Математика. Дифференциальное исчисление. Часть I. Функции одной независимой переменной

Москва 2021

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Дифференциальное исчисление.  
Часть I. Функции одной независимой переменной

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4044

УДК  517.2 
 
М34

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, проф., профессор кафедры высшей и прикладной 
математики В.В. Шевелев (Российский технологический университет 
РТУ-МИРЭА)

А в т о р ы : 
А.Э. Адигамов, П.В. Макаров, Н.В. Семенова, Ф.Л. Дамиан

М34  
Математика. Дифференциальное исчисление. Часть I. 
Функции одной независимой переменной : учеб. пособие / 
А.Э. Адигамов [и др.]. – М. : Издательский Дом НИТУ 
«МИСиС», 2021. – 76 с.
ISBN 978-5-907227-24-8

Материал учебного пособия охватывает содержание нескольких 
основных разделов программы курса «Математика». Пособие призвано 
помочь студентам как при выполнении домашних заданий 
и подготовке к контрольным работам, так и в самостоятельном из-
учении дисциплины.
В нем кратко приведены основные понятия теории дифференци-
рования: определения основных понятий и формулировки теорем, 
рабочие формулы и математические выражения, даны практиче-
ские рекомендации при разборе примеров с тем, чтобы облегчить 
усвоение материала и выполнение расчетного задания. Приведены 
примеры решения типовых задач.
Материал дан в объеме, достаточном для понимания различных 
курсов, изучаемых в дальнейшем. Приводятся основные теоретиче-
ские сведения о производных и дифференциалах, рассмотрены ос-
новные приемы и методы дифференцирования. Теоретический ма-
териал сопровождается разобранными примерами и задачами для 
самостоятельного решения, что необходимо для самостоятельной 
работы студентов.
Пособие направлено на то, чтобы помочь студенту-заочнику в ос-
воении основного программного материала курса по стандартным 
учебникам и различных приемов и методов дифференцирования.
Предназначено для студентов младших курсов заочной формы 
обучения.

УДК 517.2

 Коллектив авторов, 2021
ISBN 978-5-907227-24-8
 НИТУ «МИСиС», 2021

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................... 4
1. Основные понятия ...................................................... 6
2. Вывод производных основных элементарных функций .... 8
3. Производная суммы, произведения, частного ............... 10
4. Производная логарифмической функции и сложной 
функции ...................................................................... 12
5. Принцип логарифмического дифференцирования ......... 18
6. Производная обратной функции ................................. 22
7. Производные обратных тригонометрических функций... 25
8. Производные неявных функций .................................. 27
9. Производные функций, заданных параметрически ........ 28
10. Дифференциал функции. Его свойства  
и геометрический смысл ................................................ 30
11. Свойства дифференциала ......................................... 31
12. Дифференциал сложной функции ............................. 32
13. Производные и дифференциалы высших порядков ...... 34
14. Общие правила нахождения производных высших 
порядков ..................................................................... 39
15. Теорема и формула Тейлора ...................................... 46
16. Формула Маклорена ................................................ 49
17. Разложение некоторых элементарных функций 
по формуле Маклорена .................................................. 50
18. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши .............................. 63
19. Раскрытие неопределенности в пределе. Правила 
Лопиталя ..................................................................... 65
Приложение ................................................................. 73
Библиографический список ............................................ 75

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное исчисление возникло из практики че-
ловеческой деятельности в связи с необходимостью решения 
двух задач еще в XVII в.:
1) задачи о вычислении скорости при произвольно задан-
ном законе движения;
2) задачи о нахождении (с помощью вычислений) каса-
тельной к кривой, произвольно заданной.
Задачу проведения касательной к некоторым кривым (част-
ные случаи) решил еще древнегреческий ученый Архимед 
(287–212 гг. до н.э.).
Позднее возникла необходимость решения задачи о произ-
водительности труда.
Одним из важных вопросов при изучении любого физиче-
ского явления обычно является вопрос о скорости, быстроте 
происходящего явления.
Скорость, с которой движется самолет или автомобиль, всег-
да служит важнейшим показателем его работы. Быстрота приро-
ста населения того или иного государства является одной из основных 
характеристик его общественного развития.
Для решения большинства практических задач общей идеи 
скорости недостаточно. Необходимо иметь количественное определение 
этой величины. Потребность в точном количественном 
определении исторически послужила одной из основных причин 
к созданию математического анализа. Целый раздел математического 
анализа посвящен решению этой основной задачи 
и выводам из этого решения.
Этими проблемами занимались такие выдающиеся ученые, 
как:
Готфрид Вильгельм Лейбниц (нем. Gottfried Wilhelm von Leibniz; 1646–1716), немецкий ученый, независимо от Ньютона создал 
математический анализ, основанный на бесконечно малых;
Жозеф Луи Лагранж (фр. Joseph Louis Lagrange, 1736–
1813) – французский математик, астроном и механик;
Тейлор Брук (Taylor Brook, 1685–1731) – английский математик. 
Нашел в 1712 г. общую формулу разложения функции 
в степенные ряды;

