Механика. Раздел «Кинематика»

Москва 2021

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

А.М. Бусыгин

МЕХАНИКА

Раздел «Кинематика»

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4361

УДК 621.1.011 
 
Б92

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры горного оборудования,  
транспорта и машиностроения, и.о. заведующего кафедрой,  
НИТУ «МИСиС» М.Г. Рахутин

Бусыгин А.М.
Б92  
Механика. Раздел «Кинематика» : практикум / 
А.М. Бусыгин. – М. : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 
2021. – 52 с.

Практикум состоит из четырех заданий по дисциплине «Меха-
ника», раздел «Кинематика». Каждое задание имеет 30 вариантов. 
В заданиях подробно рассмотрены один или несколько примеров 
их выполнения, в конце приведены контрольные вопросы, позволя-
ющие оценить степень усвоения учебного материала, соответствую-
щего данному заданию.
Практикум предназначен для студентов НИТУ «МИСиС», об-
учающихся по специальности 21.05.04 «Горное дело», но может 
быть использован при обучении студентами других специально-
стей, изучающими дисциплину «Механика» или «Теоретическая 
механика».

УДК 621.1.011

 Бусыгин А.М., 2021
 НИТУ «МИСиС», 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие .................................................................. 4
Задание К1. Определение уравнений движения, скорости 
и ускорения точки по заданным проекциям ее скорости ....... 6
Задание К2. Определение скорости и ускорения точки 
твердого тела при его поступательном или вращательном 
движении .................................................................... 16
Задание К3. Определение скоростей и ускорений точек 
твердого тела при его плоскопараллельном движении ........ 26
Задание К4. Определение параметров сложного движения 
точки .......................................................................... 39
Библиографический список ............................................ 51

ПРЕДИСЛОВИЕ

«Механика» относится к фундаментальным дисциплинам 
и при осуществлении профессиональной подготовки инжене-
ров различного профиля, в частности горных инженеров, имеет 
одно из первостепенных значений в перечне дисциплин, изучаемых 
будущими инженерами. Знания, полученные при изучении 
механики, служат основой для многих общеинженерных 
и специальных дисциплин.
Проектирование, изготовление, испытание и правильная 
эксплуатация машин и механизмов, конструкций и сооружений 
нельзя представить без твердых основательных знаний законов, 
теорем и принципов механики. Но для хорошего освоения 
данной дисциплины важно не только глубокое изучение 
теории, но и приобретение навыков, необходимых при решении 
практических задач самостоятельно.
В данном пособии каждое задание состоит из 30 вариантов, 
приводятся примеры его выполнения и вопросы, позволяющие 
оценить степень усвоения материала студентами.
Следует подчеркнуть, что для самостоятельного решения 
представленных задач студент должен обладать на достаточно 
хорошем уровне знаниями основ элементарной и высшей математики, 
изучение которых предваряет данный курс.
Для оформления курсового задания нужно использовать 
листы бумаги формата А4 с одной стороны, для замечаний проверяющего 
преподавателя следует оставлять место. В начале 
работы необходимо приводить полный текст задания, рисунок 
механической системы с соблюдением стандартного масштаба 
и других требований ЕСКД.
При решении каждого задания нужно использовать метод, 
указанный в рекомендациях к данному заданию.
В начале решения следует помещать расчетную схему рас-
сматриваемой механической системы, где обязательно пока-
зывать оси координат, векторы воздействующих сил и реак-
ций связи, направление движения (если оно указано), векторы 
известных скоростей и ускорений и т.д.
Схема не должна изобиловать избыточными параметрами. 
Воспрещается одновременно изображать распределенную на-

грузку и замещающую ее равнодействующую силу. Если для 
упрощения расчета силу раскладывают на составляющие, то 
на схеме изображают только составляющие. Если воздействие 
силы связи замещают ее реакцией, то показывают или реак-
цию, или ее составляющие, а связь не изображают.
Решение должно сопровождаться краткими разъяснения-
ми со ссылками на используемые теоремы, принципы, законы 
и т.п. Математические зависимости нужно сначала представ-
лять в общем виде, а затем подставлять числовые значения, 
при этом последовательность подстановки числовых значений 
должна соответствовать порядку величин в математической 
зависимости, которым они соответствуют. Вычисления следу-
ет производить с точностью до четвертого знака после запятой. 
Результаты решения нужно сводить в таблицу, числовые зна-
чения – округлять до второго знака после запятой, в конце вы-
числений – проставлять размерность полученных результатов.
Все указанные преподавателем ошибки и неточности сле-
дует исправить до защиты. Если исправленная работа направ-
ляется на повторную проверку, то новое решение представля-
ется вместе с незачтенным.

