Практические задания по высшей математике. Часть II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Москва 2021

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСИС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

И.В. Сурская 
П.В. Макаров

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть II. Предел функции. Дифференциальное 
исчисление функций одной переменной

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4313

УДК 51 
 
С90

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, д-р техн. наук, проф. К.В. Халкечев

Сурская, Ирина Валерьевна.
С90  
Практические задания по высшей математике. Часть II. 
Предел функции. Дифференциальное исчисление функций 
одной переменной : сб. заданий / И.В. Сурская, П.В. Макаров. – 
Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 
70 с.
ISBN 978-5-907227-86-6

Сборник содержит практические задания по трем разделам высшей 
математики: предел функции и дифференциальное исчисле-
ние функций одной переменной. Каждое задание представлено в 30 
вариантах, приведены примеры решений. Это позволит преподава-
телям пользоваться данным пособием при выполнении студентами 
контрольных и индивидуальных домашних работ, а студентам – 
на основе разобранного варианта качественно подготовиться к ра-
боте.
Для студентов инженерных специальностей, обучающихся в 
НИТУ «МИСиС».

УДК 51

 Сурская И.В., 
Макаров П.В., 2021
ISBN 978-5-907227-86-6
 НИТУ «МИСиС», 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие .................................................................. 4
Раздел 1. Предел функции ............................................... 5
1.1. Примеры выполнения заданий ................................ 5
1.2. Задания для самостоятельного выполнения .............. 9
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной 
переменной .................................................................. 23
2.1. Примеры выполнения заданий .............................. 23
2.2. Задания для самостоятельного выполнения ............ 41

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем сборнике подобраны практические задания по 
следующим разделам курса высшей математики: предел функ-
ции и дифференциальное исчисление функций одной перемен-
ной. Эти разделы изучаются студентами НИТУ «МИСиС» в пер-
вом семестре на 1-м курсе обучения.
Разделы начинаются с перечня тем, знание которых необ-
ходимо при выполнении заданий. Каждое задание, представ-
ленное в сборнике, составлено в 30 вариантах. Это позволит 
преподавателям выдавать индивидуальные задания каждому 
студенту, а значит, можно использовать данные материалы 
не только для проведения контрольных работ, но и индивиду-
альных домашних заданий. Также к каждому заданию приве-
дено решение одного варианта, что поможет студентам лучше 
разобраться в данной теме и подготовиться к контрольной ра-
боте.
Сборник составлен для студентов инженерных специаль-
ностей, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может ис-
пользоваться студентами других специальностей и вузов при 
подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для 
проведения различных проверочных работ.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания 
и критические замечания, которые можно присылать по элек-
тронной почте: ivsurs@mail.ru Сурской И.В.

РАЗДЕЛ 1.  
Предел функции

Определение предела функции. Свойства пределов.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквива-
лентность функций.
Раскрытие неопределенностей.
Первый и второй замечательные пределы.

1.1. Примеры выполнения заданий

Пример 1.1. Найти предел 

5

5
2
7
4
2
lim
.
3
7
4
x
x
x
x
x
x
→∞
−
−
−
+

Решение. При x → ∞ числитель и знаменатель дроби – бес-
конечно большие функции, поэтому имеем неопределенность 

вида 
.
∞




∞



 Чтобы ее «раскрыть», разделим числитель и знаме-

натель дроби на старшую степень x, т.е. на x5. Учитывая, что 

функции 
4
4 ;
x

 
5
2 ;
x

 
3
7
x

 и 
4
4
x

 – бесконечно малые при x → ∞, 

получим

 

5
4
5

5
2

3
4

4
2
7
7
4
2
7
0
0
7
lim
lim
.
7
4
3
0
0
3
3
7
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

→∞
→∞

−
−
−
−
−
−
=
=
=
−
+
−
+
−
+

Ответ: 7.
3

Пример 1.2. Найти предел 

2

2
2
3
5
2
lim
.
5
12
4
x
x
x

x
x
→
−
−

−
+

Решение. При x → 2 и знаменатель, и числитель дроби об-
ращаются в нуль: 
2
3 2
5 2 2
0
⋅
− ⋅ −
=
 и 
2
5 2
12 2
4
0,
⋅
−
⋅ +
=
 откуда 

получаем неопределенность вида 0 .
0







Чтобы «раскрыть» неопределенность (т.е. избавиться от 
нее), разложим числитель и знаменатель на множители. Для 
этого найдем корни числителя:

