Дифференциальные уравнения первого и высших порядков

Предисловие 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
Л.А. Нежельская 
 
 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 

 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство Томского государственного университета 
2022

Предисловие 

УДК 517.9 
ББК 22.161.6 
        Н43 
 
 
Н431 
Нежельская Л.А.
Дифференциальные уравнения первого и высших порядков :
учеб. 
пособие. 
– 
Томск 
: 
Издательство 
Томского 
государственного университета, 2022. – 154 с. 

 
ISBN 978-5-907572-02-7 
 
В настоящем учебном пособии рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешённые и не разрешённые относительно производной, а также уравнения высших порядков. Для 
каждого из изучаемых классов уравнений даётся теоретический материал, 
на основе которого возможно интегрирование предлагаемых уравнений и 
исследование свойств получаемых решений. 
В основу пособия положен материал лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения», читаемых автором для бакалавров, обучающихся в Институте прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и другим физикоматематическим направлениям, а также для аспирантов по научной специальности «2.3.1 – Системный анализ, управление и обработка информации» и всех специалистов-исследователей, связанных с решением дифференциальных уравнений. 
 
УДК 517.9 
ББК 22.161.6 
 
Рецензенты: 
А.Г. Дмитренко, доктор физико-математических наук, профессор; 
А.О. Жданова, кандидат физико-математических наук, доцент 
 
 
 
 
ISBN 978-5-907572-02-7 
© Нежельская Л.А., 2022 
©Томский государственный университет, 2022 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка 

3 

 
 
Предисловие 

 
Дисциплина «Дифференциальные уравнения», являющаяся одной из базовых дисциплин в университетской программе подготовки студентов физико-математических направлений, состоит из 
разделов, посвящённых различным областям этой научной теории. 
Настоящее учебное пособие посвящено рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых и не разрешённых относительно производной, а также 
уравнений высших порядков. Пособие опирается на материал лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения», которые читаются автором для бакалавров, обучающихся по направлению 
«Прикладная математика и информатика» в Институте прикладной 
математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета. Для каждого из 
рассмотренных в пособии классов уравнений формулируются 
определения и теоремы существования и единственности решений. Однако доказательства теорем вынесены за рамки данного 
пособия и приводятся в читаемом курсе лекций. Основной акцент 
в пособии сделан на решении большого количества примеров и 
задач, относящихся к дифференциальным уравнениям первого и 
более высоких порядков. Излагаются методы интегрирования 
уравнений, а также исследуются свойства получаемых решений – 
частные, особые, общие. 
Поскольку дифференциальное уравнение представляет собой 
математическую модель, описывающую развитие объекта или реального процесса во времени по тому или иному закону, то вопросу построения таких математических моделей в данном учебном 
пособии уделено определённое внимание. К необходимости освещения вопроса применения аппарата теории дифференциальных 

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков 

4 

уравнений для решения реальных задач естествознания, техники, 
экономики, а также современных научных задач в телекоммуникации и компьютерных сетях автора побудило чтение лекций для 
магистрантов и аспирантов по научной специальности «2.3.1 – Системный анализ, управление и обработка информации». Такая подача классического материала через практические и научные задачи, по мнению автора, позволяет ответить на ряд вопросов, возникающих у студентов младших курсов обучения, о связи дисциплины «Дифференциальные уравнения» с другими предметными областями науки и техники, а также пробудить интерес к научным 
исследованиям. 
Учебное пособие состоит из двух разделов: раздел 1 посвящён 
обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, 
раздел 2 – дифференциальным уравнениям высших порядков. 
Разобрано 50 примеров и задач, отдельные из которых сопровождаются рисунками. Для каждой из предложенных тем приводятся 
задачи для самостоятельной работы и ответы к ним. В конце разделов даются вопросы и темы для самоконтроля, позволяющие 
оценить степень усвоения материала. 
Учебное пособие будет полезным как бакалаврам, магистрантам и аспирантам физико-математических направлений высших 
учебных заведений, так и всем специалистам-исследователям, 
имеющим интерес к дифференциальным уравнениям. 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка 

5 

 
 
1. Дифференциальные уравнения  
первого порядка 

 
В первом разделе формулируются основные понятия теории 
дифференциальных уравнений, приводятся различные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы нахождения 
решений этих уравнений. Читателю предлагается достаточное количество разобранных примеров и задач, а также даётся задание 
для самостоятельной работы и для закрепления изученного материала по дифференциальным уравнениям первого порядка. 
 
1.1. Основные определения 
 
Определение 1. Уравнения, в которых неизвестная функция 
или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. 
Определение 2. Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной 
независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. 
Определение 3. Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего 
числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение 
называется уравнением в частных производных. 
Определение 4. Порядком дифференциального уравнения 
называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции. 
Определение 5. Решением дифференциального уравнения 
называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. 

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков 

6 

Определение 6. Кривая, соответствующая решению, называется интегральной кривой. 
Определение 7. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. 
Определение 8. Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, заданному в одной 
точке (начальной), называется начальной задачей, или задачей 
Коши (Огюстен Луи Коши (1789–1857) – французский математик). 
Вместо выражения «решить дифференциальное уравнение» говорят: «интегрировать дифференциальное уравнение». Операцию 
взятия неопределённого интеграла называют «квадратурой» [1, 2]. 
Основная задача теории дифференциальных уравнений – 
нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями (решений), и изучение их свойств. 
Поставим и решим задачу, обратную задаче интегрирования 
дифференциального уравнения. 
Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства 

 


1
2
, ,
,
,...,
0
n
x y C C
C


, 

надо продифференцировать равенство n  раз, считая y  функцией 

от x , 
 
y
y x

, а затем из полученных уравнений и заданного со
отношения исключить произвольные постоянные 
1
2
,
,...,
n
C C
C  [3]. 
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства 
кривых 

 


2
3
1
2
y
C
x
C


. 

