Физика прочности. Пособие к практическим занятиям и домашним работам

Москва  2022

М инис терс тво науки и высш его о б ра з о ва н и я рФ

ФеДераЛЬное госуДарственное автоноМное образоватеЛЬное уЧреЖДение 
высшего образования 
«наЦионаЛЬныЙ иссЛеДоватеЛЬскиЙ теХноЛогиЧескиЙ университет «Мисис»

институт новыХ МатериаЛов и нанотеХноЛогиЙ 
 
Кафедра металловедения и физики прочности

М.Ю. Беломытцев 

Физика прочности.  
пособие к практическим  
занятиям и домашним работам

учебное пособие

рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4435

УДК 620.17 
 
Б43

Р е ц е н з е н т 
канд. физ.-мат. наук, доц. А.С. Мельниченко

Беломытцев, Михаил Юрьевич.
Б43  
Физика прочности. Пособие к практическим занятиям 
и домашним работам : учеб. пособие / М.Ю. Беломытцев. – 
Москва : Издательский Дом «МИСиС», 
2022. – 80 с.
ISBN 978-5-907227-98-9

Пособие включает в себя описание последовательности решения 
задач по курсу «Физика прочности», рассматриваемых на практических 
занятиях и выносимых в домашние задания. Приведенные 
примеры задач охватывают все основные темы, излагаемые по кур-
су. Каждому примеру предшествует краткое теоретическое введение, 
описывающее рассматриваемое в задаче явление. Приведены 
необходимые для решения справочные данные и иллюстративный 
материал. Последовательность выполнения работ иллюстрируется 
демонстрационными примерами. 
Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся 
по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии 
материалов» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 
осваивающих курсы «Физика прочности» и «Высокотемпературная 
прочность материалов».

УДК 620.17

 Беломытцев М.Ю., 2022
ISBN 978-5-907227-98-9
 НИТУ «МИСиС», 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..................................................................4

Практическое занятие 1. Термодинамика процессов 
деформации (адиабатическое и изотермическое  
нагружение) ...................................................................5

Практическое занятие 2. Неупругость  
и микропластичность ....................................................11

Практическое занятие 3. Напряжение течения 
в монокристаллах (нахождение самой нагруженной  
системы скольжения дислокаций) ...................................20

Практическое занятие 4. Анализ поведения дефектов 
упаковки под нагрузкой (анализ расщепления  
дислокаций) .................................................................26

Практическое занятие 5. Анализ текстуры холодной 
деформации в поликристаллах .......................................36

Практическое занятие 6. Анализ факторов упрочнения 
разбавленных твердых растворов металлов .......................42

Практическое занятие 7. Дальний порядок и упрочнение 
интерметаллидов ..........................................................45

Практическое занятие 8. Сегрегации на дислокациях 
и внутренних границах в металлах и сплавах ....................55

Практическое занятие 9. Анализ упрочнения 
композиционных материалов .........................................60

Практическое занятие 10. Расчет прочности жаропрочных 
никелевых сплавов ........................................................68

Библиографический список ............................................78

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Физика прочности. Пособие к практическим 
занятиям и домашним работам» включает в себя 
примеры решения задач, посвященных анализу связи атомно-
кристаллического строения металлов и сплавов и их механических 
характеристик. Разобранные в пособии примеры 
охватывают все разделы теоретической части курса. Характер 
и содержание работ соответствуют учебным программам по общим 
и специальным курсам.
Учебное пособие должно дать студентам навык решения 
типовых и ситуационных задач, возникающих при проведении 
металловедческих экспериментов и анализе их результатов. 
Более прочному усвоению материала должна способствовать 
самостоятельная работа студентов, которая планируется 
в форме выполнения ими домашних заданий, формулировки 
которых и указания по их выполнению также приведены в пособии. 

Пособие предназначено для студентов, проходящих обучение 
по курсу «Физика прочности», поставленного на кафедре 
металловедения стали и высокопрочных сплавов (ныне кафедра 
металловедения и физики прочности) М.А. Штремелем 
и читаемого студентам металловедческих специальностей. 
Учебное пособие составлено на основе учебника М.А. Штреме-
ля «Прочность сплавов. Ч. 2: Деформация». В этом учебнике 
приведены условия задач, описаны основные шаги для их решения, 
даны ответы, позволяющие оценить правильность и 
разумность полученных результатов. 
Учебное пособие является первой частью работы по описанию 
способов решения учебных задач, излагаемых в по-
следовательности курсов «Дефекты решетки» → «Физика 
прочности» → «Механические свойства и закономерности раз-
рушения». 
Пособие не могло быть написано без помощи преподавате-
лей кафедры М.А. Штремеля, Ю.А. Крупина, А.С. Мельни-
ченко, которым автор выражает свою благодарность.

