Численные методы решения задач теплообмена

Москва 2021

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСИС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА

Кафедра энергоэффективных и ресурсосберегающих промышленных 
технологий

И.А. Левицкий

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4413

УДК 669.04:001.573 
 
Л37

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, профессор кафедры ОМД НИТУ «МИСиС» А.Г. Радюк

Левицкий, Игорь Анисимович.
Л37  
Численные методы решения задач теплообмена : практикум / И.А. Левицкий. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2021. – 90 с.

Практикум содержит восемь практических занятий, посвященных решению (путем написания программ на алгоритмическом 
языке) задач теплообмена. Первое занятие знакомит с подходом 
к решению нелинейных задач, второе, третье и четвертое – с внешними задачами теплообмена, пятое, шестое и седьмое – с внутренними задачами, а на восьмом занятии рассматриваются подходы 
к решению сопряженных задач теплообмена. Описание алгоритмов дано без привязки к конкретному языку программирования, 
однако практикум содержит рекомендации для программной реализации этих алгоритмов в среде VBA MS Office.
Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению 
подготовки 22.03.02 «Металлургия» (профиль «Технологии материалов»).

УДК 669.04:001.573

 Левицкий И.А., 2021
 НИТУ «МИСиС», 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие .................................................................. 4
Практическое занятие 1 Применение методов 
последовательных приближений для решения простейших 
задач радиационного теплообмена ..................................... 6
Практическое занятие 2 Расчет сложного теплообмена 
в системе «газ – кладка – металл» классическим  
зональным методом ....................................................... 22
Практическое занятие 3 Расчет разрешающих  
обобщенных угловых коэффициентов излучения в системе 
«газ – кладка – металл» ................................................. 36
Практическое занятие 4 Расчет сложного теплообмена 
в системе «газ – кладка – металл» резольвентным  
зональным методом ....................................................... 41
Практическое занятие 5 Решение тестовой задачи 
теплопроводности ......................................................... 46
Практическое занятие 6 Решение линейной задачи 
теплопроводности методом конечных разностей (явная 
разностная схема) ......................................................... 54
Практическое занятие 7 Решение линейной задачи 
теплопроводности методом конечных разностей (неявные 
разностные схемы) ........................................................ 61
Практическое занятие 8 Решение сопряженной задачи 
теплообмена для нагрева термически тонкого металла 
в топливной печи .......................................................... 67
Библиографический список ............................................ 76
Приложение I Создание расчетной программы на VBA 
в Microsoft Excel 2003 .................................................... 77
Приложение II Создание расчетной программы на VBA 
в Microsoft Excel 2007–2019 ........................................... 82
Приложение III Пример оформления листа Excel  
и программ на VBA для занятия 1 ................................... 87

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие составлено в соответствии с программой курса 
«Численные методы решения задач теплообмена» для бакалавров профиля «Технологии материалов», обучающихся по направлению 22.03.02 «Металлургия». Целью практических занятий 
является освоение методов численного решения внешних и внутренних задач теплообмена в промышленных печах и приобретение навыков разработки соответствующих компьютерных программ.
Пособие предусматривает проведение восьми двухчасовых практических занятий в течение одного семестра. Практическое занятие 1 посвящено освоению приемов решения 
нелинейных уравнений (на примере простейших задач радиационного и сложного теплообмена), занятия 2–4 – различным модификациям зонального метода для расчета сложного 
(радиационно-конвективного) теплообмена в рабочем пространстве промышленных печей, занятия 5–7 – методам аналитического и численного решения задач теплопроводности, 
а занятие 8 – методам решения простейшей задачи сопряженного теплообмена.
Поскольку физическое содержание моделируемых процессов и основные приемы их математического описания изучаются в курсе «Тепломассообмен», главное внимание при проведении практических занятий уделяется построению алгоритмов 
численного решения задач, их реализации в виде компьютерных программ и проведению вычислительных экспериментов.
Все практические занятия проводятся в компьютерном 
классе каждым студентом индивидуально в соответствии с вариантом, указанным преподавателем. В процессе подготовки 
к занятию студент прорабатывает теоретический материал, 
содержащийся в описании работы и литературе [1 – 3], составляет конспект с изложением постановки задачи и структуры 
применяемых для ее решения вычислительных алгоритмов, а 
также подготавливает текст компьютерной программы. После 
ввода и отладки программы проводится вычислительный эксперимент в соответствии с индивидуальным заданием, сформулированным преподавателем, и результаты его заносятся в от

чет. По окончании вычислений отчет дополняется объяснением 
полученных результатов, необходимыми выводами и ответами на контрольные вопросы. Наличие конспекта и полностью 
оформленного отчета является необходимым условием для защиты практического задания по каждой изучаемой теме занятия.
Создание расчетных программ возможно на любом алгоритмическом языке по согласованию с преподавателем; однако 
в качестве базового языка в данном курсе предлагается Visual 
Basic (VBA), встроенный в Microsoft Excel. Поэтому в приложениях к данному пособию представлены рекомендации по созданию программ в среде VBA и примеры таких программ. Встречающиеся в описаниях практических занятий рекомендации 
по программированию, помеченные значком :, также ориентированы на этот базовый вариант.
Перед началом работы над практикумом рекомендуется 
повторить темы по основам языка Basic, в особенности такие 
как:
  типы переменных;
  организация циклов (for – next и do – loop while);
  подпрограммы (процедуры и функции);
  массивы статические и динамические;
  глобальные и локальные переменные.
Также следует изучить особенности ввода-вывода информации в среде VBA.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 
Применение методов последовательных 
приближений для решения простейших 
задач радиационного теплообмена

1.1 Постановка задачи

Пусть требуется рассчитать температуру нагревателя Tн 
электрической печи сопротивления. Будем считать заданными:
  температуру 
поверхности 
нагреваемого 
металла 
Tм = 1000 К;
  степень ее черноты eм = 0,5;
  полезную 
удельную 
мощность 
нагревателя 
pн = 50 кВт/м2;
  зависимость степени черноты нагревателя от температуры (в интервале 1000 – 2000 К) в виде eн(Tн) = k⋅Tн, где 
k = 0,15⋅10–3 К–1.
Для решения этой задачи запишем уравнение теплового 
баланса для нагревателя:

 
р
н
н,
p
q
=  
(1.1)

где qр
н – плотность потока результирующего излучения 
на его поверхности, Вт/м2.

