном анализе.
Специальную роль в теории гладких многообразий играют тензорные и внешние степени касательных и кокасательных расслоений. Их сечения (тензоры) несут важную информацию о свойствах


§ . Введение

многообразий. Мы подробно исследуем особенно важный класс тензоров, называемых дифференциальными формами. На этом классе
тензоров удается определить операции дифференцирования и интегрирования, похожие на соответствующие операции классического
анализа. Более того, мы доказываем, что на произвольном гладком
многообразии между этими операциями существует взаимосвязь
(общая формула Стокса), обобщающая классическую формулу Ньютона—Лейбница. Следствием этой общей формулы являются классическая формула Грина, формула Гаусса—Остроградского и др.
Далее мы переходим к изучению когомологий де Рама. Эта теория, созданная в середине XX века, выявляет глубокую взаимосвязь
между множеством дифференциальных форм и топологическими
свойствами многообразия. Мы доказываем, в частности, гомотопическую инвариантность когомологий де Рама и теорему Майера—
Вьеториса, помогающую вычислять когомологии де Рама и связанные с ними топологические инварианты для широкого класса
многообразий.
Заключительный параграф посвящен римановой геометрии, т. е.
многообразиям, на которых задана метрика, позволяющая измерять расстояние между точками. С помощью метрики можно также
определить параллельный перенос касательных векторов, написать
уравнение линии минимальной длины и построить тензор кривизны, измеряющий отличие метрики от евклидовой.
В этом параграфе, как и на протяжении всей книги, мы обсуждаем понятия, результаты и конструкции как на инвариантном языке,
позволяющем понять их общематематический смысл, так и в координатной форме, позволяющей выполнять реальные вычисления.

Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и
факультета математики Высшей школы экономики.
Автор благодарит С. М. Гусейн-Заде за консультации и С. Н. Малыгина за помощь в редактировании книги.

§ . Категория гладких многообразий

.. Гладкие многообразия

Анализ, который вы изучали на -м курсе, позволяет исследовать
подмножества M ⊆ n. Все точки множества M наделяются координатами из n, и это позволяет отождествлять функции на множестве M с функциями от n переменных f (x1,…, xn). В реальной жизни, однако, интересующие нас множества не имеют естественных
координат и эти координаты приходится вводить дополнительно.
Более того, эти координаты можно вводить по-разному.
Например, для описания и исследования Московской области ее
удобно покрыть мысленной сеткой параллелей и меридианов, расстояния между которыми измеряются в километрах. Но можно, конечно, как это делалось раньше, покрыть область сеткой, где расстояние измеряется в верстах. Можно вообще, если это покажется
удобным, повернуть сетку на какой-то угол. Для согласования различных систем координат нужно использовать функции перехода,
пересчитывающие одну систему координат в другую.
Такой подход, что особенно важно, годится и для множеств, которые не являются подмножествами пространства n, например,
для исследования всего земного шара или областей, гомеоморфных
тору, и т. п. В этом случае мы поступаем так, как это делается в картографии, т. е. мы произвольным образом покрываем множество
областями (картами), гомеоморфными областям в n, вводим на
этих областях системы координат и указываем отображения перехода между системами координат для подмножеств, попадающих
в несколько карт. Для того чтобы функции, гладкие в одной системе координат, оставались гладкими и в другой системе координат,
надо, чтобы отображения перехода были гладкими.

Дадим теперь формальное определение. Рассмотрим хаусдорфово сепарабельное топологическое пространство M. Картой размерности n на M называется пара (U,ϕ), где U ⊂ M — открытое подмножество в M и ϕ: U → n — гомеоморфизм на открытое подмножество ϕ(U) ⊂ n.
Карты {(Uα1,ϕα1)} и {(Uα2,ϕα2)} называются пересекающимися,
если Uα1 ∩Uα2 ̸=∅. Пересекающимся картам отвечают непустые множества V1 =ϕα1(Uα1 ∩Uα2), V2 =ϕα2(Uα1 ∩Uα2) и гомеоморфизм ϕ1,2 =
= ϕα2ϕ−1
α1 : V1 → V2. Отображения ϕ1,2 называются отображениями перехода, переходными отображениями или переходными функциями.


§ . Категория гладких многообразий

Гладким атласом на M размерности n называется такое семейство карт {(Uα,ϕα) | α ∈ A} размерности n, что
α∈A
Uα = M и все

отображения перехода являются гладкими, т. е. бесконечно дифференцируемыми отображениями. Карту (U,ϕ) назовем согласованной с гладким атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}, если все отображения
перехода между картами (U,ϕ) и (Uα,ϕα) являются гладкими.
Гладкие атласы {(Uα,ϕα)|α∈A} и {(Uβ,ϕβ)|β ∈B} считаются эквивалентными, если их объединение {(Uα,ϕα),(Uβ,ϕβ)|α∈A,β ∈B}
также является гладким атласом.
Задача .. Докажите, что гладкие атласы {(Uα,ϕα) | α ∈ A} и
{(Uβ,ϕβ) | β ∈ B} эквивалентны тогда и только тогда, когда все
карты (Uβ,ϕβ) согласованы с атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}.
Класс эквивалентности гладких атласов размерности n называется гладкой структурой размерности n. Многообразие M с гладкой
структурой размерности n называется гладким многообразием размерности n. В этом случае мы пишем dim M = n. Приведем несколько простейших примеров гладких многообразий.
Пример .. Векторное пространство n обладает естественной
картой, превращающей ее в гладкое многообразие. Эта гладкая
структура на n называется стандартной. Гладкая структура на n