Маклорен Колин (Maclaurin Colin, 1698–1746) – шотландский 
математик. Основные труды – по теории рядов;
Мишель Ролль (фр. Michel Rolle, 1652–1719) – французский 
математик. Особенно известны его работы по предмету 
численного решения уравнений и найденный им метод определения 
пределов, заключающих корень уравнения;
Джузеппе Пеано (итал. Giuseppe Peano, 1858–1932) – итальянский 
математик. Внес вклад в математическую логику, 
аксиоматику, философию математики;
Гийом Франсуа Лопиталь, маркиз (фр. Guillaume François 
Antoine, marquis de L’Hôpital, 1661–1704) – французский математик, 
автор первого учебника по математическому анализу;
Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 1789–1857) – 
французский математик и механик. Разработал фундамент математического 
анализа, внес огромный вклад в анализ, алгебру, 
математическую физику и многие другие области математики.
Некоторые теоремы этих ученых будут рассмотрены ниже.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется 
предел отношения приращения функции в этой точке 
к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента 
к нулю, если этот предел существует, то есть

 
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
lim
lim
.
x
x
f x
x
f x
y
f x
x
x
D →
D →
+ D
−
D
′
=
=
D
D

Производная функции обозначается y′(x0), fx′(x0), y′(x0), 
( ).
dy x

dx

Геометрический смысл производной в точке представлен 
на рис. 1.

∆f

у
f(x)

f(x0 +∆x)
P

f(x0)
M

α
β
∆x

0
x0
x0 + ∆x
x

Рис. 1. Секущая и касательная к графику функции в точке

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда 

tg
f
x

D
b = D
 – тангенс угла наклона секущей к графику функции:

 
(
)
0
0
0
limtg
lim
tg ,
x
x
f
f x
x
D →
D →

D
′
b =
=
=
a
D

где a – угол наклона касательной к графику функции f(x) 
в точке (x0,f(x0)).

Определение. Нахождение производной f′(x) по заданной 
функции f(x) называется дифференцированием функции f(x).
Определение. Если f(x) имеет производную во всех точках 
(a,b), то она дифференцируема на этом интервале (a,b).
Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, 
то она непрерывна в этой точке x0.
Доказательство.
По условию

 
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
,
f x
x
f x
f x
x
x
x

+ D
′
−
=
+ a D
D
D

где a(Dx) – бесконечно малая при Dx → 0, поэтому  
Dy = f(x0 + Dx) – f(x0) = f′(x0)Dx + Dxa(Dx).

Следовательно:

 

(
)
(
)

(
)
(
)

0
0
0
0

0
0
0

lim
lim
lim

lim
lim
0,

x
x
x

x
x

y
f x
x
x
x

f x
x
x
x

D →
D →
D →

D →
D →

′




D =
D
+
D a D
=





′


=
D +
D a D
=



что и требовалось доказать.
Замечание. Обратное утверждение в общем случае не верно.
Например: функция f(x) = |x| в точке x = 0 непрерывна, 
однако в этой точке не имеет производной, так как при x > 0 
f′(0) = 1, а при x < 0 f′(0) = –1.
Следствие. В точках разрыва функция не имеет производной.

2. ВЫВОД ПРОИЗВОДНЫХ 
ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ 
ФУНКЦИЙ

Вывод производной степенной функции:

 
;
n
y
x
=

 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

(
)

0

1
1
0
2

0
1

1
1
2

;

n
n
n k
n
k
k
n
n
k

n
n
n

n
n
n

y
x
x
x
C x
x
x

n n
x
x
nx
x
x
x

nx
x
x
x
x

−

=

−
−

−

D =
+ D
−
=
D
−
=

−
=
D
+
D
+
D
+

+
D +
D
−

∑

 

(
)
(
)
(
)
1
2
2
1

1

0

1
...
;
2

lim
;

n
n
n
n

n

x

n n
y
x
nx
x
x
x
nx
x
y
nx
x

−
−
−
−

−

D →

−
D
= D
+
D
+
+
D +
D
D
=
D

 
(
)
1.
n
n
x
nx −
′ =

Вывод производных тригонометрических функций:
а) y = sinx;

 
(
)
sin
sin
2sin
cos
;
2
2
x
x
y
x
x
x
x
D
D




D =
+ D
−
=
⋅
+









 

0
0
0

0

2sin
2
lim
lim
lim cos
2

lim cos
cos ;
2

x
x
x

x

x
x
y
x
x
x
x

x
x
x

D →
D →
D →

D →

D




D
D




=
+
=


D
D



D


=
+
=





 
(
)
sin
cos .
x
x
′ =

б) y = cosx;

 
(
)
cos
cos
2sin
sin
;
2
2
x
x
y
x
x
x
x
D
D


D =
+ D
−
= −
+





0
0
0

0

2sin 2
lim
lim
sin
lim
2

lim
sin
sin ;
2

x
x
x

x

x

y
x
x
x
x

x
x
x

D →
D →
D →

D →

D


D
D


=
−
+
=




D
D






D


=
−
+
= −









 
(
)
cos
sin .
x
x
′ = −

Вывод производных гиперболических функций:
а) y = shx;

