Математический анализ процессов горячей деформации и фазовых превращений

Москва  2020

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ 

 

Кафедра металловедения и физики прочности

М.Ю. Беломытцев

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
ПРОЦЕССОВ ГОРЯЧЕЙ ДЕФОРМАЦИИ 
И ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

Пособие к курсовым работам и практическим занятиям

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4093

УДК 669.017:517 
 
Б43

Р е ц е н з е н т 

д-р техн. наук, проф. А.Н. Белов

Беломытцев М.Ю.

Б43  
Математический анализ процессов горячей деформа
ции и фазовых превращений : пособие к курсовым работам и практическим занятиям : практикум / М.Ю. Беломытцев. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 150 с.

Пособие включает описание теории и последовательности при вы
полнении курсовых работ и практических занятий по восьми темам, 
по таким учебным дисциплинам, как физика прочности, жаропрочные и радиационно стойкие материалы, термомеханическая обработка металлов и сплавов, теория фазовых и структурных превращений, 
материалы для сверхсложных условий эксплуатации. По каждой 
рассматриваемой теме дано краткое теоретическое описание процесса и методики математического анализа. Приведены необходимые 
справочные данные и иллюстративный материал. Практически для 
всех работ представлены исходные базы экспериментальных данных. 
Последовательность выполнения работ иллюстрируется демонстрационными примерами. Цель пособия – привить студентам навыки 
математической обработки больших массивов экспериментальных 
данных, дать приемы нахождения математических зависимостей для 
их описания, показать примеры нахождения стандартных механических характеристик и структурно-фазовых показателей.

Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающих
ся по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии материалов» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 
осваивающих курсы «Физика прочности» и «Высокотемпературная 
прочность материалов», «Жаропрочные и радиационно стойкие материалы», «Темромеханическая обработка металлов и сплавов», «Теория фазовых и структурных превращений».

УДК 669.017:517

© М.Ю. Беломытцев, 2020
© НИТУ «МИСиС», 2020

Содержание

Предисловие ..................................................................... 4
Практическое занятие 1 
НАХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ  
ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ................................ 5
Практическое занятие 2 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
ПРОЦЕССОВ ПОЛЗУЧЕСТИ  
(нахождение обобщенных уравнений ползучести) ................. 23
Практическое занятие 3 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА 
РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ  
(построение обобщенных диаграмм рекристаллизации) ......... 42
Практическое занятие 4 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНТРОЛИРУЕМОЙ 
ПРОКАТКИ МАЛОУГЛЕРОДИСТОЙ СТАЛИ ...................... 65
Практическое занятие 5 
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ДИФФУЗИОННЫХ 
ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ......... 92
Практическое занятие 6 
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ГОМОГЕНИЗИРУЮЩЕГО  
ОТЖИГА ЖАРОПРОЧНЫХ НИКЕЛЕВЫХ СПЛАВОВ ........105
Практическое занятие 7 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОКИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ 
СТАЛИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ .................119
Практическое занятие 8 
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЖАРОПРОЧНЫХ  
НИКЕЛЕВЫХ СПЛАВОВ ................................................139
Библиографический список ..............................................148

ПРЕДИСЛОВИЕ

Практикум «Математический анализ процессов горячей 

деформации и фазовых превращений. Пособие к курсовым работам и практическим занятиям» является обобщением методических описаний выполнения курсовых работ и практических 
занятий, посвященных обработке экспериментальных данных 
горячих механических испытаний, обработки давлением и результатов исследований фазового и структурного состояния материалов, связанного с воздействием высоких температур. Характер и содержание работ соответствуют учебным программам 
по общим и специальным курсам.

Пособие должно дать студентам сведения о последователь
ности этапов при выполнении курсовых работ и заданий практических занятий, о методах обработки массивов данных, представленных в виде электронных документов. Пособие призвано 
развивать у студентов навыки использования компьютера для 
проведения вычислительных операций с большими массивами 
данных. Особое внимание в работах придается изложению методик и приемов поиска аналитических зависимостей между экспериментальными величинами. Все работы сопровождаются демонстрационными примерами, позволяющими контролировать 
правильность расчетов и оценивать адекватность получаемых 
аналитических зависимостей.

Практические занятия и курсовые работы по тематике 

практикума проводятся на кафедре впервые. Автор благодарит 
за помощь при обсуждении работы сотрудников кафедры Мельниченко А.С. и Молярова В.Г. 

Практическое занятие 1 

НАХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ 

ДЕФОРМАЦИИ

1.1 Теоретическое введение

Обработка давлением является главным способом полу
чения металлопродукции заданного сортамента и типоразмера. 
С точки зрения эффективности производства (баланса затрат 
на оборудование и нагрев заготовок) бесспорным преимуществом 
обладает обработка горячей деформацией. Холодная деформация применяется для придания высоких механических свойств 
на финишной стадии обработки давлением с помощью механизма холодного наклепа (лист, проволока, лента, пруток и т.п.).