единственна при n ̸= 4, а на 4 имеется континуальное семейство
попарно неэквивалентных гладких структур.
Пример .. Рассмотрим гладкую функцию f : X → на области
X ⊂ n. Ее график Γf = {(x, f(x)) ⊂ n+1 | x ∈ X} обладает естественной картой ϕ: Γf → X, где ϕ(x, f (x)) = x. Эта карта превращает Γf
в гладкое многообразие.
Задача-пример .. Сфера

Sn =
x = (x1,…, xn+1) ∈ n+1 |

n+1
j=1
(x j)2 = 1
обладает атласом карт (U+
i ,ϕ+
i ), (U−
i ,ϕ−
i ), где i = 1,…, n + 1. Эти
карты состоят из областей U+
i = {x ∈ Sn | xi > 0}, U−
i = {x ∈ Sn | xi < 0}
и отображений ϕ±
i (x1,…, xn+1) = (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn+1). Докажите, что этот атлас гладкий.
Задача-пример .. Зададим структуру гладкого многообразия
на проективной плоскости P2. Будем представлять ее как множество прямых в 3, проходящих через начало координат. Каждая из прямых задается вектором с координатами (x, y, z), причем пропорциональные векторы задают одну и ту же прямую. Рассмотрим на P2 атлас из трех карт (U1,ϕ1), (U2,ϕ2), (U3,ϕ3), где

.. Морфизмы и изоморфизмы


U1 = {(x, y, z) | x ̸= 0}, U2 = {(x, y, z) | y ̸= 0}, U3 = {(x, y, z) | z ̸= 0},

ϕ1(x, y, z) =
y

x , z

x

, ϕ2(x, y, z) =
x

y , z

y

, ϕ3(x, y, z) =
x

z , y

z

. Дока
жите, что этот атлас гладкий. Постройте гладкий атлас для Pn.

.. Морфизмы и изоморфизмы

Изучим вопрос, какие дополнительные свойства приобретет топологическое многообразие M, если зафиксировать на нем гладкий
атлас {(Uα,ϕα) | α ∈ A}. В этом случае гомеоморфизм ϕα: U → n

позволяет отождествить область Uα c областью в n и считать, что
функции на Uα — это обычные функции от n переменных. Отображения перехода между картами позволяют исследовать глобальные
свойства отображения. На пересечении двух карт отображение перехода записывается как отображение замены координат.
Для любой лежащей в Uα окрестности U ⊂ Uα и точки p ∈ U ⊂ Uα
мы можем, в частности, указать, какие отображения области U
в пространство k считаются гладкими в точке p. Ввиду гладкости
отображений перехода между картами (т. е. гладкости замены координат в n) множество гладких отображений на U не зависит от
того, подмножеством какой конкретно карты Uα считается множество U.
По тем же причинам множество гладких отображений не меняется при замене гладкого атласа на эквивалентный ему. Таким образом, структура гладкого многообразия позволяет выделить среди
всех отображений M → k класс гладких отображений и с помощью
карт исследовать их методами многомерного математического анализа.

Пусть M и N — гладкие многообразия. Рассмотрим отображение
F : M → N и карты (U,ϕ), (V,ψ) из гладких атласов многообразий
M и N соответственно, причем F(U) ⊂ V. Отображение F называется гладким на U, если отображение ψFϕ−1 : ϕ(U) → ψ(V) является
гладким в смысле многомерного анализа. Назовем отображение F
гладким в точке p ∈ M, если оно гладкое в некоторой окрестности
точки p.
Задача .. Докажите, что гладкость отображения в точке не зависит от выбора карты (V,ψ) и не меняется при замене атласа на
эквивалентный.
Отображение F : M → N, гладкое в каждой точке, назовем гладким отображением. Такие отображения считаются морфизмами
в категории гладких многообразий.


§ . Категория гладких многообразий

Гладкое отображение f : M → гладкого многообразия M в вещественную прямую со стандартной гладкой структурой на ней называется гладкой функцией. Гладкие функции на M образуют алгебру (M).
Гомеоморфизм F : M → N между гладкими многообразиями называется диффеоморфизмом, если он и обратный к нему гомеоморфизм F−1: N → M являются гладкими. Другими словами, диффеоморфизм — это изоморфизм в категории гладких многообразий.
Гладкие многообразия, между которыми существует диффеоморфизм, называются диффеоморфными.
Гладкие функции и отображения на диффеоморфных многообразиях обладают одинаковыми свойствами.
Задача .. Докажите, что диффеоморфизм F : M → N порождает
по формуле f → fF изоморфизм F∗: (N) → (M) между алгебрами гладких функций на N и M.
Замечание .. Гомеоморфные гладкие многообразия не обязательно диффеоморфны, но примеры таких многообразий достаточно сложны и появляются начиная с размерности 4 (см., например, []).

.. Задание многообразий уравнениями

В приложениях гладкие многообразия часто возникают как множества уровня {x ∈ U ⊂ n | f (x) = c} гладких функций f : U → .
Сферу Sn из примера . можно рассматривать, например, как множество уровня f (x) = 1 для функции f (x) = (x1)2 + … + (xn+1)2.
Однако не все множества уровня являются гладкими многообразиями.
Пример .. Множество уровня

{(x1, x2) ∈ 2 | ( f (x1, x2) = c}

функции f (x1, x2) = x2
1 − x2
2 является многообразием при c ̸= 0, но
не является многообразием при c = 0. В последнем случае множество уровня является объединением пересекающихся в нуле прямых
x1 + x2 = 0, x1 − x2 = 0 и поэтому не имеет карты, содержащей 0.
Достаточное условие того, что множество уровня является гладким многообразием, следует из теоремы о неявной функции. Она
утверждает, что если задана функция f (x), где x = (x1,…, xn), и
в некоторой точке x0 = (x1
0,…, xn
0) выполнено условие

∂ f
∂xi (x1
0,…, xn
0) ̸= 0,