Используем известное решение задачи радиационного 
теплообмена (РТО) для системы из двух тел (в данном случае – 
поверхности металла и нагревателя):

 
(
)
р
4
4
н
пр
o
м
н ,
q
T
T
= e
s
 
(1.2)

где eпр – приведенная степень черноты рассматриваемой системы; sо – постоянная Стефана – Больцмана, 
sо = 5,67⋅10–8 Вт/(м2⋅К4).

Подставив выражение (1.2) в уравнение теплового баланса (1.1), получим соотношение

(
)
(
)
4
4
н
пр
н
o
н
м .
p
T
T
T
= e
s
 
(1.3)

Если бы величина eпр была константой, то решение поставленной задачи было бы очень простым: следовало бы неизвестную величину T4
н перенести в левую часть выражения 
(1.3), а затем извлечь корень четвертой степени из выражения 
в правой части. Но величина eпр зависит от геометрии системы 
и значений eм и eн, а eн = eн(Tн), поэтому и eпр оказывается зависящей от неизвестной температуры Tн, т.е. тоже является 
неизвестной величиной.
В общем случае приведенная степень черноты для системы из двух тел (1 и 2) описывается выражением [1]:

 
12
пр

12
21

1
2

,

1
1
1
1
1

j
e
=





+
j
+
j




e
e





 
(1.4)

где e1, e2 – степени черноты поверхностей тел системы; 
j12, j21 – геометрические угловые коэффициенты излучения 
между этими телами.

Поскольку в условии задачи отсутствуют данные о геометрии системы, будем рассматривать поверхности нагревателя и металла как бесконечные параллельные плоскости, тогда 
j12 = 1, j21 = 1 и выражение для приведенной степени черноты 
такой системы может быть записано в виде

 

(
)

пр

м
н
н

1
,
1
1
1
T

e
=
+
e
e

 
(1.5)

что позволяет переписать уравнение (1.3) в форме

 

(
)

(
)
4
4
o
н
н
м

м
н
н

.
1
1
1
p
T
T

T

s
=
+
e
e

 
(1.6)

Полученное выражение представляет собой нелинейное 
уравнение относительно искомой температуры Tн. Для его решения могут быть применены различные численные методы, 
наиболее распространенные из которых рассмотрены в последующих подразделах (для сокращения записи неизвестная 
температура обозначена буквой x: x ≡ Tн).

1.2 Метод простой итерации

Для применения метода простой итерации уравнение 
(1.6) необходимо преобразовать к такому виду, при котором 
левая часть содержит только искомую переменную в первой 
степени:

 
( ).
x
f x
=
 
(1.7)

Это преобразование можно выполнить различными путями.
Первый путь предполагает те же действия, которые предпринимались бы для постоянного значения eпр: соотношение 
(1.6) делится на первый множитель правой части, величина T4
м 
переносится в левую часть и из полученного выражения извлекается корень четвертой степени, в результате чего получается 
равенство

 
4
н
4
м
о
м

1
1
1
,
p
x
T
k x


=
+
+


s
e
⋅



 
(1.8)

сравнивая которое с уравнением (1.7), видим, что для этого варианта

 
( )
4
н
4
м
o
м

1
1
1
.
p
f x
T
k x


≡
+
+


s
e
⋅



 
(1.9)

Второй путь состоит в том, что в левую часть уравнения выносится искомая температура, входящая в выражение 
для степени черноты нагревателя. В этом случае итоговое выражение будет иметь вид

(
)

4
4
o
м
н
м

1
 ,
1
1

x

k
x
T
p

=


s
⋅
+


e



 
(1.10)

т.е. для этого варианта

 
( )

(
)

4
4
o
м
н
м

1
 .
1
1

f x

k
x
T
p

≡


s
⋅
+


e



 
(1.11)

Используя в правой части уравнения вместо выражений 
(1.9) или (1.11) их линейную комбинацию, можно получить 
бесчисленное множество вариантов представления исходного 
уравнения (1.6) в форме (1.7).
Решение уравнения (1.7) методом простой итерации начинается с задания исходного приближения x(0), выбираемого 
достаточно произвольно, но, конечно, не противоречащего физическому смыслу величины x. При решении уравнения (1.7) 
в качестве исходного приближения можно выбрать минимально возможное значение температуры нагревателя, равное температуре металла x(0) = xmin = Tм (или несколько большее значение, скажем, на 100 К).
Суть метода простой итерации заключается в том, что 
в качестве уточненного значения x(1) рассматривается результат подстановки начального приближения x(0) в правую часть 
уравнения (1.6):

 
( )
( )
(
)
1
0 .
x
f x
=
 
(1.12)

Операция (1.12) называется первой итерацией.
На второй, третьей и дальнейших итерациях производится последовательное уточнение искомого значения x; при 
этом на каждом шаге расчета в правую часть уравнения (1.7) 
подставляется результат, полученный на предыдущей итерации. Так, на итерации с номером n справедливо соотношение

 
( )
(
)
(
)
–1 .
n
n
x
f x
=
 
(1.13)