Физика прочности. Пособие к практическим занятиям и домашним работам

Москва  2022

М инис терс тво науки и высш его о б ра з о ва н и я рФ

ФеДераЛЬное госуДарственное автоноМное образоватеЛЬное уЧреЖДение 
высшего образования 
«наЦионаЛЬныЙ иссЛеДоватеЛЬскиЙ теХноЛогиЧескиЙ университет «Мисис»

институт новыХ МатериаЛов и нанотеХноЛогиЙ 
 
Кафедра металловедения и физики прочности

М.Ю. Беломытцев 

Физика прочности.  
пособие к практическим  
занятиям и домашним работам

учебное пособие

рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4435

УДК 620.17 
 
Б43

Р е ц е н з е н т 
канд. физ.-мат. наук, доц. А.С. Мельниченко

Беломытцев, Михаил Юрьевич.
Б43  
Физика прочности. Пособие к практическим занятиям и домашним работам : учеб. пособие / М.Ю. Беломытцев. – Москва : Издательский Дом «МИСиС», 
2022. – 80 с.
ISBN 978-5-907227-98-9

Пособие включает в себя описание последовательности решения 
задач по курсу «Физика прочности», рассматриваемых на практических занятиях и выносимых в домашние задания. Приведенные 
примеры задач охватывают все основные темы, излагаемые по курсу. Каждому примеру предшествует краткое теоретическое введение, описывающее рассматриваемое в задаче явление. Приведены 
необходимые для решения справочные данные и иллюстративный 
материал. Последовательность выполнения работ иллюстрируется 
демонстрационными примерами. 
Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии 
материалов» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», осваивающих курсы «Физика прочности» и «Высокотемпературная прочность материалов».

УДК 620.17

 Беломытцев М.Ю., 2022
ISBN 978-5-907227-98-9
 НИТУ «МИСиС», 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..................................................................4

Практическое занятие 1. Термодинамика процессов 
деформации (адиабатическое и изотермическое  
нагружение) ...................................................................5

Практическое занятие 2. Неупругость  
и микропластичность ....................................................11

Практическое занятие 3. Напряжение течения 
в монокристаллах (нахождение самой нагруженной  
системы скольжения дислокаций) ...................................20

Практическое занятие 4. Анализ поведения дефектов 
упаковки под нагрузкой (анализ расщепления  
дислокаций) .................................................................26

Практическое занятие 5. Анализ текстуры холодной 
деформации в поликристаллах .......................................36

Практическое занятие 6. Анализ факторов упрочнения 
разбавленных твердых растворов металлов .......................42

Практическое занятие 7. Дальний порядок и упрочнение 
интерметаллидов ..........................................................45

Практическое занятие 8. Сегрегации на дислокациях 
и внутренних границах в металлах и сплавах ....................55

Практическое занятие 9. Анализ упрочнения 
композиционных материалов .........................................60

Практическое занятие 10. Расчет прочности жаропрочных 
никелевых сплавов ........................................................68

Библиографический список ............................................78

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Физика прочности. Пособие к практическим занятиям и домашним работам» включает в себя 
примеры решения задач, посвященных анализу связи атомно-кристаллического строения металлов и сплавов и их механических характеристик. Разобранные в пособии примеры 
охватывают все разделы теоретической части курса. Характер 
и содержание работ соответствуют учебным программам по общим и специальным курсам.
Учебное пособие должно дать студентам навык решения 
типовых и ситуационных задач, возникающих при проведении металловедческих экспериментов и анализе их результатов. Более прочному усвоению материала должна способствовать самостоятельная работа студентов, которая планируется 
в форме выполнения ими домашних заданий, формулировки 
которых и указания по их выполнению также приведены в пособии. 
Пособие предназначено для студентов, проходящих обучение по курсу «Физика прочности», поставленного на кафедре 
металловедения стали и высокопрочных сплавов (ныне кафедра металловедения и физики прочности) М.А. Штремелем 
и читаемого студентам металловедческих специальностей. 
Учебное пособие составлено на основе учебника М.А. Штремеля «Прочность сплавов. Ч. 2: Деформация». В этом учебнике 
приведены условия задач, описаны основные шаги для их решения, даны ответы, позволяющие оценить правильность и 
разумность полученных результатов. 
Учебное пособие является первой частью работы по описанию способов решения учебных задач, излагаемых в последовательности курсов «Дефекты решетки» → «Физика 
прочности» → «Механические свойства и закономерности разрушения». 
Пособие не могло быть написано без помощи преподавателей кафедры М.А. Штремеля, Ю.А. Крупина, А.С. Мельниченко, которым автор выражает свою благодарность.