Возможность управления процессом горячей деформации 

определяется знаниями законов взаимосвязи таких переменных 
факторов, как давление, деформация, скорость деформации и 
температура. Знание этих закономерностей позволяет вводить 
компьютерное регулирование процессов горячей деформации 
(по типу контролируемой прокатки для автолистовой стали) 
с целью регулирования структуры и механических свойств конечного продукта.

Известны базовые уравнения связи переменных типа Хол
ломона (Н), экспоненциально-степенного (ES), Людвигсона (L), 
Зенера – Холломона (Z и Z1), Bird – Mukherjee – Dorn (BMD), 
модернизированное уравнение Зенера – Холломона (ZM). Эти 
уравнения математически выглядят так:

 - Холломона (Н): 

S = S0 · ϕn;

 - экспоненциально-степенное (ES): 

σ = A · εn · exp(k · ε);

 - Людвигсона (L): 

S = K0 · ϕn + exp(K1 + K2·ϕ);

- Зенера – Холломона (Z): 

Z = ε exp (Q / RT);

 - Зенера – Холломона (Z1):

ε  = A F (σ) exp (–Q / RT),

где S – истинное напряжение, МПа;
S0, A...A4, k, K0, K1, K2, α, β, n, n1 – константы материала; 

α = β / n;

ϕ – истинная деформация, доли ед.;
σ – напряжение течения, MПa; 
ε – деформация, доли ед.;
Z – параметр Зенера – Холломона;
ε  – скорость деформации, с–1;
Q – энергия активации горячей деформации, кДж/моль;
R – универсальная газовая постоянная, 8,314 J/моль·К; 
Т – абсолютная температура, К; 
F(σ) = A1σn1; ασ < 0,8;
F(σ) = A2exp (A3σ), ασ > 1,2;
F(σ) = A4sinh (ασ) для всех остальных ασ.

Замена гиперболическим законом F(σ) в уравнении (Z1) 

дает улучшенное уравнение Аррениуса (A) в форме гиперболического синуса, оно может лучше описывать зависимость напряжения от температуры и скорости деформации на стадии установившегося течения:

(
)
(
)
sin
exp
R

n
Q
p
T
h
A




ε =
ασ
⋅
−








,

где p – константа.

Согласно определению гиперболического закона напряже
ние течения может быть выражено как функция параметра Зенера – Холломона (Z) в виде:

 - Зенера – Холломона (Z): 

1
1
2
2
1 ln
1
n
n
Z
Z
A
A















σ =
+
+








α















;

- Bird – Mukherjee – Dorn (BMD):

(
) (
)
(
)
(
)
0
exp
1/
Q
d
D EbA
kT
E
b
kT
−
σ
ε =
⋅
⋅
⋅

;

 - модернизированного уравнения Зенера – Холломона 

(ZM): 

(
)
(
)
(
)

1
1
1
2
2
0
2
exp
ln
1
n
Z
Z
A
A

β




β




σ =
⋅ε
⋅
−β ⋅ε ⋅
+
+




α









,

где D0 – параметр диффузии, см2/с;
E – упругий модуль, МПа;
d – размер зерна, нм;
b – кратчайшее межатомное расстояние, нм;
A, β0, β1, β2 – константы.

Описанные выше уравнения не универсальны. Уравнение 

типа Холломона (H) применяют для нахождения параметров 
кривой холодной и теплой деформации, когда до самого момента 
потери устойчивости пластического течения (чаще всего до момента образования шейки) на машинной кривой деформации коэффициент деформационного упрочнения dσ/δε положителен 
(т.е. кривая все время идет вверх, хотя и с постоянно убывающим наклоном). Экспоненциально-степенное уравнение (ES) хорошо описывает кривую горячей деформации, на которой присутствует стадия с постоянно уменьшающейся (хотя и довольно 
медленно) по мере увеличения деформации нагрузкой, не связанной с началом образования шейки (на этой стадии процессы 
контролируются динамической полигонизацией), но плохо – 
со стадией динамической рекристаллизации. Первые два типа 
уравнений не учитывают температуры и скорости деформации. 
Уравнения Зенера – Холломона и его разновидности применяют 
для описания тех кривых горячей деформации, на которых ярко 
выражена стадия с постоянной скоростью деформации (на этой 
стадии кривая идет параллельно оси абсцисс, что связано с динамической рекристаллизацией), и найденные уравнения позволяют прогнозировать связь скорости деформации на этой стационарной стадии с температурой и напряжением, но без учета 
степени деформации. 

Взаимосвязь всех четырех переменных (σ, ε, ε , Т) может 

быть представлена уравнениями общего вида (OB):

( )
(
)
exp
R

m
n
Q
A
T
σ =
⋅ε ⋅ ε
⋅


или после логарифмирования:

log(σ) = A + B·log(ε) + C · log( ε ) + D / T,

где A, B, C, D, n, m – константы.