ЗАДАНИЕ К1.  
Определение уравнений движения, 
скорости и ускорения точки 
по заданным проекциям ее скорости

Для точки M по заданным параметрическим уравнениям ее 
движения установить вид ее траектории и для момента t = t1 (c) 
найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, тан-
генциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны 
траектории.
Исходные данные для решения приведены в таблице К1-1.

Таблица К1-1

Номер  
варианта
Уравнение движения
t1, с
x = x(t), м
y = y(t), м
К1-1

3sin
6
t
x
p


=





2cos
1
6
t
y
p


= −
+





1

К1-2

2cos
3
t
x
p


= −





sin
1
3
t
y
p


= −
−





1

К1-3

3cos
6
t
x
p


=





2sin
6
t
y
p


= −





1

К1-4
2
1 2
3
x
t
t
= − −
−
2
2 23
t
y
t
=
−
−

1

К1-5
5
x
t
= −
2
3
3
y
t
= −
−
1

К1-6
2
5cos
1
6
t
x



p
=
−







2
5sin
2
6
t
y



p
=
+







1

К1-7
3
3
x
t
=
+
3
1
y
t
= − +

1,5

К1-8
4
3
x
t
= − +
4
12
y
t
=
+
0,5

К1-9
5
5
x
t
= −
−
5
1
y
t
= − +

1,5

Номер  
варианта
Уравнение движения
t1, с
x = x(t), м
y = y(t), м
К1-10
2
3
2
x
t
= −
−
2
y
t
=
1

К1-11

2cos
1
6
t
x
p


= −
−





2sin
6
t
y
p


= −





1

К1-12
2
3
3
1
2
t
x
t
=
+
−

2
2
2
y
t
t
=
+ +
1

К1-13
2
2
1
x
t
=
+
5
y
t
= −
0,5

К1-14
2
3
1
x
t
= −
+
6
3
y
t
=
−
1 / 3

К1-15
3
x
t
=
2
5
2
y
t
=
+
0,5

К1-16
2
3sin
1
3
t
x



p
=
−







2
3cos
2
3
t
y



p
=
+







1

К1-17
2
4cos
1
3
t
x
p


=
+





2
4sin
3
3
t
x
p


= −
−





1

К1-18
2
2
x
t
= −
+
2
y
t
= −
1

К1-19
2
2
2
x
t
t
=
− +
2
3
3
1
2
t
y
t
=
−
−

1

К1-20
2
3sin
3
t
x
p


=





2
3cos
1
3
t
y
p


= −
−





1

К1-21
2
3sin
2
3
t
x
p


=
−





2
3cos
3
t
y
p


= −





1

К1-22
2
5
3
x
t
=
−
2
y
t
=
1 / 4

К1-23
2
2
4sin
3
t
x



p
= − −







2
4cos
4
3
t
y



p
= −
+







1

К1-24
2
cos
1
6
t
x
p


=
+





2
sin
6
t
y
p


=





1

К1-25
2
4sin
1
3
t
x



p
=
+







2
2
4cos
3
t
y



p
=
−







1

Продолжение табл. К1-1

Номер  
варианта
Уравнение движения
t1, с
x = x(t), м
y = y(t), м
К1-26
2
3cos
6
t
x



p
=







2
3sin
6
t
y



p
= −







1

К1-27
2
1 2cos
6
t
x



p
= +







2
2sin
2
6
t
y



p
=
+







1

К1-28
2
4
4
x
t
t
=
−
+
2
3
4
t
y
t
=
−
+

1

К1-29
2
5
2
x
t
= −
+
3
y
t
= −
1

К1-30
2
cos
6
6
t
x



p
= −
+







2
sin
2
6
t
y



p
=
−







1

Методические указания. Важным в разделе кинематики 
точки является понятие траектории. Траекторией точки назы-
вается геометрическое место ее последовательных положений 
в пространстве с течением времени относительно рассматрива-
емой системы отсчета.
Существуют всего три способа задания движения точки: век-
торный, координатный, естественный.
Закон движения точки при векторном способе задания дви-
жения определяется уравнением

 
( ),
r
r t
=


 
(К1-1)

где 
→r – радиус-вектор движущейся точки относительно рассма-
триваемой системы отсчета.