Практическое занятие 1  
ТЕРМОДИНАМИКА ПРОцЕССОВ 
ДЕфОРМАцИИ (АДИАБАТИчЕСКОЕ 
И ИзОТЕРМИчЕСКОЕ НАгРУЖЕНИЕ)

Анализ механического поведения материалов можно провести наиболее просто при использовании одноосных схем деформации – одноосного растяжения или сжатия. Получаемая 
при этом диаграмма деформации в координатах «напряжение 
(σ) – деформация (ε)» позволяет по ее внешнему виду выделить 
основные стадии процесса деформации – начальную упругую, 
когда связь между напряжением и деформацией можно описать уравнением прямой линии, и последующие стадии, границы между которыми видны на диаграмме деформации либо 
визуально (точки, отвечающие этим моментам, есть либо точки перегиба на кривой σ – ε, либо точки экстремума; таковы 
точки физического предела текучести, предела прочности и 
некоторые другие), либо устанавливаются по некоторым общепринятым правилам (точки условного предела текучести, 
предела прочности, границы областей горячей динамической 
полигонизации либо рекристаллизации на диаграмме горячей 
деформации). Стадии деформации, следующие за начальной 
упругой и описывающие уже пластическое поведение материала, также могут иметь вид прямых линий (площадка Чернова – Людерса, области горячей динамической полигонизации 
либо рекристаллизации на диаграмме горячей деформации, 
область деформационного упрочнения ПНП-сталей и TWIPсталей с неустойчивым аустенитом и др.).
Начальная упругая стадия диаграммы деформации описывается законом Гука вида σ = Е · ε, где Е – модуль Юнга (для 
каждого конкретного материала – своя константа). Визуальными наблюдениями поверхности образцов методом оптической микроскопии и внутренней структуры методом электронной просвечивающей микроскопии установлено, что на стадии 
упругого нагружения нет размножения дислокаций, а на последующих стадиях пластической деформации – есть, и тогда 
для последующих стадий размножение дислокаций – основной процесс, определяющий их механическое (упругопластическое) поведение. 

В упругой области изменения в атомно-кристаллической 
структуре материалов состоят в малых смещениях атомов от 
позиций, отвечающих их равновесному состоянию. Равновесные расстояния между атомами определяются балансом сил 
их взаимного притяжения и отталкивания. Для кристаллических тел описание этих сил дается потенциалом парного взаимодействия, в котором есть как линейная (гармоническая), 
так и нелинейная (ангармоническая) составляющие. Уже из 
этого следует, что абсолютно упругого (линейного) поведения 
в природе быть не может, но эффект нелинейности – это эффект малости второго порядка. Его можно наблюдать в специальных, тщательно поставленных опытах на испытательных 
машинах, позволяющих регистрировать малые усилия и перемещения. Для большинства конструкционных материалов эти 
эффекты – незначимы, но это область работы упругих деталей 
(пружины, мембраны, торсионы, рессоры и т.п.).
Сближение либо расхождение атомов друг от друга в кристаллических телах при их упругой деформации в чем-то 
аналогично сжатию или расширению газов, а для них характерны две модели поведения – адиабатическое (быстрый процесс, когда нет обмена энергией с внешней средой) и изотермическое (медленный процесс, когда температура постоянна за 
счет обмена энергией с внешней средой). Проявление адиабатического и изотермического поведения кристаллических тел 
при деформации (и оценить разницу в диаграммах упругой деформации и определяемых по ним упругим модулям) можно 
увидеть в сравнительных опытах с очень быстрым нагружением образцов (как предел – ударное нагружение) и очень медленным (испытания с обычной скоростью, принятой на практике). Адиабатическому поведению отвечает адиабатический 
упругий модуль ES, а изотермическому – изотермический 
упругий модуль ЕТ. 
Наибольшее значение разницы этих двух модулей можно 
зафиксировать в механических испытаниях с трехосным одноименным напряженным состоянием – трехосным сжатием и 
трехосным растяжением (первая схема реализуется при измерении твердости и наблюдается в области под индентором; вторая схема наблюдается в области шейки при разрыве цилиндрического образца). Таким видам испытаний соответствует 