Практическое занятие 1  
ТЕРМОДИНАМИКА ПРОцЕССОВ 
ДЕфОРМАцИИ (АДИАБАТИчЕСКОЕ 
И ИзОТЕРМИчЕСКОЕ НАгРУЖЕНИЕ)

Анализ механического поведения материалов можно про-
вести наиболее просто при использовании одноосных схем де-
формации – одноосного растяжения или сжатия. Получаемая 
при этом диаграмма деформации в координатах «напряжение 
(σ) – деформация (ε)» позволяет по ее внешнему виду выделить 
основные стадии процесса деформации – начальную упругую, 
когда связь между напряжением и деформацией можно опи-
сать уравнением прямой линии, и последующие стадии, гра-
ницы между которыми видны на диаграмме деформации либо 
визуально (точки, отвечающие этим моментам, есть либо точ-
ки перегиба на кривой σ – ε, либо точки экстремума; таковы 
точки физического предела текучести, предела прочности и 
некоторые другие), либо устанавливаются по некоторым об-
щепринятым правилам (точки условного предела текучести, 
предела прочности, границы областей горячей динамической 
полигонизации либо рекристаллизации на диаграмме горячей 
деформации). Стадии деформации, следующие за начальной 
упругой и описывающие уже пластическое поведение матери-
ала, также могут иметь вид прямых линий (площадка Черно-
ва – Людерса, области горячей динамической полигонизации 
либо рекристаллизации на диаграмме горячей деформации, 
область деформационного упрочнения ПНП-сталей и TWIP-
сталей с неустойчивым аустенитом и др.).
Начальная упругая стадия диаграммы деформации описы-
вается законом Гука вида σ = Е · ε, где Е – модуль Юнга (для 
каждого конкретного материала – своя константа). Визуаль-
ными наблюдениями поверхности образцов методом оптиче-
ской микроскопии и внутренней структуры методом электрон-
ной просвечивающей микроскопии установлено, что на стадии 
упругого нагружения нет размножения дислокаций, а на по-
следующих стадиях пластической деформации – есть, и тогда 
для последующих стадий размножение дислокаций – основ-
ной процесс, определяющий их механическое (упругопластическое) 
поведение. 

В упругой области изменения в атомно-кристаллической 
структуре материалов состоят в малых смещениях атомов от 
позиций, отвечающих их равновесному состоянию. Равновесные 
расстояния между атомами определяются балансом сил 
их взаимного притяжения и отталкивания. Для кристаллических 
тел описание этих сил дается потенциалом парного взаимодействия, 
в котором есть как линейная (гармоническая), 
так и нелинейная (ангармоническая) составляющие. Уже из 
этого следует, что абсолютно упругого (линейного) поведения 
в природе быть не может, но эффект нелинейности – это эффект 
малости второго порядка. Его можно наблюдать в специальных, 
тщательно поставленных опытах на испытательных 
машинах, позволяющих регистрировать малые усилия и перемещения. 
Для большинства конструкционных материалов эти 
эффекты – незначимы, но это область работы упругих деталей 
(пружины, мембраны, торсионы, рессоры и т.п.).
Сближение либо расхождение атомов друг от друга в кристаллических 
телах при их упругой деформации в чем-то 
аналогично сжатию или расширению газов, а для них характерны 
две модели поведения – адиабатическое (быстрый процесс, 
когда нет обмена энергией с внешней средой) и изотермическое (
медленный процесс, когда температура постоянна за 
счет обмена энергией с внешней средой). Проявление адиаба-
тического и изотермического поведения кристаллических тел 
при деформации (и оценить разницу в диаграммах упругой деформации 
и определяемых по ним упругим модулям) можно 
увидеть в сравнительных опытах с очень быстрым нагружением 
образцов (как предел – ударное нагружение) и очень медленным (
испытания с обычной скоростью, принятой на практике). 
Адиабатическому поведению отвечает адиабатический 
упругий модуль ES, а изотермическому – изотермический 
упругий модуль ЕТ. 
Наибольшее значение разницы этих двух модулей можно 
зафиксировать в механических испытаниях с трехосным одноименным 
напряженным состоянием – трехосным сжатием и 
трехосным растяжением (первая схема реализуется при измерении 
твердости и наблюдается в области под индентором; вторая 
схема наблюдается в области шейки при разрыве цилиндрического 
образца). Таким видам испытаний соответствует 

модуль всестороннего сжатия K (и, соответственно, KT и KS). 
Из общих уравнений термодинамики можно получить матема-
тическое выражение для их отношения:

 
,
S
T
P
V
K
K
c
c
=
 
(1.1)

где cp и cV – теплоемкости при постоянном давлении и объеме 
соответственно.

