Многомерный статистический анализ. Часть 1

Москва 2022

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизированных систем управления

А.Н. Гончаренко

МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ

Часть 1

Методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4681

УДК 65.011.56 
 
Г65

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. Д.В. Калитин

Гончаренко, Алексей Николаевич.
Г65  
Многомерный статистический анализ. Часть 1 : метод. 
пособие / А.Н. Гончаренко. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2022. – 53 с.

В методическом пособии рассмотрены многомерные методы статистического анализа данных. Основное внимание уделено моделям 
анализа данных, условиям их применения, а также особенностям 
представления данных и интерпретации результатов.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению подготовки 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», а также для изучающих информационные технологии. Будет полезно для студентов при подготовке выпускной 
квалификационной работы и магистерской диссертации.

УДК 65.011.56

 Гончаренко А.Н., 2022
 НИТУ «МИСиС», 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ........................................................................ 4
1. Корреляционный и регрессионный анализ ..................... 5
1.1. Структура связей между переменными .................... 5
1.2. Множественная линейная регрессия ...................... 11
1.3. Логистическая регрессия ..................................... 38
1.4. Путевой анализ ................................................... 41
Заключение ................................................................. 51
Библиографический список ............................................ 52

ВВЕДЕНИЕ

Многомерные методы статистического анализа данных появились еще в начале ХХ в. Однако из-за большого объема и 
сложности вычислений они по лучили широкое распространение только благодаря созданию компьютеров, особенно персональных, с «дружественными» операционными системами 
и пользовательскими интерфейсами.
В методическом пособии основное внимание уделяется моделям анализа данных, условиям их применения, особенностям представления данных и интерпретации результатов.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, 
магистрантов, аспирантов, изучающих методологию количественных исследований и методы статистического анализа 
данных; преподавателей, научных сотрудников и специалистов, принимающих участие в эмпирических исследованиях. 
Его изучение предполагает предварительное знакомство с основами прикладной статистики (на уровне одномерных распределений, анализа парных связей, проверки статистических 
гипотез) и одним из программных средств статистического 
анализа данных (SPSS, Statistica, R и т.п.).

1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ 
И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

1.1. Структура связей между 
переменными

В зависимости от вкладываемого в исследование смысла 
связи между переменными могут быть как корреляционными, так и причинными (каузальными). Связь между двумя 
переменными называется корреляционной, если они рассматриваются как двусторонне взаимодействующие, без выделения причины и следствия. Связь называется причинной, если 
одна из переменных (зависимая) измеряет следствие, а другая 
или несколько независимых переменных (предикторов) измеряют одну или несколько причин.
Меры корреляционной связи. Большинство статистических 
мер связи предназначены для измерения парных корреляционных связей между переменными. Разумеется, они могут использоваться и для причинных связей на тех уровнях анализа, 
когда их причинно-следственное содержание игнорируется.
Выбор меры связи между двумя переменными зависит, 
в первую очередь, от уровня их измерения: для двух количественных переменных это коэффициент линейной корреляции 
Пирсона; для двух порядковых переменных – коэффициенты 
ранговой корреляции Спирмана и Кендалла; для двух дихотомических переменных – коэффициенты Ф (фи) и Юла; для номинальных переменных с числом градаций более двух – коэффициент Крамера. Если переменные имеют разный уровень 
измерения, выбирается коэффициент, соответствующий более 
низкому уровню. Например, если одна переменная является 
количественной, а вторая порядковой, рекомендуется использовать одну из порядковых мер связи (возможно, количественную переменную придется при этом сгруппировать в интервалы); если одна из переменных является номинальной, а 
вторая – порядковой, следует использовать коэффициент Крамера. В многомерной статистике наиболее часто используется 
коэффициент линейной корреляции Пирсона в силу его универсальности.

Наибольший интерес в задачах многомерной статистики 
представляют переменные, связи между которыми обладают 
«направленностью», т.е. могут трактоваться как «прямые» 
или «обратные». Понятие направленности может применяться 
только в двух случаях. Во-первых, когда обе переменные являются количественными и (или) порядковыми: связь является прямой, если значения двух переменных одновременно увеличиваются или уменьшаются; обратной – если увеличение 
значения одной переменной сопровождается уменьшением 
значения другой. Во-вторых, когда обе переменные являются 
дихотомическими: связь является прямой, если два фиксируемых свойства объектов чаще встречаются и не встречаются совместно, чем порознь; обратной – если соответствующие 
свойства чаще встречаются порознь, чем совместно.
Коэффициент корреляции между переменными xi и xj обозначается ri, j и обладает следующими свойствами:
1) коэффициент корреляции симметричен (ri, j = rj, i);
2) значение коэффициента корреляции находится в пределах –1 ≤ ri, j ≤ 1 для направленных связей; 0 ≤ ri, j ≤ 1 для ненаправленных связей;
3) ri, j = 0, если связи между переменными нет;
4) ri, j > 0, если связь является прямой или ненаправленной;
5) ri, j < 0, если связь является обратной;
6) ri, j = ±1, если связь является полной, т.е. по значению 
одной переменной можно точно определить значение второй.
Идеальным случаем для задач снижения размерности и 
классификации является использование переменных с одинаковым уровнем измерения: количественных, порядковых (измеренных с использованием шкал Лайкерта и подобных им 
оценочных шкал с четным или нечетным количеством градаций, которые могут рассматриваться как квазиинтервальные 
или дихотомические. Номинальные переменные, не являющиеся дихотомическими, а также порядковые переменные, которые не могут рассматриваться как квазиинтервальные, используются только в отдельных многомерных статистических 
моделях с применением специально разработанных для этого 
техник, которые будут рассмотрены в соответствующих разделах.