Комбинирование уравнений (ES) и (OB) дает

(
) ( )
(
)
exp
exp
R

m
n
Q
A
k
T
σ =
⋅ε ⋅
ε ⋅ ε
⋅


или после логарифмирования:

log(σ) = A + B·log(ε) + C · (ε)+ D · log( ε ) + E / T.

Известно также уравнение общего вида Зерилли – Арм
стронга: 

( )
12
0
2
3
4
exp
ln
C
C
C
T
C


σ =
+
⋅ε
⋅
−
⋅
+
⋅
ε



 ,

где С0, С2, С3, С4 – константы.

После логарифмирования уравнения общего вида Зерилли – 

Армстронга (полагая на начальном цикле С0 = 0) связь переменных может быть выражена функциональной зависимостью вида

log(σ) = A + B · log(ε) + C · log( ε )+ D · T.

Все эти уравнения применяют как для описания процес
сов деформирования, так и для прогноза (расчета) требуемых инженерам или исследователям параметров напряжений, деформаций либо скоростей деформаций.

1.2 Цель занятия

Цель практической работы – описание кривой деформа
ции вида σ – ε математической зависимостью наилучшего вида 
и нахождение закона связи всех варьируемых параметров в виде 
математической модели (нахождение закона деформации).

1.3 Организация занятия

В качестве экспериментальных данных студентам пред
лагаются результаты испытания на горячее сжатие образцов 
жаропрочных материалов в виде графиков кривых деформации в координатах «истинное напряжение – истинная деформация». Все испытания проводились на цилиндрических образцах 
при разных температурах (от 600 до 1200 °С) и скоростях сжатия (от 0,01 до 10,00 с–1). Общее число графиков, подлежащих 
анализу, – не менее 20 (источники информации – статьи из различных монографий и научных журналов – приведены в [1–5]). 
Учебная группа студентов делится на пары. Каждой паре выдается несколько графиков с таким расчетом, чтобы вся группа 
в целом проанализировала полный массив данных. На первом 
этапе (парный анализ) работа каждой пары независима от других. На втором этапе результаты работы всех пар сводятся в один 
массив экспериментальных данных и вся учебная группа проводит один и тот же многомерный анализ. 

1.3.1 АНАЛИЗ КРИВОЙ ДЕФОРМАЦИИ  
(парный анализ)

Цель первого этапа работы – нахождение уравнения, наи
лучшим способом описывающего экспериментальную кривую 
сжатия. Поскольку каждая кривая получена при некоторой постоянной температуре и некоторой фиксированной скорости 
деформации, переменными величинами этой части работы являются степень деформации ϕ (независимая переменная – х) и 
напряжение S (зависимая переменная – у). И та, и другая переменная задаются их истинными значениями. Для описания кривых деформации предлагаются две модели: Холломона (1.1) и 
экспоненциально-степенная (1.2). Модель Людвигсона: 

S = K0 · ϕn + exp(K1 + K2 · ϕ),

где K0, K1, K2 – константы.

Она простыми математическими преобразованиями при
водится к экспоненциально-степенному виду:

 
S = S0 · ϕn;  
(1.1)

S = A · ϕn · exp(k · ϕ). 
(1.2)

На этом этапе цель работы – нахождение коэффициентов 

уравнений (1.1) и (1.2), проверка качества полученных моделей 
и выбор наилучшей из них.

Уравнение (1.1) логарифмированием может быть приведе
но к уравнению двух переменных линейного вида:

log(S) = log(S0) + n · log(ϕ),

где х = log(ϕ), у = log(S), а log(S0) и n – коэффициенты, ко
торые необходимо найти. Такая задача легко решается в любых 
расчетных программах (например, Excel, Origin, MathCad, Statistica) с применением стандартных функций.

Уравнение (1.2) логарифмированием может быть приведе
но к уравнению трех переменных линейного вида:

log(S) = log(А) + n · log(ϕ) + log(e) · k · ϕ

где х = log(ϕ); у = log(е); z = log(S); log(А), n и log(e) · k – ко
эффициенты, которые необходимо найти; ϕ – истинная деформация. Такая задача может быть решена в программах MathCad и 
Statistica с применением стандартных операторов. 

Качество найденных моделей проверяется применением 

метода максимального правдоподобия. Этот метод подразумевает вычисление суммы квадратов отклонений расчетных значений Sрасч от экспериментальных Sэксп. По этой величине может 
быть определено среднее отклонение вычисленных значений 
от экспериментальных в мегапаскалях (МПа), а при нормировании на Sэксп – качество моделей в процентах от среднего значения величины S.

Формально лучшей считается та модель, у которой пока
затели качества выражены меньшим числом. Окончательный 
вывод делается после определения критерия Фишера: если расчетный критерий Фишера V2расч превышает табличный V2табл 
(для данных степеней свободы и уровня значимости α; за базовый уровень значимости всегда принимается α = 0,95), то модель 
с меньшим значением среднеквадратичного отклонения значимо лучше, чем другая.