Решение. Дифференцируя заданное соотношение два раза, считая y  функцией от x , приходим к системе уравнений относитель
но постоянных 
1
2
,
C C : 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка 

7 

 





2
1
2

2
2
1

3
2
,

3 2
2
.

y y
C
x
C

yy
y y
C


 







 

Разделим первое уравнение системы на второе и получим выражение 

 

2

2
2
2
,
2

y y
x
C
yy
y y








 

подставляя которое в первое уравнение системы, находим  

 


2
2
1
3 2
.
2
C
yy
y y




 

Подставляя 
1
C  и 
2
x
C

 в заданное соотношение, определяющее семейство кривых, после упрощений получим дифференциальное уравнение 

 
2
2
0.
y
yy




 

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства 
кривых 

 
2
1
2
3.
x
C y
C y
C



 

Решение. Дифференцируя соотношение по x , обнаруживаем, 
что постоянная 
3
C  исключена из полученного уравнения: 

 
1
2
1
2
.
C yy
C y




 

Выразим 
2
C  из последнего уравнения. Имеем 

 
2
1
1
2
C
C y
y



 

и снова дифференцируем по x  

 
1
2
0
2
.
y
C y
y



 


 

Выразим 
1
2C  из последнего уравнения. Находим 

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков 

8 

 
1
3
2
.
y
C
y







 

Наконец, дифференцируя последнее уравнение по x , приходим 
к искомому дифференциальному уравнению 

 

2

3
4
0
3
,
y
y

y
y








 

которое после упрощения принимает вид 

 
2
3
y y
y
 


. 

 
1.1.1. Задачи для самостоятельной работы 
 
Составить дифференциальные уравнения семейства кривых: 

1. 
2
2
2 .
x
Cy
y


 
 
 
2. 


2 .
y
C x
C


 

3. 
2
.
x
y
Cx
e


 
 
 
4. 
2
ln
.
y
x
C
y


 

5. 



2
2
2 .
x
y
x
C e


 
 
6. 



2
2
4
2
1
.
x
x y
x y
C



 

7. 


2
2
1
1
2
1
.
C y
C x
C
 

  
8. 

2
2
1
1
2
4
1
ln
.
C y
C
C x


 

9. 




3
2
1
1
2
3
12
.
C y
x
C
x
C
C




  

10. 



2
2
2
1
2
3 .
x
C
y
C
C




 

11. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой 
2 .
y
x

 
12. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, 
параллельной оси Oy , и проходящих через начало координат. 
 
Ответы 

1. 



2
.
y x
y
xy



 

2. 


3
4
2
.
y
y xy
y




 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка 

9 

3. 
2
2
1
.
x
y
y
e
x
x


 






 

4. 


2
2
ln
4
.
x
y dy
xydx



 

5. 
2
2.
x
yy
xe
y
 

 

6. 



2
4
2
3
2
1
0.
x y
x y
dx
x dy




 

7. 
3
1.
y y 
 

8. 



2
2
2
1
2
.
x
yy
y
xyy




 
 

9. 
2
2
1
0.
y
y y

 

 
 

10. 



2
2
1
3
.
y
y
y y


 


 

11. 
 



2
2
2
2
1
2
1
.
y
x
y
y






 

12. 
2
2
2
0.
x y
xy
y





 
 
1.2. Уравнения первого порядка, разрешённые  
относительно производной. Изоклины 
 
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, 
разрешённое относительно производной, имеет вид 

 


,
dy
f x y
dx 
, 
(1.1) 

где 


,
f x y  – непрерывная заданная функция от ,x y . 

Если 


 
,
f x y
f x

, где 
 
f x  определена и непрерывна на ин
тервале a
x
b


, то имеем простейший пример уравнения (1.1) 

 
 
dy
f x
dx 
, 
(1.2) 

решение которого имеет вид  

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков 

10 

 
 
y
f x dx
C



,  
(1.3) 

произвольная постоянная C  может принимать все значения 
C
 
  . 
Таким образом, выражение (1.3) представляет собой общее решение уравнения (1.2). 
Задаваясь определённым численным значением С, получаем 
частное решение. 
Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле 
(1.3) целесообразно написать неопределённый интеграл в виде 
определённого с переменным верхним пределом 

 
 

0

x

x
y
f x dx
C



, 

где 
0x  – любая внутренняя точка интервала a
x
b


. Полагая 

0
x
x

, находим 

0
y x
C

. 

Итак, начальное условие 


0
0
y x
y

 определяет единственное 

решение уравнения (1.2) 

 
 

0
0

x

x
y
y
f x dx

 
. 

Для уравнения (1.1) справедлива следующая теорема существования и единственности решения. 
Теорема 1 (о существовании и единственности решения). 
Если в уравнении (1.1) 

 


,
dy
f x y
dx 
 
 

функция 


,
f x y  непрерывна в прямоугольнике D  

 
0
0
x
a
x
x
a




, 
0
0
y
b
y
y
b




, 

и удовлетворяет в D  условию Липшица