 
2
3
5
2
0;
x
x
−
−
=
 
2
7 ;
D =
 
1
5 7
2;
6
x
+
=
=
 
2
5 7
1;
6
3
x
−
=
= −

 
(
)
(
)(
)
2
1
3
5
2
3
2
2
3
1
3
x
x
x
x
x
x


−
−
=
−
+
=
−
+





и знаменателя:

 
2
5
12
4
0;
x
x
−
+
=
 
2
8 ;
D =
 
1
12
8
2;
10
x
+
=
=
 
2
12
8
2;
10
5
x
−
=
=

 
(
)
(
)(
)
2
2
5
12
4
5
2
2 5
2 .
5
x
x
x
x
x
x


−
+
=
−
−
=
−
−





Далее сократим числитель и знаменатель на (x – 2). В полу-

ченной дроби неопределенности 
0
0







 уже нет, и можно найти 

предел:

 
(
)(
)
(
)(
)

2

2
2
2
2
2
3
1
3
5
2
3
1
3 2 1
7
lim
lim
lim
.
2 5
2
5
2
5 2 2
8
5
12
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
+
−
−
+
⋅ +
=
=
=
=
−
−
−
⋅ −
−
+

Ответ: 7.
8

Пример 1.3. Найти предел 

11
11
lim
.
15
7
x
x

x
x
→
−

−
−
−

Решение. При x → 11 числитель и знаменатель дроби обра-

щаются в 0, поэтому имеем неопределенность 0 .
0







 Для ее рас-

крытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 

15
7,
x
x
−
+
−
 сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от 
иррациональности, и выполним необходимые преобразования:

(
)(
)

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
)

(
)(
)

(
)(
)
(
)

(
)

11
11

2
2
11
11

11
11

11
15
7
11
lim
lim
15
7
15
7
15
7

11
15
7
11
15
7
lim
lim
15
7
15
7

11
15
7
15
7
lim
lim
2
11
2

15 11
11 7
2
2
2.
2
2

x
x

x
x

x
x

x
x
x
x

x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x
x

x

→
→

→
→

→
→

−
−
+
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
−
+
−

−
−
+
−
−
−
+
−
=
=
=
−
−
+
−
−
−

−
−
+
−
−
+
−
=
=
=
−
−
−

−
+
−
+
=
=
= −
−
−

Ответ: –2.

Пример 1.4. Найти предел 
(
)
0
lim sin3
ctg7
.
x
x
x
→
⋅

Решение. При x → 0 имеем неопределенность (0 ⋅ ∞). Преоб-
разуем выражение (
)
sin3
ctg7
x
x
⋅
 так, чтобы можно было ис-

пользовать первый замечательный предел 

0
sin
lim
1,
u
u
u
→
=
 т.е. при-

ведем к неопределенности 0 :
0







 

0
0
0
0

0

sin3
3
cos7
sin3
3
lim sin3
limcos7
lim
cos0 lim
sin7
sin7
sin7
7
7
sin3
3
3 1
3
3
1
lim
.
sin7
7
7 1
7
7

x
x
x
x

x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

→
→
→
→

→

⋅


⋅
=
⋅
=
⋅
=




⋅

= ⋅
⋅
=
⋅
=

Ответ: 3.
7

Пример 1.5. Найти предел 
(
)
0
arcsin8
tg9
lim
.
ln 1 7
x
x
x
x
→
⋅
+

Решение. При x → 0 имеем неопределенность 0 .
0







 Найдем 

предел методом замены бесконечно малых эквивалентными. 

Для этого используем эквивалентность следующих бесконеч-
но малых:

 
arcsin8
8 ,
x
x

 tg9
9 ,
x
x

 
(
)
ln 1 7
7 ,
x
x
+

 
(
)
1
,
x
e
x
− −
−


тогда

 
(
)
(
)

(
)

0
0

arcsin8
1
8
8
lim
lim
.
ln 1 7
tg9
7
9
63

x

x
x

x
e
x
x

x
x
x
x

−

→
→

⋅
−
⋅ −
=
= −
+
⋅
⋅

Ответ: 
8 .
63
−

Пример 1.6. Найти предел 

3
4
7
2
lim
.
7
5

x

x
x
x

−

→∞
−




+



Решение. При x → ∞ имеем неопределенность (1∞). Деле-
нием числителя дроби на знаменатель выделим целую часть и 
выполним преобразования так, чтобы можно было использо-

вать второй замечательный предел 
1
lim 1
:

u

u
e
u
→∞


+
=





 

(
)

(
)
(
)

(
)

3
4
3
4

7 3
4
7
3
4
7
5
7
5
7
5
7
5

7
7

7 3
4
21
lim
3
7
5
7

7
5
7
7
2
lim
lim
7
5
7
5

7
7
lim
1
lim
1
7
5
7
5

.
x

x
x

x
x

x
x
x
x
x
x

x
x

x

x

x
x
x
x

x
x

e
e
e
→∞

−
−

→∞
→∞

−
−
−
⋅
−
⋅
+
+
+
+
−
−

→∞
→∞

−
−
−
−
+



+
−
−


=
=






+
+









−
−








=
+
=
+
=








+
+













=
=
=

Так как 
7
0
7
5
x
−
→
+
 при x → ∞, то

 

7
5
7
7
lim
1
.
7
5

x

x
e
x

+
−

→∞



−




+
=




+







Ответ: e.

