Финансовая математика

Москва 2022

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ 
ИМ. В.А. РОМЕНЦА

Кафедра промышленного менеджмента

И.М. Зайцев 
О.О. Скрябин 
А.С. Богачев

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4600

УДК 33 
 
З-17

Р е ц е н з е н т 
канд. экон. наук, доц. А.В. Алексахин

Зайцев, Иван Михайлович.
З-17  
Финансовая математика : курс лекций / И.М. Зайцев, 
О.О. Скрябин, А.С. Богачев. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2022. – 96 с.
ISBN 978-5-907560-12-3

В курсе лекций рассмотрены основные разделы дисциплины 
«Финансовая математика» – основные понятия и конструкции финансовой математики (финансовые события, потоки и ренты, простые и общие кредитные операции, процентные и учетные ставки, 
различные схемы погашения долга и др.). Большое внимание уделено технике работы с финансовыми потоками – основным инструментом финансового анализа. 
Соответствует рабочей программе дисциплины «Финансовая 
математика».
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент». Также может быть использовано 
студентами как экономических, так и технологических направлений при подготовке экономических разделов выпускной квалификационной работы.

УДК 33

 Зайцев И.М., 
Скрябин О.О., 
Богачев А.С., 2022
ISBN 978-5-907560-12-3
 НИТУ «МИСиС», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................. 4
1. Простые проценты ...................................................... 6
1.1. Наращение по простой процентной ставке [1–2] ........ 6
1.2. Ломбардный кредит [1] .......................................... 9
1.3. Форфейтная операция [3] ..................................... 11
1.4. Дисконтирование и учет по простым процентным 
ставкам. Рост по учетной ставке [2] .............................. 13
2. Сложные проценты [2] ............................................... 17
2.1. Начисление сложных процентов ........................... 17
2.2. Дисконтирование по сложной ставке процента [2] ... 22
2.3. Непрерывное наращение и дисконтирование [2] ...... 24
3. Эквивалентность процентных ставок [2] ....................... 26
3.1. Финансовая эквивалентность обязательств ............. 26
3.2. Консолидация задолженности [2] .......................... 27
3.3. Эквивалентность процентных ставок [2] ................. 32
3.4. Налоги, инфляция и конверсия валюты [2] ............. 36
3.5. О проблемах начисления процентов [3] ................... 50
4. Модели потоков платежей .......................................... 54
4.1. Виды потоков платежей и их основные  
параметры [2] ............................................................ 54
4.2. Наращенная сумма постоянной ренты  
постнумерандо [2] ...................................................... 59
4.3. Современная стоимость постоянной ренты 
постнумерандо [2] ...................................................... 65
5. Показатели эффективности инвестиций [6] .................. 70
5.1. Методы экономической оценки эффективности 
инвестиций ............................................................... 70
5.2. Расчет денежного потока и определение ставки 
дисконтирования ....................................................... 77
5.3. Сравнительный анализ показателей  
эффективности .......................................................... 79
5.4. Имитационное моделирование денежного потока .... 86
Заключение ................................................................. 91
Библиографический список ............................................ 92
Приложение. Вопросы и задания для самостоятельной 
работы и подготовки к зачету .......................................... 93

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предмет финансовой математики в узком смысле – это коммерческие расчеты между двумя экономическими субъектами 
и их основные экономические характеристики. Указанные расчеты между субъектами возникают на основе специально создаваемых долговых обязательств. Природа долга устанавливает, 
что взятые в долг денежные ресурсы обладают свойствами срочности, платности и возвратности; соответственно, долговые ресурсы имеют свою цену для должника и полезность для кредитора. Если платежи в рамках долговых обязательств являются 
долгосрочными и многоразовыми, возникает феномен ренты, 
полезность которой для кредитора и затратность для заемщика 
должны быть определены.
На стыке предмета коммерческих расчетов и предмета анализа финансовых рынков возникает предмет оценки стоимости 
бизнеса, который включает в себя, наряду с указанной тематикой, специальные вопросы финансового и экономического анализа. Аспект стоимости бизнеса, в ее рыночном и нерыночном 
оценочном признании, увязывает в единое целое большую часть 
знаний, относящихся к предмету финансовой математики в широком смысле.
В дисциплине в ходе изложения используются две концепции времени. 
Непрерывное время. Используется для оценки доходности 
финансовых инструментов, когда цена инструмента наблюдается часто или когда в расчетах необходимо знать начальное 
или конечное значение цены инструмента.
Дискретное время, представленное в модели набором временных отсчетов. Такой подход применяется при анализе рент, 
состоящих из множества одинаковых платежей, равномерно 
сгруппированных на временной оси.
Принцип платности денег предполагает, что реальная стоимость денег падает во времени даже при сохранении их номинальной стоимости. Причина такого снижения – инфляционное 
обесценение денег, а также снижение спроса на деньги по мере 
отдаления факта получения денег от момента возникновения 
спроса. Обесценение денег отображается в модели посредством 

введения в нее фактора дисконтирования. Чтобы скомпенсировать снижение стоимости денег и частично – скомпенсировать 
потенциальные риски кредитора, в модель вводится фактор наращения денежных сумм, частично связанный с процентной 
ставкой по кредиту. Все факторы наращения/дисконтирования 
в модели приводятся либо к стандартному году (проценты годовых), либо к периоду между платежами.
Здесь же следует коснуться этической стороны взимания 
процентов c заемщика. Первоначально процент (лихва) была запрещена во многих странах, в том числе в древней Иудее (применительно к соплеменникам; на инородцев это правило не распространялось). В исламской традиции сегодня взимание процента 
запрещено (там эта практика называется рибой). Точка зрения 
большинства состоит в том, что процент необходим, поскольку 
это плата за ресурс и плата за риск потери капитала.