Теплоемкость при постоянном давлении cp и теплоемкость 
cV при постоянном объеме для твердого тела связаны соотно-
шением [1]

 
1
1
3
,
P
V
V
L
T
T
c
c =
+ γα
=
+ γ α
 
(1.2)

где αV и αL – коэффициенты объемного и линейного расшире-
ния; γ – постоянная Грюнайзена [2]; Т – абсолютная темпе-
ратура, К.

Комбинируя выражения (1.1) и (1.2), получаем

 
(
)
3
.
S
T
T
L
K
K
K
T
−
= γα
 
(1.3)

Для железа при изменении температуры от 0 К и до Тпл раз-
ница адиабатического и изотермического объемных модулей 
составит ~12%, а при 300 К (20 °С) – примерно 1,8%.
Основными упругими модулями, используемыми при ана-
лизе механического поведения материалов, являются модуль 
Юнга (Е), модуль сдвига (G), модуль всестороннего сжатия 
(K), коэффициент Пуассона (ν). Все они связаны между собой 
двумя равенствами: 

 
2 (1
)
3
(1 2 ).
E
G
K
=
+
=
ν
−
ν
 
(1.4)

Сдвиг не изменяет объема, поэтому 

 
GS = GT. 
(1.5)

Разница между νS и νT очень мала, поэтому практически 
всегда принимают

 
.
S
T
ν
≈ ν
 
(1.6)

Учет выражения (1.4) приводит к выводу, что разница ади-
абатического и изотермического модулей Юнга примерно в 10 

раз меньше, чем разница адиабатического и изотермического 
объемных модулей.
Формулировка задачи практического занятия.
Изменение объемного модуля упругости K при переходе от 
адиабатической к изотермической деформации известно. Оце-
нить изменение модуля Юнга.
Вариант решения.

Используя зависимости (1.4) 
2 (1
)
3
(1 2 ),
E
G
K
=
+
=
ν
−
ν
 мож-
но исключить из этих выражений коэффициент Пуассона ν. 
Полученное выражение будет иметь вид

 
9
(3
).
E
KG
K
G
=
+
 
(1.7)

Выразим разницу (ЕS – ЕT), используя выражение (1.7) и 
равенство (1.5):

−
=
+
−
+
=

=
−
=
+
+



+
+
=
−
=


+
+



−
=
+
+

2

9
(3
)
9
(3
)

9 (
)
3
3

(3
)
(3
)
9
3
3

9
(3
)(3
)

S
T
S
S
T
T

S
T

S
T

S
T
T
S

S
T

S
T

S
T

E
E
K G
K
G
K G
K
G

K
K
G
K
G
K
G

K
K
G
K
K
G
G
K
G
K
G

K
K
G
K
G
K
G

или

2
9
(
)(3
) .
9
(3
)(3
)

S
T
S
T
T

T
T
S
T

E
E
G
K
K
K
G
E
GK
K
G
K
G
−
−
+
=
+
+

Сокращая одинаковые сомножители в числителе и знаме-
нателе и вынося за скобки отношение (KS – KT) / KT, получаем 
выражение

.
3

S
T
S
T

T
T
S

E
E
K
K
G
E
K
K
G
−
−
=
⋅
+

Прибавляя и вычитая одновременно величину 3KS к пере-
менной G в числителе, получаем равенство 

3
3
(
3
)
3
,
3
3

S
T
S
T
S
S
S
T
S
S

T
T
S
T
S

E
E
K
K
G
K
K
K
K
G
K
K
E
K
K
G
K
K
G
−
−
+
−
−
+
−
=
⋅
=
⋅
+
+

которое после преобразования приводится к виду

 

3
1
.
1
3
1
1
3

S
T
S
T
S
S
T

T
T
S
T

S

E
E
K
K
K
K
K
E
K
K
G
K
G
K



−
−
−
=
−
=


+




−


+







 
(1.8)