 
(
)
sh
sh
2sh
ch
;
2
2
x
x
y
x
x
x
x
D
D




D =
+ D
−
=
+









 

0
0
0

2sh
2
lim
lim
limch
1ch
ch ;
2
x
x
x

x

y
x
x
x
x
x
x
D →
D →
D →

D




D
D




=
+
=
=


D
D



 
(
)
sh
ch ;
x
x
′ =

б) y = chx;

 
(
)
ch
ch
2sh
sh
;
2
2
x
x
y
x
x
x
x
D
D




D =
+ D
−
=
+









 

0
0
0

2sh
2
lim
lim
limsh
1sh
sh ;
2
x
x
x

x

y
x
x
x
x
x
x
D →
D →
D →

D




D
D




=
+
=
=


D
D



 
(
)
ch
sh .
x
x
′ =

3. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, 
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО

Пусть u(x), v(x) дифференцируемы в точке x.
1. Производная константы равна нулю, так как

 
(
)
( )
const
0
0;
y
y
C
y
f x
x
f x
x
D
≡
−
⇒ D =
+ D
−
≡
⇒
≡
D
 

0
lim
0.
x
y
x
D →

D
=
D

 
( )
0.
C ′ =

2. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) 
производных, так как

 

( )
( )
(
)
( )

(
)
(
)
( )
( )
.

y
u x
v x
y x
x
y x
y

u x
x
v x
x
u x
v x
u
v

=
+
⇒
+ D
−
= D =

=
+ D
+
+ D
−
−
= D + D

 
( )
( )
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
y
u
v
u
v
u x
v x
x
x
x
x
x
D →
D →
D →
D →
D
D
D
D
D


′
′
=
+
=
+
=
+


D
D
D
D
D



 
(
)
.
u
v
u
v
′
′
′
+
=
+

3. Константу можно выносить за знак производной, так как

 

( )
(
)
( )
(
)
( )

(
)
( )
(
)
;

y
cu x
y x
x
y x
y
cu x
x
cu x

c u x
x
u x
c u

=
⇒
+ D
−
= D =
+ D
−
=

=
+ D
−
= D

 
( )
0
0
lim
lim
;
x
x
y
y
c
cu x
x
x
D →
D →
D
D
′
=
=
D
D

 
(
)
( )
(
)
.
сu
сu x
cu
′
′
′
=
=

На основании свойств 2 и 3 делается обобщение

 
(
)
,
u
v
u
v
′
′
′
a +b
= a
+b

где a и b – любые числа.

4. 
( ) ( )
(
) (
)
( ) ( );
y
u x v x
y
u x
x v x
x
u x v x
=
⇒ D =
+ D
+ D
−

 
(
)
( )
u x
x
u x
u
+ D
−
= D
 и (
)
( )
,
v x
x
v x
v
+ D
−
= D

поэтому

 
(
)
( )
u x
x
u x
u
+ D
=
+ D  и (
)
( )
,
v x
x
v x
v
+ D
=
+ D

следовательно,

(
)(
)
,
y
u
u
v
v
uv
v u
u v
u v
D =
+ D
+ D
−
= D + D + D D

 

0
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
lim
,
x
x
x
x
x
y
u
v
u
v
u
v
x
x
x
x
D →
D →
D →
D →
D →
D
D
D
D
=
+
+
D
D
D
D
D

так как v(x) – непрерывна в точке x, то

 

0
lim
0,
x
v
D → D =
 

0
lim
0
;
x
y
vu
uv
u
uv
u v
x
D →

D
′
′
′
′
′
=
+
+
=
+
D

 
(
)
.
uv
u v
uv
′
′
′
=
+

Обобщение этой формулы:

 
(
)
uvw
u vw
uv w
uvw
′
′
′
′
=
+
+
 и т.д.

5. 
( )
( )

(
)

(
)

( )
( )

(
)
(
)
(
)
(
)

,

u x
u x
x
u x
u
u
u
y
y
v x
v x
x
v x
v
v
v

u
u v
v
v u
v u
u v
v v
v
v v
v

+ D
+ D
=
⇒ D =
−
=
−
=
+ D
+ D

+ D
−
+ D
D − D
=
=
+ D
+ D

 
(
)
(
)

0
0
0

0
0
0

lim
lim
lim
lim
,
lim
lim

x
x
x

x
x
x

v u
u v
u
v
v
u
y
x
x
x
x
v v
v
v
v
v

D →
D →
D →

D →
D →
D →

D − D


D
D
−


D
D


D
D
=
=
D
+ D
+ D

так как 
2
0
0
lim
0
lim
;
x
x
y
u v
uv
v
x
v
D →
D →
′
′
D
−
D =
⇒
=
D
 
2
.
u
u v
uv
v
v

′
′
′
−

 =



