Введение в математику

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г. П. Агибалов, И. А. Панкратова

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Учебное пособие

Томск
2022

УДК 510.2
ББК 22.13я7
А24

А24

Агибалов Г. П., Панкратова И. А.
Введение в математику: учеб. пособие. — Томск:
Издательство Томского государственного университета, 
2022. — 120 с.

ISBN 978-5-907442-80-1

Пособие представляет собой конспект курса лекций, разработанного 
и читаемого авторами в Томском государственном университете 
студентам, обучающимся по специальности «Компьютерная 
безопасность».

Рецензенты:

В. А. Романьков, д-р физ.-мат. наук, проф.

Н. Н. Токарева, канд. физ.-мат. наук, доц.

c⃝ Г. П. Агибалов,
ISBN 978-5-907442-80-1
И. А. Панкратова, 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ

Чтобы переварить знания,
надо поглощать их с аппетитом.
Анатоль Франс

Каждому из нас знакомы крылатые фразы о важности математики, 
от «Математику уже затем учить следует, что она ум
в порядок приводит» (М. В. Ломоносов) до «В каждой естественной 
науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики» (
И. Кант) и т. д. Что же делает математику такой важной
и универсальной отраслью знания?
Как отмечает в своей замечательной книге В. А. Успенский [3]
(которую в первую очередь рекомендуем читателям как не толь-
ко полезное, но и очень увлекательное чтение), математическими
результатами являются:

— факты — как в любой другой науке; в математике они чаще
всего оформлены в виде теорем;

— методы (рассуждений, доказательств, вывода новых фактов
из имеющихся);

— язык для описания фактов и методов.

Последние два пункта и определяют универсальный характер
математики — возможность её широкого применения в других
областях науки и практики.
Целями курса «Введение в математику» являются:

1. Овладение математическими методами, среди которых:

— абстрагирование (сознательная идеализация, оперирова-
ние моделями объектов, явлений);

— разграничение между определяемым и неопределяемым;
между установленным (доказанным) и гипотетическим;

— различение истинного, ложного и бессмысленного.

2. Овладение математическим языком:

— общими понятиями: множества, кортежа, функции, отно-
шения, . . .;

— основами математической логики;
— способами математической записи высказываний и рас-
суждений.

3

Из этих целей выделим именно овладение языком как особен-
но важную; мы будем учиться переводить высказывания «с есте-
ственного языка на математический» и обратно; строго записы-
вать рассуждения (что исключает неоднозначность их понима-
ния, присущую естественному языку) и т. п. Надеемся, что эти
навыки помогут студентам в овладении другими дисциплинами,
и не только математическими.
Пособие содержит много примеров, в конце каждой главы
приведены задачи, которые полезно решить для лучшего усвое-
ния материала. Ответы и решения большинства задач приведены
в главе 9.

4

Основные обозначения

a ∈ A
— элемент a принадлежит множеству A
a /∈ A
— элемент a не принадлежит множеству A
∅
— пустое множество
|A|
— мощность (количество элементов) конечного
множества A
N
— множество натуральных чисел
Z
— множество целых чисел
Q
— множество рациональных чисел
R
— множество вещественных чисел
A ⊆ B
— включение: A — подмножество B
A ⊂ B
— строгое включение: A ⊆ B и A ̸= B
и
— логическая константа «истина»
л
— логическая константа «ложь»
a | b
— a делит b, т. е. существует c, такое, что b = ac
a ̸ | b
— a не делит b
Ci
n
— число сочетаний из n по i, т. е. количество
различных неупорядоченных наборов из i элементов
n-элементного множества
a mod b — остаток от деления a на b
[a]m
— класс вычетов числа a по модулю m
[a]α
— смежный класс элемента a по эквивалентности α
A/α
— фактор-множество множества A по эквивалентности α
w(x)
— вес булева вектора x (количество единиц в нём)