Отношение G / 3KS можно выразить через одну переменную 
ν, используя равенства (1.4): 
+ ν
ν
=
−
2 (1
)
3
(1 2 )
G
K
, откуда 

 
3(1 2 ).
2(1
)
G
K
ν
+ ν
−
=
 
(1.9)

Подставляя (1.9) в (1.8), получаем выражение, которое по-
сле раскрытия скобок, сокращения подобных и учета равен-
ства (1.6) приводится к окончательному виду

     

2(1
)
2(1
)
1
1
.
3
3

S
T
S
T
S
S
T

T
T
T

E
E
K
K
K
K
E
K
K
−
−
+
−
+




=
−
≈
−



ν






ν

   
(1.10)

При среднем значении коэффициента Пуассона для метал-
лов ν ≈ 0,3 изменение модулей Юнга примерно в 9 раз меньше 
изменения объемных модулей.
Формулировка домашней работы.
Найти относительное изменение модулей Юнга при пере-
ходе от адиабатических к изотермическим условиям деформа-
ции для металлов Au, Ag, Pt, Co, Cu, Mo, W, Fe, Ni, Sm, Cr, Al, 
Pb, Ta, Nb, V, Hf, Zr, Na, K при холодной – (0,1–0,2) Т / ТПЛ , 
умеренной – (0,2–0,3) Т / ТПЛ, теплой – (0,3–0,5) Т / ТПЛ, горя-
чей – (0,5–0,85) Т / ТПЛ, предплавильной – (0,85–0,98) Т / ТПЛ 
температуре.
Необходимые математические преобразования.
Комбинирование формул (1.3) и (1.10) позволяет выразить 
искомое изменение в виде 

2(1
)
2(1
)
1
3
1
.
3
3

S
T
S
T
L

T
T

E
E
K
K
E
K
−
−
+
+




=
−
= γα
−







ν




ν
 (1.11)

Указания по выполнению домашней работы.
1. Преподаватель в индивидуальных заданиях каждому 
студенту указывает конкретный металл и интервал темпера-
тур. Студент вправе выбрать любую температуру из заданного 
диапазона. 
2. Студент по этим заданиям самостоятельно находит тре-
буемые константы (постоянную Грюнайзена, коэффициент 
Пуассона, температуру плавления ТПЛ – по таблицам в источ-
нике [1]; коэффициент линейного расширения αL – в общеупо-
требительных справочниках физических величин).
3. Коэффициент линейного расширения αL может быть так-
же вычислен через комбинацию базовых физических констант 
и констант металлов (постоянную Больцмана k, объем на атом 
V, постоянную Грюнайзена γ, объемный модуль K). Необхо-
димые сведения для этого способа определения αL приведены 
в [1].
4. Любые справочные значения, взятые из интернета, при-
нимаются только при наличии ссылки на источник (справоч-
ник), из которого они приведены.

Практическое занятие 2  
НЕУПРУгОСТь И 
МИКРОПЛАСТИчНОСТь

Применение высокочувствительных датчиков измерений 
усилий и деформаций при механических испытаниях позво-
ляет увидеть, что диаграмма деформации в области действия 
закона Гука на самом деле не является абсолютно прямой ли-
нией. Остановка нагружения в области напряжений много 
меньших предела текучести и разгрузка машины может дать 
диаграмму деформации вида замкнутой петли, а при увели-
чении нагрузки с некоторого момента – и незамкнутой петли 
(рис. 2.1). Первый случай – это проявление неупругости, а вто-
рой – микропластичности. Второй случай по сути есть испы-
тание с наличием классического предела текучести, но допуск 
на остаточную деформацию εост в этом случае в разы меньше 
общепринятых 0,2% (от начальной длины растягиваемого об-
разца). Если петля разомкнута, то величина «незамкнутости» 
может составлять 0,005, 0,05, ..., 0,1% – и значения напряже-
ния, соответствующие этим опытам, дают пределы упругости 
с теми же допусками: σ0,005, σ0,05, ..., σ0,1. Такие характеристи-
ки применяют для оценки работоспособности материалов, ис-
пользуемых для изготовления элементов упругих устройств; 
они сведены в справочные таблицы.

Рис. 2.1. Диаграммы деформации с эффектом неупругости 
(а) и с эффектом микропластичности (б)

Причины, вызывающие нелинейность в упругой области, 
могут иметь как структурную, так и термодинамическую основу. 
Примеры структурных процессов, вызывающих рассе-