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1. Наращение по простой процентной 
ставке [1–2]

Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора 
от предоставления денег в долг заемщику. Значительная часть 
времени в финансовой деятельности приходится на использование сложных процентов, за исключением краткосрочных 
операций (рассчитанных на срок до одного года), таких как вексель, текущий счет, ломбардный кредит.
Под процентными деньгами, или кратко процентами (interest), поднимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа 
товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет 
векселя, покупка облигации и т.д. Какой бы вид или происхождение не имели проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент.
При заключении финансового или кредитного соглашения 
стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой (rate of interest) понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме 
долга за единицу времени.
Временной интервал, к которому приурочена процентная 
ставка, называют периодом начисления. В качестве последнего 
принимают год, полугодие, квартал, месяц или день.
Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов). 
Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой 
суммы. 
Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, так и субъективных факторов, а именно от общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка; кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида 
сделки, ее валюты; срока кредита: особенностей заемщика (его 

надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношений 
и т.д. 
В финансовом анализе процентная ставка применяется не 
только как инструмент наращения суммы долга, но и в более 
широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной 
или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения.
Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для 
расчета. В последнем случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения, проще говоря, проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при переменной – сложные процентные ставки.
Под наращенной суммой (amount, maturity value) ссуды 
(долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока (date of maturity, due date). 
Наращенная сумма определяется умножением первоначальной 
суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Для записи формулы наращения простых процентов 
(simple interest) примем обозначения:
I – проценты за весь срок ссуды;
P – первоначальная сумма долга;
S – наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i – ставка наращения;
n – срок ссуды.
Срок обычно измеряется в годах, соответственно, i – годовая 
ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты (accrued interest) составят

 
I = Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

 
(
).
1
S
P
I
P
ni
=
+
=
+

Данную формулу называют формулой наращения по простым процентам, или кратко – формулой простых процентов, 
а множитель – множителем наращения простых процентов. 
График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. График роста по простым процентам

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при 
выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Поскольку ставка, как правило, фиксируется в контракте в расчете за год, то при сроке 
ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового 
процента уплачивается кредитору. Похожая проблема возникает и в других случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления. 
Чаще всего на практике применяются три варианта расчета простых процентов:
 – точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ 
применяется центральными банками многих стран и крупными 
коммерческими банками, например в Великобритании, США. 
В коммерческих документах он обозначается как 365/365, или 
ACT/ACT;
 – обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом 
дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается как 

365/360, или АТС/360. Этот вариант дает несколько больший 
результат, чем применение точных процентов;
 – обыкновенные проценты с приближенным числом дней 
ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он применяется в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360.
Вариант расчета с точными процентами и приближенным 
числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

1.2. Ломбардный кредит [1]

Смысл ломбардного кредита в том, что обеспечение получаемого кредита производится ценными бумагами или материальными ценностями. При этом в мировой практике принято, 
что сумма ломбардного кредита не должна составлять более 
75–80 % номинальной стоимости залога. Если же кредит дается под ценные бумаги, то его сумма рассчитывается исходя 
из такой же доли текущей курсовой стоимости данных ценных 
бумаг.
Обычно ломбардный кредит выдается на трехмесячный 
срок, при этом возможны различные варианты возвращения 
долга. Заемщик может:
1) весь долг погасить вовремя;
2) продлить срок погашения на следующие три месяца;
3) оплатить вовремя лишь часть долга, а остаток погасить 
позже и т.д.
В расчетах, как правило, учитывается точное количество 
дней в месяце или принимается, что в году 360 дней. Если заемщик не погашает кредит вовремя, он должен рассчитываться с кредитором по увеличенной (штрафной) процентной ставке в течение периода превышения времени кредитования.
Пример. Клиент обратился в банк 16 марта для получения 
ломбардного кредита и предоставил в залог 150 единиц ценных 
бумаг. Величина займа рассчитывается исходя из 80 % их курсовой стоимости, кредит берется на 3 месяца, ежегодная процентная ставка равна 9 %, а затраты банка по обслуживанию 
долга – 200.

1. Определите, на какой кредит может рассчитывать этот 
клиент, если курс одной его ценной бумаги составляет 300.
2. Предположим, что заемщик 16 июня решил выплатить 
лишь часть долга (6000) и продлить погашение кредита еще на 
3 месяца. Определите, сколько всего он должен будет заплатить за продление, если штрафная ставка в этом случае не используется.
Решение.
1. Весь расчет может быть представлен в виде:
курсовая стоимость залога 300 × 150
45 000
величина займа 80 % от 45 000
36 000
проценты за период с 16.03 по 16.06
828
затраты банка
200
клиент получит на руки
34 972

2. 16 июня проценты начисляются по основной ставке на 
остаток долга, который равен 30 000 = 36 000 – 6000. Кроме того, период с 16 июня по 16 сентября также составляет 
92 дня. Поэтому проценты за продление I = 30 000 ⋅ 0,09 ⋅ 92 / 
/ 360 = 690 и, следовательно, весь расчет принимает следующий вид:

новая величина займа 36 000 – 6000
30 000
проценты за период с 16.06 по 16.09
690
затраты банка
0
клиент всего заплатит
6690
если банк не берет комиссионных за эту услугу.

3. (Продолжение) Предположим, что 16 июня клиент обнаружил, что помимо 6000 имеет 15 000. Но по-прежнему просит продлить срок погашения на 3 месяца и, соответственно, 
рассчитать остаток долга, который он должен будет вернуть 
16 сентября.
Решение:

 
15 000 0,09 92
353,12.
360 8,28
I
⋅
⋅
=
=
−