5

Глава 1. ПЕРВИЧНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Множество
Множество — одно из начальных понятий математики. Создатель 
теории множеств Георг Кантор (немецкий математик, но родился 
в Санкт-Петербурге в 1845 г. и жил там до 11-летнего возраста) 
так описывает это понятие: «Множество — объединение
в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией
или нашей мыслью». Так, можно говорить о множестве целых
чисел, множестве студентов группы, множестве книг в библиотеке 
ТГУ и т. д.
Объекты, входящие в множество, попарно различны, они называются 
элементами множества. Будем обозначать множества 
большими латинскими буквами: A, B, C, . . .; конечное множество 
можно задать перечислением его элементов в фигурных
скобках, например A = {a, b, c}. Порядок, в котором перечислены 
элементы, неважен: {a, b, c} = {b, a, c} = {c, b, a} = . . . Тот
факт, что элемент a принадлежит множеству A, будем обозначать 
a ∈ A.
Заметим, что, вопреки привычному смыслу этого слова, в математике «
множество» — не значит «много»; так, можно рассматривать 
одноэлементное (например, {1}) или даже пустое (обозначается ∅ — 
без фигурных скобок) множество, т. е. множество, не
содержащее ни одного элемента.
Подмножество множества A — это такое множество, все
элементы которого принадлежат A (рис. 1.1).





B

&%

'$

A

Рис. 1.1. B — подмножество множества A

Будем обозначать:
B ⊆ A — нестрогое включение (B может как совпадать, так и
не совпадать с A);
B ⊂ A — строгое включение (B не может совпадать с A — обязательно 
найдётся элемент, принадлежащий множеству A, но
не принадлежащий множеству B).

6

Широко используются в математике числовые множества —
натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел; их
обозначения и соотношение друг с другом: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
1.2. Переменные и константы
Выражение — это написанная в разумном порядке последовательность 
букв (символов) математического алфавита.
Некоторые буквы в выражении называются (объявляются)
переменными. Объявляя букву переменной, нужно задать и мно-
жество её возможных значений.
Переменная — буква (символ) в выражении, вместо которой
можно подставлять некоторые значения так, и при этом после
подстановки выражение будет иметь смысл. Таким образом, пе-
ременная — это пара: буква и множество её возможных значе-
ний: (x, M).
Примеры:

— в выражении f(x) переменной может быть как x, так и f:
(x, R), (f, {sin, cos, exp, log});

— в выражении x◦a переменными могут быть x, a и ◦, например:
(◦, {+, −, ∗, /}).
Константа может быть определена как:
1) элемент из M (множества значений переменной);
2) переменная с одноэлементным множеством значений.
Переменные и константы могут быть разных типов, тип опре-
деляется множеством M значений переменной. Основные типы:

1) числовые:

— натуральные: M = N = {1, 2, . . .};
— целые: M = Z = {0, ±1, ±2, . . .};

— рациональные: M = Q =
a

b : a ∈ Z, b ∈ N
;

— вещественные: M = R;

2) нечисловые:

— k-значные: M = {0, 1, . . . , k − 1} (не числа!);
— частный случай k-значных при k = 2 — булевы:
M = {0, 1};

— логические (пропозициональные, высказыватель-
ные): M = {и, л} («истина», «ложь»);

— символьные;
— словарные.

7

1.3. Форма
Форма — это выражение, содержащее переменные. Например:
F(x, y) = x

y — форма с переменными (x, R), (y, R).

Набор значений переменных называется допустимым, если
подстановка этих значений вместо переменных превращает фор-
му в осмысленное выражение. Для нашего примера: (5, 2) — до-
пустимый набор; (5, 0) — недопустимый.
Форма всюду определена, если все возможные наборы значе-
ний переменных допустимы; нигде не определена, если никакой

набор не является допустимым. Например, форма 1

x с перемен-

ной (x, {0}) нигде не определена.
Значение формы — результат, который получается при под-
становке в неё вместо переменных допустимого набора значений;
тип формы — множество её значений при всевозможных таких
подстановках. Тип формы не обязательно равен типу перемен-
ной в ней.
Примеры форм и их типы:

1) x + 2, где x ∈ Z, — числовая форма (целочисленная);
2) x = 2, где x ∈ Z, — логическая;
3) x = 0,5, где x ∈ Z, — логическая (всюду равна лжи);
4) «x — простое число», где x ∈ N, — логическая;
5) «количество букв в слове x», где x — словарная перемен-
ная, — числовая форма.