1.2. Задания для самостоятельного 
выполнения

Вариант 1

1. 
4
2
6
2
lim
;
2
5
1
x
x
x
x
→∞
+
+
+

2. 

2

2
2
5
6
lim
;
2
3
2
x
x
x
x
x
→
−
+
−
−

3. 

0
1
1
lim
;
x
x
x
x
→
+
−
−

4. 

0
1
cos3
lim
;
sin4
x
x
x
x
→
−
⋅

5. 

2

0
arcsin 3
lim
;
tg5
x
x
x
x
→
⋅

6. 

8
5
3
lim
.
5
2

x

x
x
x
→∞
−




−



Вариант 2

1. 

4
2

2
9
2
1
lim
;
3
8
1
x
x
x
x
x
→∞
+
+
−
−

2. 

2

2
5
5
26
5
lim
;
2
15
x
x
x
x
x
→
−
+
−
−

3. 

4
5
13
lim
;
2
8
x
x
x

x
→
+
−
−

−
−

4. 
sin
lim
;
x
x
x
→π
− π

5. 

2

0
1
lim
;
arctg7

x

x
e
x
→
−

6. 

5
1
2
4
lim
.
2
7

x

x
x
x

−

→∞
+




+



Вариант 3

1. 

5
3
7
5
5
lim
;
8
x
x
x
x
→∞
−
+
+

2. 

2

2
2
3
5
2
lim
;
3
2
x
x
x
x
x
→−
+
−
+
+

3. 

1
2
lim
;
8
10
x
x
x

x
x
→
−
−

+
−
−

4. 

0
sin10
lim
;
1
cos3
x
x
x
x
→
−

5. 
6
0
arctg9
lim
;
1
x
x
x
e−
→
−

6. 

3
1
4
5
lim
.
4
2

x

x
x
x

+

→∞
−




+



Вариант 4

1. 

4
3

3
2
4
2
1
lim
;
4
5
x
x
x
x
x
→∞
+
−
−

2. 

2

2
1
2
1
lim
;
6
5
x
x
x
x
x
→−
+
−
+
+

3. 

5
6
4
lim
;
5
x
x
x
x
→
−
−
−
−

4. 

2

3
2
0
sin 2
tg
lim
;
3
x
x
x
x
x
→
⋅
+

5. 

0
1 cos7
lim
;
arctg5
x
x
x
x
→
−
⋅

6. 

7
1
2
5
lim
.
2
2

x

x
x
x

−

→∞
+




−



Вариант 5

1. 

4
2

2
6
2
5
lim
;
7
8
x
x
x

x
x
→∞
+
+

+

2. 

2

2
3
2
9
9
lim
;
2
3
x
x
x
x
x
→−
+
+
+
−

3. 

0
1
1
lim
;
1
1
x
x
x

x
→
+
−
−

+
−

4. 

3

2
0
sin 9
lim
;
sin 2
x
x
х
x
→

5. 

5
3

0
lim
;
tg4

x
x

x
e
e
x
→
−

6. 

8
3
5
1
lim
.
5
5

x

x
x
x

−

→∞
+




+



Вариант 6

1. 

3
2

4
5
3
1
lim
;
9
3
x
x
x
x
x
→∞
+
−
−

2. 

2

2
3
3
8
3
lim
;
5
6
x
x
x
x
x
→−
+
−
+
+

3. 

4
2
8
lim
;
4
x
x
x
→
−
−
−

4. 

2

2
0
tg 4
lim
;
sin 3
x
x
x
→

5. 
2
0
cos5
cos3
lim
;
arcsin 7
x
x
x
x
→
−

6. 

5
1
3
1
lim
.
3
5

x

x
x
x

+

→∞
+




−



Вариант 7

1. 
3
5
7
lim
;
2
7
2
x
x
x
x
→∞
+
+
+

2. 

2

2
3
4
21
lim
;
3
11
6
x
x
x
x
x
→−
−
−
+
+

3. 

3
3
lim
;
4
2
x
x

x
x
→
−

−
−
−