модуль всестороннего сжатия K (и, соответственно, KT и KS). 
Из общих уравнений термодинамики можно получить математическое выражение для их отношения:

 
,
S
T
P
V
K
K
c
c
=
 
(1.1)

где cp и cV – теплоемкости при постоянном давлении и объеме 
соответственно.

Теплоемкость при постоянном давлении cp и теплоемкость 
cV при постоянном объеме для твердого тела связаны соотношением [1]

 
1
1
3
,
P
V
V
L
T
T
c
c =
+ γα
=
+ γ α
 
(1.2)

где αV и αL – коэффициенты объемного и линейного расширения; γ – постоянная Грюнайзена [2]; Т – абсолютная температура, К.

Комбинируя выражения (1.1) и (1.2), получаем

 
(
)
3
.
S
T
T
L
K
K
K
T
−
= γα
 
(1.3)

Для железа при изменении температуры от 0 К и до Тпл разница адиабатического и изотермического объемных модулей 
составит ~12%, а при 300 К (20 °С) – примерно 1,8%.
Основными упругими модулями, используемыми при анализе механического поведения материалов, являются модуль 
Юнга (Е), модуль сдвига (G), модуль всестороннего сжатия 
(K), коэффициент Пуассона (ν). Все они связаны между собой 
двумя равенствами: 

 
2 (1
)
3
(1 2 ).
E
G
K
=
+
=
ν
−
ν
 
(1.4)

Сдвиг не изменяет объема, поэтому 

 
GS = GT. 
(1.5)

Разница между νS и νT очень мала, поэтому практически 
всегда принимают

 
.
S
T
ν
≈ ν
 
(1.6)

Учет выражения (1.4) приводит к выводу, что разница адиабатического и изотермического модулей Юнга примерно в 10 

раз меньше, чем разница адиабатического и изотермического 
объемных модулей.
Формулировка задачи практического занятия.
Изменение объемного модуля упругости K при переходе от 
адиабатической к изотермической деформации известно. Оценить изменение модуля Юнга.
Вариант решения.

Используя зависимости (1.4) 
2 (1
)
3
(1 2 ),
E
G
K
=
+
=
ν
−
ν
 можно исключить из этих выражений коэффициент Пуассона ν. 
Полученное выражение будет иметь вид

 
9
(3
).
E
KG
K
G
=
+
 
(1.7)

Выразим разницу (ЕS – ЕT), используя выражение (1.7) и 
равенство (1.5):

−
=
+
−
+
=

=
−
=
+
+



+
+
=
−
=


+
+



−
=
+
+

2

9
(3
)
9
(3
)

9 (
)
3
3

(3
)
(3
)
9
3
3

9
(3
)(3
)

S
T
S
S
T
T

S
T

S
T

S
T
T
S

S
T

S
T

S
T

E
E
K G
K
G
K G
K
G

K
K
G
K
G
K
G

K
K
G
K
K
G
G
K
G
K
G

K
K
G
K
G
K
G

или

2
9
(
)(3
) .
9
(3
)(3
)

S
T
S
T
T

T
T
S
T

E
E
G
K
K
K
G
E
GK
K
G
K
G
−
−
+
=
+
+

Сокращая одинаковые сомножители в числителе и знаменателе и вынося за скобки отношение (KS – KT) / KT, получаем 
выражение

.
3

S
T
S
T

T
T
S

E
E
K
K
G
E
K
K
G
−
−
=
⋅
+

Прибавляя и вычитая одновременно величину 3KS к переменной G в числителе, получаем равенство