Свободные и связанные переменные
Переменная называется связанной, если подстановка вместо
неё какого-либо значения невозможна или не имеет смысла; ина-
че она называется свободной. Значение формы не зависит от зна-
чения связанной переменной.

Например, в форме
nx=1

1
x переменная x — связанная, пото-

му что подстановка вместо неё другой буквы не имеет смысла:
nx=1

1
x =
ny=1

1
y ; подстановка константы невозможна — получаем

n5=1

1
5; значение от x не зависит:
nx=1

1
x = 1

1 + 1

2 + . . . + 1

n.

8

Строго говоря, связанная переменная — это вообще не пере-
менная (вспомним определение: переменная — буква в выраже-
нии, вместо которой можно что-нибудь подставлять); но на
каком-то этапе построения выражения она была переменной,

в нашем примере это 1

x.

Арность (местность) формы — количество свободных пере-
менных в ней.
Будем обозначать формы большими латинскими буквами
и в скобках перечислять свободные переменные. Например,
F(x, y, z) — форма, не содержащая никаких других свободных пе-
ременных, кроме x, y, z. При этом в форме не обязаны присут-
ствовать все перечисленные переменные, какие-то из них могут
быть фиктивными.
Примеры:

1) F(n) =
nx=1

1
x — унарная (одноместная) числовая форма;

2) G(a, b) = (a = b2) — бинарная (двуместная) логическая
форма;

3) H(x, y, z, n) = (xn + yn = zn) — четырёхместная логиче-
ская форма.

Равносильность форм
Две формы F1 и F2 равносильны, если при любом наборе зна-
чений переменных, входящих в них, либо они обе не определены,
либо их значения равны. Обозначается как F1 ≃ F2; для число-
вых форм чаще F1 = F2.
Форма равносильна константе, если она всюду определена и
при всех наборах значений переменных равна этой константе.
Примеры (x, y, z ∈ R):

1) x2 − y2 ≃ (x − y)(x + y);
2) x + y − y ≃ x + z − z;
3) y

y ̸≃ 1 (форма не определена при y = 0).

Но если y ∈ N, то y

y ≃ 1.

9

Задачи

1.1. Какие из высказываний истинны:

а) 3 ⩽ 5;
б) 5 ⩽ 5;
в) sin x ⩽ 1;
г) sin x ⩽ 2;
д) sin x ⩽ −1;
е) 2 < 5 или 4 — чётное число;
ж) 2 < 5 и 4 — чётное число;
з) 2 > 5 или 4 — чётное число;
и) «Гой ты, Русь, моя родная».

1.2. Привести примеры:

а) логической формы;
б) формы, равносильной константе;
в) одноместной формы, тип которой не совпадает с типом
переменной в ней.

1.3. Равносильны ли формы (формы и константы); здесь x, y ∈ Q,
n ∈ N:
а) x + 1 и x + y

y ;

б) cos2 x + sin2 x и 1;
в) tg x · ctg x и 1;
г) (−x > 5) и (x < −5);
д)

n√

xn и x;

е)

n√

xn и |x|.

1.4. Определить арность формы, указать свободные и связанные
переменные:

а)

5i=1

1
i ;
б)
ni=1
i;
в)
bi=a

1
i2 ;
г)
bi=a

j
i2 .

1.5. Определить тип формы, если x, y ∈ Z, α, β — словарные пере-
менные:
а) x + y;
б) x > y;
в) «количество цифр в десятичной записи x»;
г) «длина α»;
д) «α длиннее β»;
е) «α и β имеют общую букву».

10