Закон движения точки при координатном способе задания 
движения определяется уравнениями

 
( )
( )
( )
1
2
3
; 
; 
.
x
f t
y
f
t
z
f
t
=
=
=
 
(К1-2)

Уравнения (К1-2) представляют собой уравнения движе-
ния точки в координатной форме и в то же время соответству-
ют уравнению траектории точки в параметрической форме, где 
параметром является время t. Уравнение траектории в координатной 
форме из (К1-2) получают исключением параметра t.

Окончание табл. К1-1

Закон движения точки при естественном способе задания 
движения определяется уравнением

 
( ),
s
f t
=
 
(К1-3)

где s – криволинейная координата, которая соответствует расстоянию 
между началом отсчета (точки, выбранной на траектории) 
и положением самой точки, измеренному вдоль 
дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.

При векторном способе задания движения точки вектор скорости 
→
v определяется уравнением

 
,
dr
v
dt
=


 
(К1-4)

а вектор ускорения 
→a определяется уравнением

 

2

2 .
dv
d r
a
dt
dt
=
=



 
(К1-5)

При координатном способе задания движения точки модуль 
скорости v определяется уравнением

 
2
2
2,
x
y
z
v
v
v
v
v
=
=
+
+

 
(К1-6)

где vx, vy, vz – проекции вектора 
→v на оси координат, при этом

 
; 
; 
.
x
y
z
dx
dy
dz
v
v
v
dt
dt
dt
=
=
=
 
(К1-7)

При координатном способе задания движения точки модуль 
ускорения a определяется уравнением

 
2
2
2,
x
y
z
a
a
a
a
a
=
=
+
+

 
(К1-8)

где ax, ay, az – проекции вектора 
→a на оси координат, при этом

 

2
2
2

2
2
2
; 
; 
.
y
x
z
x
y
z
dv
dv
dv
d x
d y
d z
a
a
a
dt
dt
dt
dt
dt
dt
=
=
=
=
=
=
 
(К1-9)

При естественном способе задания движения точки модуль 
скорости v определяется уравнением

 
.
ds
v
dt
=
 
(К1-10)

При естественном способе задания движения точки ускоре-
ние 
→a определяется уравнением

,
n
a
a
at
=
+



 
(К1-11)

где 
→an – нормальное ускорение точки;  
→at – тангенциальное ус корение точки.

При естественном способе задания движения точки модуль 
полного ускорения 
→a движущейся точки определяется уравне-
нием

 
2
2,
n
a
a
a
at
=
=
+

 
(К1-12)

при этом тангенциальное ускорение at определяется формулой

 

2

2 ,
dv
d s
a
dt
dt

t =
=
 
(К1-13)

а нормальное ускорение an определяется формулой

 

2
,
n
dv
v
a
dt
=
= r
 
(К1-14)

где r – радиус кривизны траектории в точке, в которой нахо-
дится в данный момент движущаяся точка.

Пример выполнения задания К1. Исходные данные:

 

2
2

1
2cos
2; 
2sin
3; 
0,5.
3
3
t
t
x
y
t




p
p
=
−
= −
+
=













 
(К1-15)

Решение. Уравнение движения (К1-15) является уравнени-
ем движения точки в параметрической форме. Для получения 
уравнения траектории в координатной форме исключим вре-
мя t из уравнения (К1-15). Для этого сделаем следующие пре-
образования с уравнениями (К1-15):

 

2
2
2
3
cos
; 
sin
.
2
3
2
3
x
t
y
t




+
p
−
p
=
=








−





 
(К1-16)

Возведем уравнения (К1-16) в квадрат:

 
(
)
(
)

2
2
2
2
2
2
2
3
cos
; 
sin
.
4
3
4
3

x
y
t
t




+
−
p
p
=
=













 
(К1-17)

Сложим уравнения (К1-17):

 
(
)
(
)

2
2
2
3
1
4
4

x
y
+
−
+
=  
(К1-18)

или

 
(
)
(
)
2
2
2
3
4.
x
y
+
+
−
=
 
(К1-19)

Уравнение (К1-19) является уравнением окружности с цен-
тром в точке C (–2, 3) и радиусом R = 2, т.е. траекторией точки 
является окружность, показанная на рисунке К1-1.

µ

µ

µ

Рисунок К1-1

На рисунке К1-1 векторы 
→v и 
→at совпадают.
Определим проекции вектора скорости точки на оси коор-
динат:

 

2
2
2sin
;
3
3
x
dx
t
t
v
dt



p
p
=
= −







 
(К1-20)

 

2
2
2cos
.
3
3
y
dy
t
t
v
dt



p
p
=
= −







 
(К1-21)